1、吉林省东北师范大学附属中学2015届高考一轮复习 数列（三）等比数列教案 理知识梳理：（阅读教材必修5第36页45页）1、等比数列的定义: 。说明:等比数列中, q ；等比数列中，若q则各项符号相同，若，则各项的符号正负交替出现。2、等比数列判断方法：、定义法：、等比中项法 ：=；、c (c、q均0)； =k（-1），q1，k。3、等比数列通项公式及前n项和:通项公式: ;前n项和公式: ; 说明：（1）、知道，n，这五个量中任意三个，就可求出其余两个； （2）、=c，当q是不等于1的正数时，y=是一个指数函数，而y= c是指数型函数。4、等比中项: ；5、等比数列常用的性质：（1）、是等比数
2、列，则（p）；仍是等比数列。（2）、；（3）、等和性：若m+n=p+q（m、n、p、q）则 （4）、等比数列中，等距离抽出的子数列依然是等比数列，即，为等比数列，公比为 ；（5）、片段和性质：若是等比数列的前n项和，且则，成等比数列，公比为 。（6）、三个数成等比，可以设，a，aq （q为公比）（7）、单调性：，0时或，时，是增数列；，时或，0时，是减数列；0时，为摆动数列；当q=1时，为常数列。二、题型探究探究一：已知等比数列的某些项，求某项例1：已知是等比数列，=2，=162，则 13122 ；探究二：已知等比数列前n项和，求项数。例2：（1）、已知，=93，=48，公比q=2，求n；（n
3、=5）（2）、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两项之和为37，中间两数之和为36，求这四个数。（12，16，20，25；24.75,20.25,15.75,12.25）探究三：求等比数列的前n项和例3：求等比数列1，2，4，8中，从第5项到第10项的和。例4：已知，最小，且+=66，+=128=126，求q,n.( q=2,n=6)探究四：等比数列的性质例5：已知，=54，=60，求(182/3)例6：已知满足=（a为常数，且a，a1）（1）、求的通项公式；(2)、设=+1，若是等比数列，求a。(a=1/3)三、方法提升1等比数列的知识要点（可类比等差数列学习）（1）
4、掌握等比数列定义q（常数）（nN），同样是证明一个数列是等比数列的依据，也可由anan2来判断；（2）等比数列的通项公式为ana1qn1；（3）对于G 是a、b 的等比中项，则G2ab，G；（4）特别要注意等比数列前n 项和公式应分为q1与q1两类，当q1时，Snna1，当q1时，Sn，Sn。2等比数列的判定方法定义法：对于数列，若，则数列是等比数列；等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列。3等比数列的性质等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有；四、反思感悟 五、课时作业一、选择题一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号
5、填在题后的括号内)1在等比数列an中，a7a116，a4a145，则()A. B. C.或 D或解析：在等比数列an中，a7a11a4a146 又a4a145由、组成方程组解得或或.答案：C2在等比数列an中a12，前n项和为Sn，若数列an1也是等比数列，则Sn等于()A2n12 B3n C2n D3n1解析：要an是等比数列，an1也是等比数列，则只有an为常数列，故Snna12n.答案：C评析：本题考查了等比数列的性质及对性质的综合应用，抓住只有常数列有此性质是本题的关键，也是技巧；否则逐一验证，问题运算量就较大 3设等比数列an的前n项和为Sn，若S6S312，则S9:S3等于()A1
6、:2 B2:3 C3:4 D1:3解析：解法一：S6:S31:2，an的公比q1.由，得q3，.解法二：因为an是等比数列，所以S3，S6S3，S9S6也成等比数列，即(S6S3)2S3(S9S6)，将S6S3代入得，故选C.答案：C4已知等比数列an中，an0，a10a11e，则lna1lna2lna20的值为()A12 B10 C8 De解析：lna1lna2lna20ln(a1a20)(a2a19)(a10a11)lne1010，故选B.答案：B5若数列an满足a15，an1(nN*)，则其前10项和是()A200 B150 C100 D50解析：由已知得(an1an)20，an1an5
7、，S1050.故选D.6.在等比数列an中，a1a2an2n1(nN*)，则aaa等于A(2n1)2 B.(2n1)2 C4n1 D.(4n1)解析：若a1a2an2n1，则an2n1，a11，q2，所以aaa(4n1)，故选D.7 “公差为0的等差数列是等比数列”； “公比为的等比数列一定是递减数列”； “a,b,c三数成等比数列的充要条件是b2=ac”； “a,b,c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c”，以上四个命题中，正确的有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个解析：四个命题中只有最后一个是真命题。命题中未考虑各项都为0的等差数列不是等比数列；命题中可知an+1=an，an+1an未
