1、第 8-章 数字信号的最佳接收第 8-章 数字信号的最佳接收8.1 匹配滤波器匹配滤波器8.2 最小差错概率接收准则最小差错概率接收准则8.3 确知信号的最佳接收机确知信号的最佳接收机8.4 随相信号的最佳接收机随相信号的最佳接收机8.5 最佳接收机性能比较最佳接收机性能比较8.6 最佳基带传输系统最佳基带传输系统思考题思考题第 8-章 数字信号的最佳接收8.1 匹匹 配配 滤滤 波波 器器在数字通信系统中,滤波器是其中重要部件之一,滤波器特性的选择直接影响数字信 号的恢复。在数字信号接收中,滤波器的作用有两个方面,第一是使滤波器输出有用信号 成分尽可能强;第二是抑制信号带外噪声,使滤波器输出
2、噪声成分尽可能小,减小噪声对 信号判决的影响。第 8-章 数字信号的最佳接收通常对最佳线性滤波器的设计有两种准则:一种是使滤波器输出的信号波形与发送信 号波形之间的均方误差最小,由此而导出的最佳线性滤波器称为维纳滤波器;另一种是使 滤波器输出信噪比在某一特定时刻达到最大,由此而导出的最佳线性滤波器称为匹配滤波 器。在数字通信中,匹配滤波器具有更广泛的应用。第 8-章 数字信号的最佳接收由第 7 章分析的数字信号解调过程我们知道,解调器中抽样判决以前各部分电路可以用一个线性 滤波器来等效,接收过程等效原理图如图 8-1 所 示。图中,s(t)为输入数字信号,信道特性为加性高斯白噪声信道,n(t)
3、为加性高斯白噪声,H()为滤波器传输函数。第 8-章 数字信号的最佳接收图 8-1 数字信号接收等效原理图第 8-章 数字信号的最佳接收由数字信号的判决原理我们知道,抽样判决器输出数据正确与否,与滤波器输出信号 波形和发送信号波形之间的相似程度无关,也即与滤波器输出信号波形的失真程度无关,而只取决于抽样时刻信号的瞬时功率与噪声平均功率之比,即信噪比。信噪比越大,错误 判决的概率就越小;反之,信噪比越小,错误判决概率就越大。因此,为了使错误判决概率 尽可能小,就要选择滤波器传输特性使滤波器输出信噪比尽可能大的滤波器。当选择的滤 波器传输特性使输出信噪比达到最大值时,该滤波器就称为输出信噪比最大的
4、最佳线性滤 波器。下面就来分析当滤波器具有什么样的特性时才能使输出信噪比达到最大。第 8-章 数字信号的最佳接收第 8-章 数字信号的最佳接收第 8-章 数字信号的最佳接收由式(8.1 5)可见,滤波器输出信噪比ro 与输入信号的频谱函数S()和滤波器的传输函 数 H()有关。在输入信号给定的情况下,输出信噪比ro 只与滤波器的传输函数 H()有 关。使输出信噪比ro 达到最大的传输函数 H()就是我们所要求的最佳滤波器的传输函 数。式(8.1 5)是一个泛函求极值的问题,采用施瓦兹(Schwartz)不等式可以容易地解决 该问题。第 8-章 数字信号的最佳接收施瓦兹不等式为式中,X()和Y(
5、)都是实变量 的复函数。当且仅当时式(8.1 6)中等式才能成立。式(8.1 7)中 K 为任意常数。第 8-章 数字信号的最佳接收将施瓦兹不等式用于式(8.1 5),并令可得第 8-章 数字信号的最佳接收第 8-章 数字信号的最佳接收从匹配滤波器传输函数 H()所满足的条件,我们也可以得到匹配滤波器的单位冲激 响应第 8-章 数字信号的最佳接收即匹配滤波器的单位冲激响应为式(8.1 16)表明,匹配滤波器的单位冲激响应h(t)是输入信号s(t)的镜像函数,t0 为输出最大信噪比时刻。其形成原理如图 8-2 所示。第 8-章 数字信号的最佳接收图 8-2 匹配滤波器单位冲激响应产生原理第 8-
6、章 数字信号的最佳接收对于因果系统,匹配滤波器的单位冲激响应h(t)应满足为了满足式(8.1 17)的条件,必须有第 8-章 数字信号的最佳接收上式条件说明,对于一个物理可实现的匹配滤波器,其输入信号s(t)必须在它输出最大信 噪比的时刻t0 之前结束。也就是说,若输入信号在T 时刻结束,则对物理可实现的匹配滤 波器,其输出最大信噪比时刻t0 必须在输入信号结束之后,即t0 T。对于接收机来说,t0 是时间延迟,通常总是希望时间延迟尽可能小,因此一般情况可取t0=T。第 8-章 数字信号的最佳接收若输入信号为s(t),则匹配滤波器的输出信号为令t0-=x,有第 8-章 数字信号的最佳接收第 8
