1、2023-2024学年高二第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知空间的直线，m，n和平面，下列命题正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则2. 两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（ ）A. 4 B. C. D. 3设双曲线与椭圆：有公共焦点，.若双曲线经过点，设为双曲线与椭圆的一个交点，则的余弦值为（ ）ABCD4如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CC1，P是A1C1的中点，则异面直线BC与AP所成角的余弦值为（ ）A0 B CD5已知椭圆，分别为椭圆的左右顶点，
2、若在椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）ABCD6在中，点在该三角形的内切圆上运动，当最大时，则的值为（）ABCD7. 如图，内角所对的边分别为，且，延长至，是是以为底边的等腰三角形，当时，边（ ）A. B. C. D. 8在直角坐标系xOy中，F1(-c，0)，F2(c，0)分别是双曲线C：的左、右焦点，位于第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C上的一点，PF1F2的外心M的坐标为，PF1F2的面积为2a2，则双曲线C的渐近线方程为（ ）AyxByxCyxDyx二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的
3、得2分，有选错的得0分9若双曲线：与圆：有4个交点，则的渐近线方程可能为（ ）ABCD10已知圆C：，直线l：.下列说法正确的是（ ）A直线l恒过定点B圆C被y轴截得的弦长为C直线l被圆C截得弦长存在最大值，此时直线l的方程为D直线l被圆C截得弦长存在最小值，此时直线l的方程为11已知正方体的棱长为，下列四个结论中正确的是（ ）A直线与直线所成的角为B直线与平面所成角的余弦值为C平面D点到平面的距离为12已知是椭圆（）和双曲线（）的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则以下结论正确的是（）ABCD的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知直线：，：，若，则m的值为 14.
4、已知点在圆上，点、，当最大时，则线段的长度为 .15.已知点、，如果直线、的斜率之积为，记，则_.16. 已知三棱锥满足底面，在中，是线段上一点，且球为三棱锥的外接球，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为，则球的表面积为 .四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知P为平面内的一个动点，三角形周长为定值.（1）求动点P的轨迹方程；（2）若P的轨迹上有一点满足，求的值.18. （12分）已知分别为内角的对边，若同时满足下列四个条件中的三个： ； ； ； （1）满足有解三角形的序号组合有哪些，说明理
5、由？（2）请在（1）所有组合中任选一组，求对应的面积19（12分）已知圆C经过点A(1,3)、B(2,2)，并且直线m：3x2y0平分圆C.（1）求圆C的方程；（2）过点D(0,1)，且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M、N，且12，求k的值20（12分）已知双曲线E：的离心率为2，点在E上.（1）求E的方程：（2）过点的直线交E于不同的两点A，B（异于点P），求直线PA，PB的斜率之和.21（12分）如图，四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，平面底面，为的中点（1）求证：；（2）在线段（不包括端点）上是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由
6、22（12分）已知椭圆经过点，且其右焦点为（1,0），过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；（3）过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，试证明：直线过定点2023-2024学年高二第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知空间的直线，m，n和平面，下列命题正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】C【详解】选项A中，当，时，与有可能相交、平行、异面，所以A错误；选项B中，当
7、，时，平面，有可能相交，所以B错误；选项C中，当，时，由线面垂直的性质可知，所以C正确.选项D中，当，时，与有可能相交、异面，所以D不正确；故选：C.2. 两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（ ）A. 4 B. C. D. 【答案】D【详解】因为两直线平行，所以，解得m=2，将6x+2y+1=0化为3x+y+=0，由两条平行线间的距离公式得d=，故选：D.3设双曲线与椭圆：有公共焦点，.若双曲线经过点，设为双曲线与椭圆的一个交点，则的余弦值为（ ）ABCD【答案】A【详解】由题得，双曲线中，所以，双曲线方程为：，假设在第一象限，根据椭圆和双曲线的定义可得： ，解
