1、2023-2024学年高一上学期期末数学模拟试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合，则A的子集个数为（ ）A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求集合并确定元素个数，即可判断子集个数.【详解】由，即，所以，共有3个元素，故A的子集个数为个.故选：B2. 若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合M可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据假命题的否定为真命题可知，又，求出命题成立的条件，求交集即可知M满足的条件.【详解】解：为假命题,为真命题，可得，又
2、为真命题，可得，所以，故选：B.3. 若tanx，且x2，则满足条件的x的集合为()A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】首先知道特殊角的三角函数，tanx，再根据题意得出答案.【详解】tanx，在单位圆中画出正切线AT的角的终边为直线OT(如图)，xk ，kZ，又因为x0 或0 成立，则实数 的取值范围是_【答案】-3m0成立，那么实数a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先由条件判断出在R上是增函数，所以需要满足和 单调递增，并且在处对应的值大于等于对应的值，解出不等式组即可.【详解】对任意，都有0，所以在R上是增函数，所以，解得，故实数a的取值范围是.故答案为：.【
3、点睛】本题考查含有参数的分段函数根据单调性求参数范围问题，需要满足各部分单调并且在分段处的函数值大小要确定，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知=(1)求的值;(2)求的值.【答案】(1)=(2) =.【解析】【详解】试题分析：(1)=,展开代入各值即得解（2）=根据二倍角公式得出=,=代入各值即得解.试题解析：(1)=,=,(2)=,=.18. 已知函数（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由【答案】（1） （2）奇函数，理由见解析【解析】【分析】（1）根据对数函数的真数大于零得到不等
4、式，解得即可；（2）根据奇偶性的定义判断即可.【小问1详解】解：由，等价于，解得，故函数的定义域为；【小问2详解】解：函数是奇函数，理由如下：由（1）知，函数的定义域关于原点对称，且，故函数为奇函数19. 如图，圆心角为的扇形的半径为2，点C是弧AB上一点，作这个扇形的内接矩形（1）求扇形的周长；（2）当点C在什么位置时，矩形的面积最大？并求出面积的最大值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先由公式求弧AB长，即可得到周长；（2）设，即可由三角函数表示出，即可得矩形面积与的函数式，最后进行变换得，即可讨论最值最值成立的条件.【小问1详解】由题，弧AB长为，故扇形的周长为：；【小问2详解
5、】设，则，所以，所以矩形的面积，所以当时，取得最大值，即当C在弧AB中点时，矩形的面积最大，最大值为.20. 已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求的值；（2）用定义法证明函数在上的单调性；（3）若对于任意的，恒成立，求实数m的取值范围.【答案】20. 21. 证明见解析 22. 【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性和特殊点求得；（2）根据函数单调性的定义证得函数在上单调递增；（3）根据函数的单调性求得的最大值，然后以为主变量列不等式，由此求得的取值范围.小问1详解】由于奇函数在处有定义，所以，所以，经检验，此时满足为奇函数，所以.因为，所以.【小问2详解】由（1）知.任取、且，所以，因为
6、，则，所以，则，所以，函数在上单调递增.【小问3详解】由（2）知在的最大值为所以对于任意的恒成立，即对于任意的恒成立，所以，解得，所以的取值范围为.21. 函数（其中）的部分图象如图所示，把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位，得到函数的图像.（1）当时，若方程恰好有两个不同的根，求的取值范围及的值；（2）令，若对任意都有恒成立，求的最大值.【答案】（1）取值范围；时，；时，；（2）.【解析】【分析】（1）根据给出的图像求出解析式，再根据平移得到解析式，由的范围求出的单调区间和值域，结合图像，分析出的范围及的值.（2）令，得到，是关于的二次函数，利用二次函数的保号性，得到答案.【详解
7、】（1）根据图像可知，代入得，把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位，得到函数在单调递增，在单调递减，在单调递增，且，方程恰好有两个不同的根，的取值范围令对称轴为，或时，；时，.（2）由（1）可知，对任意都有恒成立令，即在上恒成立，是关于的二次函数，开口向上，则恒成立而的最大值，在或时取到最大值则，解得所以，则的最大值为.【点睛】本题考查利用函数图像求函数的解析式，正弦型函数图像的平移变换、图像与性质、对称轴、值域，二次函数保号性等，题目涉及知识点多，比较综合，属于难题.22. 已知函数.（1）求关于的不等式的解集，（2）若对任意的正实数，存在，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）
8、答案见解析 （2）【解析】【分析】（1）依题意化简不等式得，从而分类讨论即可得解；（2）由题意可得，然后分，和三种情况讨论的最大值，从而可求得结果.【小问1详解】因为，所以由，得，化简得，即，即，当时，该不等式无解，当时，不等式化为，解得或，当时，不等式化为，解得或，综上，当时，的解集为，当时，的解集为，当时，的解集为.【小问2详解】因为对任意的正实数，存在，使得，所以，易知当时，在上单调递增，所以时，且，因为，所以，当，即时，因为，所以，所以；当，即时，令，得，所以，故；当，即时，所以，因为，所以，所以；综上，所以的取值范围为.【点睛】关键点睛：本题第2小题的解决关键在于分类讨论的正负情况，从而确定，由此得解.
