1、第 7 页 共 7 页课时达标检测(五十一) 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题一、全员必做题1已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别是F1，F2，上、下顶点分别是B1，B2，C是B1F2的中点，若2，且.(1)求椭圆的方程；(2)点Q是椭圆上任意一点，A1，A2分别是椭圆的左、右顶点，直线QA1，QA2与直线x分别交于E，F两点，试证：以EF为直径的圆与x轴交于定点，并求该定点的坐标解：(1)设F1(c,0)，F2(c,0)，B1(0，b)，则C.由题意得即即解得从而a24，故所求椭圆的方程为1.(2)证明：由(1)得A1(2,0)，A2(2,0)，设Q(x0，y0)，易知x02，则直线QA1
2、的方程为y(x2)，与直线x的交点E的坐标为，直线QA2的方程为y(x2)，与直线x的交点F的坐标为，设以EF为直径的圆与x轴交于点H(m,0)，m，则HEHF，从而kHEkHF1，即1，即2，由1得y.所以由得m1，故以EF为直径的圆与x轴交于定点，且该定点的坐标为或.2在平面直角坐标系xOy中，已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆E：y21上的非坐标轴上的点，且4kOAkOB10(kOA，kOB分别为直线OA，OB的斜率)(1)证明：xx，yy均为定值；(2)判断OAB的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由解：(1)证明：依题意，x1，x2，y1，y2均不为0，则
3、由4kOAkOB10，得10，化简得y2，因为点A，B在椭圆上，所以x4y4，x4y4，把y2代入，整理得(x4y)x16y.结合得x4y，同理可得x4y，从而xx4yx4，为定值，yyy1，为定值(2)SOAB|OA|OB|sinAOB |x1y2x2y1|.由(1)知x4y，x4y，易知y2，y1或y2，y1，SOAB|x1y2x2y1|1，因此OAB的面积为定值1.3(2017河北质量检测)已知椭圆E：1的右焦点为F(c,0)，且abc0，设短轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且|4.(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在过点P(
4、2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得24成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解：(1)由椭圆的对称性知|2a4，a2.又原点O到直线DF的距离为，bc，又a2b2c24，abc0，b，c1.故椭圆E的方程为1.(2)当直线l与x轴垂直时不满足条件故可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为yk(x2)1，代入椭圆方程得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80，32(6k3)0，k.x1x2，x1x2，24，即4(x12)(x22)(y11)(y21)5，4(x12)(x22)(1k2)5，即4x1x22(x1x2)4(1k2)5，4(1k
5、2)45，解得k，k不符合题意，舍去存在满足条件的直线l，其方程为yx.二、重点选做题1A为曲线y上任意一点，点B(2,0)为线段AC的中点(1)求动点C的轨迹E的方程；(2)过轨迹E的焦点F作直线交轨迹E于M，N两点，在圆x2y21上是否存在一点P，使得PM，PN分别为轨迹E的切线？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设C(x，y)，A(m，n)，因为B(2,0)是AC的中点，所以所以又n，所以所求方程为x24y.(2)假设存在点P(x0，y0)，设M，N，直线MN的方程为ykx1，联立得x24kx40，则切线PM的方程为y(xx1)，将点P(x0，y0)代入化简得x2x1
6、x04y00，同理得x2x2x04y00，所以知x1，x2是方程x22x0x4y00的两根，则x1x24y04，所以y01，代入圆的方程得x00，所以存在点P(0，1)，使得PM，PN分别为轨迹E的切线2已知椭圆M：1(ab0)的一个顶点坐标为(0,1)，离心率为，动直线yxm交椭圆M于不同的两点A，B，T(1,1)(1)求椭圆M的标准方程；(2)试问：TAB的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由解：(1)由题意得，b1，又a2b2c2，所以a，c1，椭圆M的标准方程为y21.(2)由得3x24mx2m220.由题意得，16m224(m21)0，即m230，所以mb
7、0)的离心率为e，过C1的左焦点F1的直线l：xy20被圆C2：(x3)2(y3)2r2(r0)截得的弦长为2.(1)求椭圆C1的方程；(2)设C1的右焦点为F2，在圆C2上是否存在点P，满足|PF1|PF2|？若存在，指出有几个这样的点(不必求出点的坐标)；若不存在，说明理由解：(1)直线l的方程为xy20，令y0，得x2，即F1(2,0)，c2，又e，a26，b2a2c22，椭圆C1的方程为1.(2)圆心C2(3,3)到直线l：xy20的距离d，又直线l：xy20被圆C2：(x3)2(y3)2r2(r0)截得的弦长为2，r 2，故圆C2的方程为(x3)2(y3)24.设圆C2上存在点P(x
8、，y)，满足|PF1|PF2|，即|PF1|3|PF2|，且F1，F2的坐标分别为F1(2,0)，F2(2，0)，则3，整理得2y2，它表示圆心是C，半径是的圆|CC2| ，故有2|CC2|2，故圆C与圆C2相交，有两个公共点圆C2上存在两个不同的点P，满足|PF1|PF2|.2如图，已知椭圆1的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点(1)若点G的横坐标为，求直线AB的斜率；(2)记GFD的面积为S1，OED(O为原点)的面积为S2.试问：是否存在直线AB，使得S1S2？说明理由解：(1)由条件可得c2a2b21，故F点坐标为(1,0)依题意可知，直线AB的斜率存在，设其方程为yk(x1)，将其代入1，整理得(4k23)x28k2x4k2120.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x2.故点G的横坐标为，解得k，故直线AB的斜率为或.(2)假设存在直线AB，使得S1S2，显然直线AB不能与x，y轴垂直，即直线AB斜率存在且不为零由(1)可得G.设D点坐标为(xD,0)因为DGAB，所以k1，解得xD，即D.因为GFDOED，所以S1S2|GD|OD|.所以 ，整理得8k290.因为此方程无解，所以不存在直线AB，使得S1S2.
