1、吉林省东北师范大学附属中学2015届高考一轮复习 基本不等式及其应用教案 理知识梳理：1、基本不等式(1)重要不等式:如果a,b ,那么+2ab.当且仅当a=b时,等号成立.(2)基本不等式: 如果a,b0.那么可以表述为两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2、重要结论：（1）a+2 （a）1（2）a+2（a）1（3）、（4）、+ab+bc+ca（5）、 （ a,b0.）（6）、+3、如果a,b ,那么(不等式证明选讲内容)4、推广：对于n个正数它们的算术平均数不小于它们的几何平均数.即二、题型探究探究一：利用基本不等式求最值：例1：（1）x,y ,x+y=S（和为定值），则当x=y时，
2、积xy取得最大值 ；（2）x,y , xy=P（积为定值），则当x=y时，和x+y取得最小值2即：和定，积最大；积定，和最小。应用基本不等式的条件：（1）、一正：各项为正数；（2）、二正：“和”或“积”为定值；（3）、三等：等号一定能取到，这三个条件缺一不可。例2：解答下列问题（1） 已知x ，求x+ 的最小值；（2） 已知0 ，求函数f(x)=x(8-3x)的最大值；（3） 求函数y=（4） 已知x ，且x+y=1，求+。探究二：基本不等式的实际应用在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：（1）、先理解意，设变量时一般把要求的最值的变量定为函数；（2）、建立相应的函数关系式，把实际问
3、题抽象为函数的最值问题；（3）、在定义域内，求出函数的最值；（4）、正确写了答案。例3：某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过a米，房屋正面的造价为400元/ 平方米,房屋侧面的造价为150元/ 平方米,屋顶和地面的造价费用合计5800元，如果墙高为3米，且不房屋背面的费用。（1）、把房屋总选价y表示为x的函数，并写出该函数的定义域；（2）、当侧面的长度为多少时？房屋的总造价最低，最低造价是多少？三、方法提升基本不等式（也称均值定理）具有将“和式”，“积式”相互转化的功能，应用比较广泛，为了用好该不等式，首先要正确理解该不等式中的三
4、人条件（三要素）正（各项或各因式为正值）、定（“和”或“积”为定值）、等（各项或各因式都能取得相等的值，即具备等号成立的条件），简称“一正，二定，三相等”，这三个条件缺一不可，当然还要牢记结论：和定，积最大；积定，和最小。但是在具体问题中，往往所给的条件并非“标准”的“一正，二定，三相等”，（或隐藏在所给条件中），所以要对各项或各式作适应的变形，通过凑，拆，添项等技巧，对“原始”条件进行调整、转化，使其符合标准的正、定、等。如果等号在变形的时候不成立，这时可以改用“对勾函数”来解决不能应用基本不等式求解的情形。四、反思感悟 五、课时作业1(2009年高考重庆卷)已知a0，b0，则2的最小值是(
5、)A2 B2 C4 D5解析：选C.2224.当且仅当时，等号成立，即ab1时，不等式取最小值4.2设点P(，1)(t0)，则|(O为坐标原点)的最小值是()A3 B5 C. D.解析：选D.由已知得|，当t2时取得等号3(原创题)若a0，b0，a，b的等差中项是，且a，b，则的最小值为()A2 B3 C4 D5解析：选D.因为ab1，所以ab11115，故选D.4若ab2，则3a3b的最小值是()A18 B6 C2 D2解析：选B.3a3b226.5已知x，则函数y2x的最大值是()A2 B1 C1 D2解析：选C.y2x(12x)1，由x0，根据基本不等式可得(12x)2，当且仅当12x即
6、x0时取等号，则ymax1.正确答案为C.6(2009年高考天津卷)设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为()A8 B4 C1 D.解析：选B.由题意知3a3b3，即3ab3，所以ab1.因为a0，b0，所以()(ab)2224，当且仅当ab时，等号成立7在面积为S(S为定值)的扇形中，当扇形中心角为，半径为r时，扇形周长最小，这时，r的值分别是()A1，r B2，rC2，r D2，r解析：选D.Sr2，又扇形周长P2rr2(r)4，当P最小时，rr，此时2.8已知圆x2y22x4y10关于直线2axby20(a0，b0)对称，则的最小值是()A4 B6 C8 D9解析：选D.由
7、圆的对称性可得，直线2axby20必过圆心(1,2)，所以ab1.所以5259，当且仅当，即a2b时取等号，故选D.9已知0x，则函数y5x(34x)的最大值为_解析：因为0x0，所以y5x(34x)20x(x)20()2，当且仅当xx，即x时等号成立答案：10.如下图，某药店有一架不准确的天平(其两臂长不相等)和一个10克的砝码，一个患者想要买20克的中药，售货员先将砝码放在左盘上，放置药品于右盘上，待平衡后交给患者；然后又将砝码放在右盘上，放置药品于左盘上，待平衡后再交给患者设患者一次实际购买的药量为m(克)，则m_20克(请选择填“”或“220，所以填“”答案：11已知不等式(xy)()
8、9对任意的正实数x、y恒成立，求正数a的最小值解：(xy)()1aa12(a0)，要使原不等式恒成立，则只需a129，即(2)(4)0，故2，即a4，正数a的最小值是4.12.已知M是ABC内的一点，且2，BAC30，若MBC，MCA和MAB的面积分别为，x，y，则的最小值是()A20 B18 C16 D9解析：选B.由已知得bccosBAC2bc4，故SABCxybcsinA1xy，而2()(xy)2(5)2(52)18，故选B.13设x1，y1，且lg(xy)4，则lgxlgy的最大值为_解析：x1，y1，lgx0，lgy0，lgxlgy()24(当且仅当lgxlgy2，即xy100时取等
9、号)，当xy100时，lgxlgy有最大值4.答案：414设正数a，b满足条件ab3，则直线(ab)xaby0的斜率的取值范围是_解析：由k，3ab2，ab()2，k.答案：(，15当a0，a1时，函数f(x)loga(x1)1的图象恒过定点A，若点A在直线mxyn0上，则4m2n的最小值是_解析：A(2,1)，故2mn1.4m2n222.当且仅当4m2n，即2mn，即n，m时取等号4m2n的最小值为2.答案：216(1)设0x，求函数y4x(32x)的最大值；(2)已知x，y都是正实数，且xy3xy50，求xy的最小值解：(1)0x0.y4x(32x)22x(32x)22.当且仅当2x32x
10、，即x时，等号成立(0，)，函数y4x(32x)(0x0，x230，当且仅当x，即x15时，上式等号成立所以当x15时，y有最小值2000元因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最小18.已知某物体的温度(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是：m2t21t(t0，并且m0)(1)如果m2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围解：(1)依题意可得522t21t，即2(2t)252t20.亦即(22t1)(2t2)0，又t0，得2t2，t1.故经过1分钟该物体的温度为5摄氏度(2)法一：问题等价于m2t21t2(t0)恒成立m2t21tm2t22t2，只需22，即m.当且仅当2t22t，即t1时，式等号成立，m的取值范围是，)法二：问题等价于m2t21t2(t0)恒成立，即m21t212t22t(2t)22(2t)2(t0)恒成立t0，02t1，当2t，即t1时，2(2t)2有最大值.m的取值范围是，)7