8、得：，所以根据余弦定理，故选：A4如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CC1，P是A1C1的中点，则异面直线BC与AP所成角的余弦值为（ ）A0 B CD4D【详解】如图，取的中点Q，连接.因为，所以即异面直线与所成的角或其补角.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,设，则，在三角形APQ中，由余弦定理得：.故选：D5已知椭圆，分别为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）ABCD5A【详解】由题意，椭圆，可得，设，代入椭圆的方程，可得，则，即，即.又因为，所以.故选：A.6在中，点在该三角形的内切圆上运动，当最大时，则的值为（）ABCD【答案】A【详解
9、】在中，因为， 所以，所以为直角三角形，其中.以B为原点，分别为轴正方向建立直角坐标系，则,.所以直线.设的内切圆.因为点在该三角形的内切圆上运动，所以.，（当且仅当时等号成立） 此时.所以，而,所以.故选：A7. 如图，内角所对的边分别为，且，延长至，是是以为底边的等腰三角形，当时，边（ ）A. B. C. D. 【解析】：已知且，则由余弦定理代入， 化简得：，又由，所以，根据等腰三角形的性质，设，所以有整理得故，故选A.8在直角坐标系xOy中，F1(-c，0)，F2(c，0)分别是双曲线C：的左、右焦点，位于第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C上的一点，PF1F2的外心M的坐标为，PF
10、1F2的面积为2a2，则双曲线C的渐近线方程为（ ）AyxByxCyxDyx8D【详解】由PF1F2的外心M，知：，在中，即，故F1PF2，在中，而，即，而，由题意知：，故双曲线的渐近线方程为：故选：D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9若双曲线：与圆：有4个交点，则的渐近线方程可能为（ ）ABCD【答案】ABD【详解】因双曲线：与圆：有4个交点，则有双曲线的顶点在圆内，于是有，从而得，而双曲线的渐近线方程为，所以双曲线的渐近线方程可能为A，B，D，不可能为C.故选：ABD10已知圆C：，直线l
11、：.下列说法正确的是（ ）A直线l恒过定点B圆C被y轴截得的弦长为C直线l被圆C截得弦长存在最大值，此时直线l的方程为D直线l被圆C截得弦长存在最小值，此时直线l的方程为10BD【详解】将直线l的方程整理为，由，解得.则无论m为何值，直线l恒过定点，故A不正确；令，则，解得，故圆C被y轴截得的弦长为，故B正确；无论m为何值，直线l不过圆心，即直线l被圆C截得的弦长不存在最大值，故C错误；当截得的弦长最短时，此时直线l垂直于圆心与定点的连线，则直线l的斜率为，此时直线l的方程为，即，故D正确.故选：BD.11已知正方体的棱长为，下列四个结论中正确的是（ ）A直线与直线所成的角为B直线与平面所成角
12、的余弦值为C平面D点到平面的距离为.【详解】如图以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则， ，对于A：，因为，所以，即，直线与直线所成的角为，故选项A正确；对于C：因为 ，所以，所以，因为，所以平面，故选项C正确；对于B：由选项C知：平面，所以平面的一个法向量，因为，所以，即直线与平面所成角的正弦值为，所以直线与平面所成角的余弦值为，故选项B正确；对于D：因为，平面的一个法向量，所以点到平面的距离为，故选项D不正确故选：ABC.12已知是椭圆（）和双曲线（）的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则以下结论正确的是（）ABCD的最小值为12BD【分析】根据椭圆与双曲线有相同的焦点可判断
13、A，根据椭圆与双曲线的定义及余弦定理可判断B；由分析B中所得结论可判断C；利用“1”的变形及均值不等式即可判断D.【详解】由题意可得，所以错误；可设是第一象限的点，由椭圆的定义可得，解得，又，因为，在中，由余弦定理可得，化为，则，故正确；由，可得，即有，故错误；由，当且仅当，取得等号，即有的最小值为，故正确故选：三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知直线：，：，若，则m的值为 【答案】-1或2【详解】：因为，所以解得：或15. 已知点在圆上，点、，当最大时，则线段的长度为 .【详解】圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即，如下图所示：当最大时，与圆相切，连接、，可知，由勾股定理可
14、得，15.已知点、，如果直线、的斜率之积为，记，则_.【答案】【解析】由题意，化简可得，在椭圆中，所以，、为椭圆的两个焦点，因此，.故答案为：.16.已知三棱锥满足底面，在中，是线段上一点，且球为三棱锥的外接球，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为，则球的表面积为 .【解析】将三棱锥补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球，记三角形的中心为，设球的半径为，则球心到平面的距离为，即，连接，则，在中，取的中点为，连接，则，在中，由题意得到当截面与直线垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为，则，所以最小截面圆的面积为，当截面过球心时，截面面积最大为，球的表面积为(或将