7、-章 数字信号的最佳接收【例例8-1】设输入信号如图8-3(a)所示,试求该信号的匹配滤波器传输函数和输出 信号波形。图 8-3 信号时间波形第 8-章 数字信号的最佳接收第 8-章 数字信号的最佳接收第 8-章 数字信号的最佳接收8.2 最小差错概率接收准则最小差错概率接收准则8.2.1 数字信号接收的统计模型数字信号接收的统计模型数字通信系统的统计模型如图 8-4所示。图中消息空间、信号空间、噪声空间、观察 空间及判决空间分别代表消息、发送信号、噪声、接收信号波形及判决结果的所有可能状 态的集合。各个空间的状态用它们的统计特性来描述。第 8-章 数字信号的最佳接收图 8-4 数字通信系统的
8、统计模型第 8-章 数字信号的最佳接收在数字通信系统中,消息是离散的状态,设消息的状态集合为若消息集合中每一状态的发送是统计独立的,第i个状态xi 的出现概率为P(xi),则消息 X 的一维概率分布为第 8-章 数字信号的最佳接收根据概率的性质有若消息各状态x1,x2,xm 出现的概率相等,则有第 8-章 数字信号的最佳接收消息是各种物理量,本身不能直接在数字通信系统中进行传输,因此需要将消息变换 为相应的电信号s(t),用参数S 来表示。将消息变换为信号可以有各种不同的变换关系,通常最直接的方法是建立消息与信号之间一一对应的关系,即消息xi 与信号si(i=1,2,m)相对应。这样,信号集合
9、S 也由m 个状态所组成,即第 8-章 数字信号的最佳接收并且信号集合各状态出现概率与消息集合各状态出现概率相等,即同时也有第 8-章 数字信号的最佳接收若消息各状态出现的概率相等,则有P(si)是描述信号发送概率的参数,通常称为先验概率,它是信号统计检测的第一 数据。第 8-章 数字信号的最佳接收信道特性是加性高斯噪声信道,噪声空间n 是加性高斯噪声。在前面各章分析系统抗 噪声性能时,用噪声的一维概率密度函数来描述噪声的统计特性,在本章最佳接收中,为 了更全面地描述噪声的统计特性,采用噪声的多维联合概率密度函数。噪声n 的k 维联合 概率密度函数为式中,n1,n2,nk 为噪声n 在各时刻的
10、可能取值。第 8-章 数字信号的最佳接收根据随机信号分析理论我们知道,若噪声是高斯白噪声,则它在任意两个时刻上得到 的样值都是互不相关的,同时也是统计独立的;若噪声是带限高斯型的,按抽样定理对其 抽样,则它在抽样时刻上的样值也是互不相关的,同时也是统计独立的。根据随机信号分 析,若随机信号各样值是统计独立的,则其k 维联合概率密度函数等于其k 个一维概率密 度函数的乘积,即第 8-章 数字信号的最佳接收第 8-章 数字信号的最佳接收信号通过信道叠加噪声后到达观察空间,观察空间的观察波形为由于在一个码元期间T 内,信号集合中各状态s1,s2,sm 中之一被发送,因此在观察 期间T 内观察波形为第
11、 8-章 数字信号的最佳接收由于n(t)是均值为零,方差为n2 的高斯过程,则当出现信号si(t)时,y(t)的概率密度函 数fsi(y)可表示为fsi(y)称为似然函数,它是信号统计检测的第二数据。根据y(t)的统计特性,按照某种准则,即可对y(t)作出判决,判决空间中可能出现的 状态r1,r2,rm 与信号空间中的各状态s1,s2,sm 相对应。第 8-章 数字信号的最佳接收8.2.2 最佳接收准则最佳接收准则 在数字通信系统中,最直观且最合理的准则是“最小差错概率”准则。由于在传输过程 中,信号会受到畸变和噪声的干扰,发送信号si(t)时不一定能判为ri 出现,而是判决空间的所有状态都可
12、能出现。这样将会造成错误接收,我们期望错误接收的概率愈小愈好。第 8-章 数字信号的最佳接收在噪声干扰环境中,按照何种方法接收信号才能使得错误概率最小?我们以二进制数 字通信系统为例分析其原理。在二进制数字通信系统中,发送信号只有两种状态,假设发 送信号s1(t)和s2(t)的先验概率分别为P(s1)和P(s2),s1(t)和s2(t)在观察时刻的取值 分别为a1 和a2,出现s1(t)信号时y(t)的概率密度函数fs1(y)为第 8-章 数字信号的最佳接收同理,出现s2(t)信号时y(t)的概率密度函数fs2(y)为fs1(y)和fs2(y)的曲线如图 8-5 所示。第 8-章 数字信号的最