8、必成立，当首项a10时，anan，即an+1an，此时该数列为递增数列；命题中，若a=b=0，cR，此时有，但数列a,b,c不是等比数列，所以应是必要而不充分条件，若将条件改为b=，则成为不必要也不充分条件。点评：该题通过一些选择题的形式考察了有关等比数列的一些重要结论，为此我们要注意一些有关等差数列、等比数列的重要结论。8、 命题1：若数列an的前n项和Sn=an+b(a1)，则数列an是等比数列；命题2：若数列an的前n项和Sn=an2+bn+c(a0)，则数列an是等差数列；命题3：若数列an的前n项和Sn=nan，则数列an既是等差数列，又是等比数列；上述三个命题中，真命题有（ ）A0
9、个 B1个 C2个 D3个解析： 由命题1得，a1=a+b，当n2时，an=SnSn1=(a1)an1。若an是等比数列，则=a，即=a，所以只有当b=1且a0时，此数列才是等比数列。由命题2得，a1=a+b+c，当n2时，an=SnSn1=2na+ba，若an是等差数列，则a2a1=2a，即2ac=2a，所以只有当c=0时，数列an才是等差数列。由命题3得，a1=a1，当n2时，an=SnSn1=a1，显然an是一个常数列，即公差为0的等差数列，因此只有当a10；即a1时数列an才又是等比数列。点评：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，上述三个命题均涉及到Sn与an的关系，它们是an=，
10、正确判断数列an是等差数列或等比数列，都必须用上述关系式，尤其注意首项与其他各项的关系。上述三个命题都不是真命题，选择A。二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)9数列an中，设数列an的前n项和为Sn，则S9_.解析：S9(122242628)(371115)377.10数列an的前n项之和为Sn，Sn1an，则an_.解析：n1时，a1S11a1，得a1，n2时，Sn1an，Sn11an1. 两式相减得anan1an，即anan1，所以an是等比数列，首项为a1，公比为，所以ann1.11an是等比数列，前n项和为Sn，S27，S691，则S4_.解
11、析：设数列an的公比为q，S27，S691.q4q2120，q23.S4a1(1q)(1q2)(a1a1q)(1q2)28. 答案：2812设数列an的前n项和为Sn(nN)，关于数列an有下列四个命题：若an既是等差数列又是等比数列，则anan1(nN)若Snan2bn(a，bR)，则an是等差数列若Sn1(1)n，则an是等比数列若an是等比数列，则Sm，S2mSm，S3mS2m(mN)也成等比数列其中正确的命题是_(填上正确命题的序号)解析：若an既是等差数列又是等比数列，an为非零常数列，故anan1(nN)；若an是等差数列，Snn2n为an2bn(a，bR)的形式；若Sn1(1)n
12、，则n2时，anSnSn11(1)n1(1)n1(1)n1(1)n，而a12，适合上述通项公式，所以an(1)n1(1)n是等比数列；若an是等比数列，当公比q1且m为偶数时，Sm，S2mSm，S3mS2m不成等比数列答案：三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)13已知数列an中，a11，前n项和为Sn，对任意的自然数n2，an是3Sn4与2Sn1的等差中项(1)求an的通项公式；(2)求Sn.解：(1)由已知，当n2时，2an(3Sn4)(2Sn1)，又anSnSn1，由得an3Sn4(n2)an13Sn14两式相减得an1an3an1.a2
13、，a3，an，成等比数列，其中a23S243(1a2)4，即a2，q，当n2时，ana2qn2n2n1.即 (2)解法一：当n2时Sna1a2ana1(a2an)11n1，当n1时S110也符合上述公式Snn1.解法二：由(1)知n2时，an3Sn4，即Sn(an4)，n2时，Sn(an4)n1.又n1时，S1a11亦适合上式Snn1.14设数列an的前n项和为Sn，且(3m)Sn2manm3(nN*)，其中m为常数，且m3.(1)求证：an是等比数列；(2)若数列an的公比qf(m)，数列bn满足b1a1，bnf(bn1)(nN*，n2)，求证：为等差数列，并求bn.n2时，bnf(bn1)，bnbn13bn3bn1，推出.是以1为首项，为公差的等差数列，1，又1符合上式，bn.15已知an是首项为a1，公比q(q1)为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且有5S24S4，设bnqSn.(1)求q的值；(2)数列bn能否是等比数列？若是，请求出a1的值；若不是，请说明理由解：(1)由题意知5S24S4，S2，S4，5(1q2)4(1q4)，得q21.又q0，q.(2)解法一：Sn2a1a1n1，于是bnqSn2a1a1n1，若bn是等比数列，则2a10，即a1，此时，bnn1，数列bn是等比数列，所以存在实数a1，使数列bn为等比数列10