15、三棱锥补成长四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知P为平面内的一个动点，三角形周长为定值.（1）求动点P的轨迹方程；（2）若P的轨迹上有一点满足，求的值.解：（1）依题可知，所以，故动点P的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆（除去两点），由，所以，即动点P的轨迹方程为（2） 因为点满足，则有，且， ，即，而点在椭圆C上，则，取立消去，得，所以.18. （12分）已知分别为内角的对边，若同时满足下列四个条件中的三个： ； ； ； （1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）请在（1）所有组合中任选一组，求对应的面积
16、【答案】（1）序号组合为， （2）答案不唯一，具体见解析【解析】（1）对于，；对于，即，且，则，故，不能同时存在，则满足有解三角形的序号组合为，（2）选：时，由余弦定理：，整理得：且，则，的面积为选：时，由余弦定理：，整理得：，则，的面积19（12分）已知圆C经过点A(1,3)、B(2,2)，并且直线m：3x2y0平分圆C.（1）求圆C的方程；（2）过点D(0,1)，且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M、N，且12，求k的值解析(1)线段AB的中点E，kAB1，故线段AB的中垂线方程为yx，即xy10.1分因为圆C经过A、B两点，故圆心在线段AB的中垂线上又因为直线m：3x2y0平分圆C
17、，所以直线m经过圆心由即xy10与3x2y0的交点即圆心所以圆心的坐标为C(2,3).2分而圆的半径r13分 .5 (2)直线l的方程为ykx1.圆心C到直线l的距离d，6分d1，两边平方整理得：3k28k30，解之得：k0，所以k值为1.12分20（12分）已知双曲线E：的离心率为2，点在E上.（1）求E的方程：（2）过点的直线交E于不同的两点A，B（均异于点P），求直线PA，PB的斜率之和.20（1）；（2）.【详解】（1）由已知可得，解得又点在E上，由 可得，.双曲线E的方程为.3分（2）过点的直线l斜率显然存在，设l的方程为：，将l的方程代入双曲线E的方程并整理得，.5分依题意，且，所
18、以且，.6分因此，可得，.7分.12分21（12分）如图，四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，平面底面，为的中点（1）求证：；（2）在线段（不包括端点）上是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由21（1）证明见解析；（2）存在；点为靠近点的三等份点【详解】（1）取的中点连，又面面，面面，面，面，.2分法一：面，则，在正方形内，分别为的中点，则有，又，平面，.4分又平面，.5分法二：取的中点，连，则两两垂直，分别以，所在的直线为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系设，则，.3分，则有，.5分（2）由（1）中法二，所得空间直角坐标系，易知，设，则，.6分设
19、面的法向量为，则，即，令，则.8分设直线与平面所成角的为，.9分整理得：.10分，即.11分在上存在点，使得直线与平面成角的正弦值为，此时点为靠近点的三等份点，即.12分22（12分）已知椭圆经过点，且其右焦点为（1,0），过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；（3）过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，试证明：直线过定点22（1）；（2）存在，；（3）证明见解析【详解】（1）椭圆右焦点，且经过点，解得，椭圆的方程为：.2分（2）设直线的方程为：，代入，得：，恒
20、成立设，线段的中点为，则，.4分由，得：，直线为直线的垂直平分线，直线的方程为：，.5分令得：点的横坐标，.6分，线段上存在点，使得，其中.7分（3）证明：设直线的方程为：，代入，得：，过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，由，得：，设，则，.9分则直线的方程为，令得：.10分直线过定点.12分22（12分）在平面直角坐标系中，已知点到点的距离与到直线的距离之比为（1）求点的轨迹的方程；（2）过点且斜率为的直线与交于A，B两点，与轴交于点，线段AB的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围解：（1）设，由题意，因为，所以， 即，两边平方并整理得故点的轨迹的方程为.4（2）设直线方程为，联立，消并整理得，设，则，又，可得线段中点坐标为，.6所以线段中垂线的方程为，令，可得，对于直线，令，可得，.8所以又，所以，.10令，则，因为在上单调递增，所以，故.12