13、佳接收图 8-5 fs1(y)和fs2(y)的曲线图第 8-章 数字信号的最佳接收若在观察时刻得到的观察值为yi,可依概 率将yi 判为r1 或r2。在yi 附近取一小区间 a,yi 在区间 a 内属于r1 的概率为yi 在相同区间 a 内属于r2 的概率为第 8-章 数字信号的最佳接收可以看出即yi属于r1 的概率大于yi属于r2 的概率。因此,依大概率应将yi 判为r1 出现。由于fs1(y)和fs2(y)的单调性质,图 8-5 所示的判决过程可以简化为图8-6所示 的判决过程。第 8-章 数字信号的最佳接收图 8-6 判决过程示意图第 8-章 数字信号的最佳接收根据fs1(y)和fs2(
14、y)的单调性质,在图8-6中y 坐标上可以找到一个划分点y0。在 区间(-,y0),q1q2;在区间(y0,),q1 I0(x1),则有x2x1。因此,式(8.4 26)和式(8.4 27)中,根据比较零阶修正贝塞尔函数 大小作出判决,可以简化为根据比较零阶修正贝塞尔函数自变量的大小作出判决。此时判 决规则简化为第 8-章 数字信号的最佳接收第 8-章 数字信号的最佳接收式(8.4 32)和式(8.4 33)就是对二进制随相信号进行判决的数学关系式,根据以上 二式可构成二进制随相信号最佳接收机结构如图 8-12 所示。第 8-章 数字信号的最佳接收图 8-12 二进制随相信号最佳接收机结构第
15、8-章 数字信号的最佳接收上述最佳接收机结构形式是相关器结构形式。可以看出,二进制随相信号最佳接收机结 构比二进制确知信号最佳接收机结构复杂很多,实际中实现也较复杂。与二进制确知信号最 佳接收机分析相类似,可以采用匹配滤波器对二进制随相信号最佳接收机结构进行简化。第 8-章 数字信号的最佳接收由于接收机输入信号s1(t,1)和s2(t,2)包含有随机相位1 和2,因此无法实现 与输入信号s1(t,1)和s2(t,2)完全匹配的匹配滤波器。我们可以设计一种匹配滤波器,它只与输入信号的频率匹配,而不匹配到相位。与输入信号s1(t,1)频率相匹配的匹配滤 波器单位冲激响应为第 8-章 数字信号的最佳
16、接收当输入y(t)时,该滤波器的输出为第 8-章 数字信号的最佳接收第 8-章 数字信号的最佳接收可以看出,滤波器输出信号在t=T 时刻的包络与图 8-12 所示的二进制随相信号最佳接 收机中的参数 M1 相等。这表明,采用一个与输入随相信号频率相匹配的匹配滤波器,再 级联一个包络检波器,就能得到判决器所需要的参数 M1。第 8-章 数字信号的最佳接收同理,选择与输入信号s2(t,2)的频率相匹配的匹配滤波器的单位冲激响应为该滤波器在t=T 时刻的输出为第 8-章 数字信号的最佳接收从而得到了比较器的第二个输入参数 M2,通过比较 M1 和 M2 的大小即可作出判决。根据 以上分析,可以得到匹
17、配滤波器加包络检波器结构形式的最佳接收机如图 8-13 所示。由 于没有利用相位信息,所以这种接收机是一种非相干接收机。第 8-章 数字信号的最佳接收图 8-13 匹配滤波器形式的随相信号最佳接收机结构第 8-章 数字信号的最佳接收8.4.2 二进制随相信号最佳接收机误码性能二进制随相信号最佳接收机误码性能 二进制随相信号与二进制确知信号最佳接收机误码性能分析方法相同,总的误码率为当发送信号s1(t,1)和s2(t,2)出现概率相等时因此只需要分析Ps1(s2)或Ps2(s1)其中之一就可以,我们以Ps1(s2)为例进行分析。第 8-章 数字信号的最佳接收在发送s1(t,1)信号时出现错误判决
18、的条件是此时的错误概率为其中,M1 和 M2 如式(8.4 20)和式(8.4 21)。与7.2节2FSK 信号非相干解调分析方法相似,首先需要分别求出 M1 和 M2 的概率 密度函数f(M1)和f(M2),再来根据式(8.4 41)计算错误概率。第 8-章 数字信号的最佳接收第 8-章 数字信号的最佳接收第 8-章 数字信号的最佳接收总的误码率为由误码率表示式可以看出,二进制随相信号最佳接收机是一种非相干接收机。误码率性能 曲线如图 8-14 所示。第 8-章 数字信号的最佳接收图 8-14 二进制数字调制系统误码率性能曲线第 8-章 数字信号的最佳接收8.5 最佳接收机性能比较最佳接收机
19、性能比较第 8-章 数字信号的最佳接收第 8-章 数字信号的最佳接收第 8-章 数字信号的最佳接收第 8-章 数字信号的最佳接收对于最佳接收系统,接收机前端没有带通滤波器,其输入端信号能量与噪声功率谱密 度之比为式中,S 为信号平均功率,T 为码元时间宽度。第 8-章 数字信号的最佳接收第 8-章 数字信号的最佳接收第 8-章 数字信号的最佳接收8.6 最佳基带传输系统最佳基带传输系统第 8-章 数字信号的最佳接收图 8-15 基带传输系统组成第 8-章 数字信号的最佳接收最佳基带传输系统的准则是:判决器输出差错概率最小。由第 5 章基带传输系统和本 章最佳接收原理我们知道,影响系统误码率性能
20、的因素有两个:其一是码间干扰;其二是 噪声。码间干扰的影响,可以通过系统传输函数的设计,使得抽样时刻样值的码间干扰为 零。对于加性噪声的影响,可以通过接收滤波器的设计,尽可能减小噪声的影响,但是不 能消除噪声的影响。最佳基带传输系统的设计就是通过对发送滤波器、接收滤波器和系统 总的传输函数的设计,使系统输出差错概率最小。第 8-章 数字信号的最佳接收第 8-章 数字信号的最佳接收第 8-章 数字信号的最佳接收第 8-章 数字信号的最佳接收第 8-章 数字信号的最佳接收图 8-16 最佳基带传输系统组成第 8-章 数字信号的最佳接收为了使最佳基带传输系统的误码性能分析具有一般意义,我们来讨论多进
21、制数字基带 系统的误码率。设传输的数据符号an 具有L(假设L 为偶数)种电平取值:A、3A,(L-1)A,这些取值都是相互独立的,并且出现概率相等。发送滤波器输出信号平 均功率为第 8-章 数字信号的最佳接收第 8-章 数字信号的最佳接收式中方差n2 为第 8-章 数字信号的最佳接收由图 8-17 可 以 看 出,判 决 器 的 判 决 门 限 电 平 应 设 置 为 0,2A,4A,(L-2)A。发生错误判决的情况有:(1)在Ak=A,3A,(L-3)A 的情况下,噪声样值|V|A;(2)在Ak=(L-1)A 的情况下,噪声样值VA。因此,错误概率为第 8-章 数字信号的最佳接收图 8-1
22、7 信号判决示意图第 8-章 数字信号的最佳接收根据噪声样值分布的对称性可得第 8-章 数字信号的最佳接收将上式代入式(8.6 17)可得第 8-章 数字信号的最佳接收由式(8.6 13)可得式中,E=STs 为接收信号码元能量。最后可得系统误码率为第 8-章 数字信号的最佳接收第 8-章 数字信号的最佳接收第 8-章 数字信号的最佳接收对于二进制传输系统,L=2,此时误码率公式 可简化为与8.3节式(8.3 39)比较可以看出,两者相等。这表明,二进制最佳基带传输系统的误码性能与采 用最佳发送波形时的二进制确知信号最佳接收机的 误码性能相等。这说明,采用最佳发送波形的最佳接 收机也就构成了最
23、佳系统。第 8-章 数字信号的最佳接收思思 考考 题题8-1 什么是匹配滤波器?简要叙述其工作原理。8-2 匹配滤波器的传输函数和单位冲激响应与输入信号有什么关系?8-3 简要说明匹配滤波器为什么能够等效为相关器?8-4 什么是“最小差错概率准则”?什么是“似然比准则”?什么是“最大似然准则”?三者之间有什么相同和不同之处?第 8-章 数字信号的最佳接收8-5 什么是“确知信号”?什么是“随相信号”?什么是“起伏信号”?8-6 二进制确知信号最佳接收机结构是如何得到的?它与二进制数字调制信号相干 解调器结构有什么相同和不同之处?8-7 什么是二进制确知信号最佳波形?信号s1(t)和s2(t)满足最佳波形的条件是什么?8-8-如何采用匹配滤波器代替相关器构成二进制确知信号最佳接收机结构?两者的 等价条件是什么?第 8-章 数字信号的最佳接收8-9 二进制随相信号最佳接收机结构有何特点?它是属于相干解调还是非相干解 调?为什么?8-10 如何采用匹配滤波器代替相关器构成二进制随相信号最佳接收机结构?简要 说明其原理。8-11 什么是最佳基带传输系统?简要叙述最佳基带传输系统的构成原理。8-12 在理想信道条件下,最佳基带传输系统的发送滤波器、接收滤波器和总的传 输函数之间有什么关系?
