1、微积分初步形成性考核作业题解作业（一）函数，极限和连续一、填空题（每小题2分，共20分）1函数的定义域是 答案： 提示：对于，要求分母不能为0，即，也就是； 对于，要求，即； 所以函数的定义域是2函数的定义域是 答案： 提示：对于，要求分母不能为0，即，也就是； 对于，要求，即； 所以函数的定义域是3函数的定义域是 答案： 提示：对于，要求分母不能为0，即，也就是； 对于，要求，即； 对于，要求，即且； 所以函数的定义域是4函数，则 答案： 提示：因为，所以5函数，则 答案： 提示：因为当是在区间，应选择进行计算，即6函数，则 答案： 提示：因为，所以7函数的间断点是 答案： 提示：若在有下列
2、三种情况之一，则在间断：在无定义；在极限不存在；在处有定义，且存在，但。题中在处无定义8 答案： 1 提示：9若，则 答案： 2 提示：因为，所以10若，则 答案： 1.5 提示：因为，所以二、单项选择题（每小题2分，共24分）1设函数，则该函数是（）A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数 答案：B 提示：奇函数是指，关于坐标原点对称；偶函数是指，关于轴对称。题中，所以函数是偶函数。2设函数，则该函数是（）A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数 答案：A 提示：因为，所以是奇函数。3函数的图形是关于（）对称A B轴C轴 D坐标原点 答案：D 提示：因为，是奇函数，所以的图形
3、是关于坐标原点对称4下列函数中为奇函数是（无）A B C D提示：A. ,即是偶函数； B. 的图形只在一、四象限，既非奇函数，也非偶函数； C 的图形只在一、四象限，既非奇函数，也非偶函数； D ，既非奇函数，也非偶函数。 所以本题没有一个待选答案是奇函数5函数的定义域为（）A B C且 D且 答案：D 提示：对于，要求分母不能为0 ，即；对于，要求，即。所以函数的定义域为且 6函数的定义域是（）A BC D 答案：D 提示：对于，要求分母不能为0，即；对于，要求，即。所以函数的定义域是 7设，则（ ）A B C D 答案：C 提示：注意比少1，所以8下列各函数对中，（）中的两个函数相等 A
4、， B， C， D， 答案：D 提示：两个函数相等，必须是对应的规则相同，定义域相同。上述答案中，A定义域不同；B对应的规则不同；C定义域不同；D对应的规则相同，定义域相同9当时，下列变量中为无穷小量的是（ ）.A B C D 答案：C 提示：以0为极限的变量称为无穷小量。上述答案中，当时，A趋向；B的极限为1；C的极限为0；D趋向。10当（ ）时，函数，在处连续.A0 B1 C D 答案：B 提示：当时，称函数在连续。因为，所以当1时，函数，在处连续11当（ ）时，函数在处连续.A0 B1 C D 答案：D提示：当时，称函数在连续。因为，所以当3时，函数，在处连续 12函数的间断点是（ ）A
5、 B C D无间断点 答案：A提示：若在有下列三种情况之一，则在间断：在无定义；在极限不存在；在处有定义，且存在，但。题中，分母，所以在和处无定义三、解答题（每小题7分，共56分）计算极限 解 = =2计算极限 解 3 解 4计算极限 解 5计算极限 解 6计算极限 解 7计算极限 解 8计算极限解 作业（二）导数、微分及应用一、填空题（每小题2分，共20分）1曲线在点的斜率是 答案： 提示：若已知曲线方程，则它在任一点处的斜率为。题中，将代入上式，得2曲线在点的切线方程是 答案： 提示：若已知曲线方程，则它在任一点处的斜率为。若给定曲线上的一点，则通过该点的切线方程为。题中，将代入上式，得，
6、所以通过点(0,1)切线方程为，即3曲线在点处的切线方程是 答案： 提示：若已知曲线方程，则它在任一点处的斜率为。若给定曲线上的一点，则通过该点的切线方程为。题中，将代入上式，得，所以通过点(0,1)切线方程为，即4 答案： 提示：根据复合函数求导法则计算。5若y = x (x 1)(x 2)(x 3)，则(0) = 答案： 提示：根据有限多个函数的乘积的求导法则（见P45）， + 6已知，则= 答案： 提示： 7已知，则= 答案： 提示：，8若，则 答案：9函数的单调增加区间是 答案：10函数在区间内单调增加，则a应满足 答案： 提示；当时，函数单调增加。题中，所以函数在区间内单调增加，a应
7、满足。二、单项选择题（每小题2分，共24分）1函数在区间是（ ）A单调增加 B单调减少 C先增后减 D先减后增 答案：D 提示：当时，函数单调增加当时，函数单调减少。题中，令，得驻点。当时，函数单调减少；当时，函数单调增加。所以函数在区间是先减后增。2满足方程的点一定是函数的（ ）.A极值点B最值点 C驻点D 间断点答案：C提示：使的点，成为函数的驻点（P69定理3.2）3若，则=（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. 2答案：C提示： 4设，则（ ） A B C D答案：B提示：5设是可微函数，则（ ） A B C D 答案：d提示： 6曲线在处切线的斜率是（ ） A B C D答案：
8、C 提示：若已知曲线方程，则它在任一点处的斜率为。，将代入上式得 7若，则（ ） A BC D 答案：C提示： 8若，其中是常数，则（ ） A B C D答案：C提示：，9下列结论中（ ）不正确 A在处连续，则一定在处可微. B在处不连续，则一定在处不可导. C可导函数的极值点一定发生在其驻点上. D若在a，b内恒有，则在a，b内函数是单调下降的.答案：C提示：极大值可能出现在：驻点（驻点是的点）；连续但导数不存在的点。10若函数f (x)在点x0处可导，则( )是错误的 A函数f (x)在点x0处有定义 B，但 C函数f (x)在点x0处连续 D函数f (x)在点x0处可微答案：B提示：若函
9、数在点可导，则它在点一定连续（P83定理2.5）。，但即在点不连续。11下列函数在指定区间上单调减少的是（ ） Asinx Be x Cx 2 D3 x答案：B提示：D是周期函数；B是单调增函数；C是偶函数，先减后增；D是单调减函数12.下列结论正确的有（ ） Ax0是f (x)的极值点，且(x0)存在，则必有(x0) = 0 Bx0是f (x)的极值点，则x0必是f (x)的驻点 C若(x0) = 0，则x0必是f (x)的极值点D使不存在的点x0，一定是f (x)的极值点答案：A提示：A正确；B不正确，因为驻点不一定是极值点；C不正确，(x0) = 0就是驻点，驻点不一定是极值点；D不正确
10、，因为极大值可能出现在：驻点和连续但导数不存在的点。三、解答题（每小题7分，共56分）设，求 解 2设，求. 解 3设，求dy. 解 4设，求dy. 解 5 设，求有y解 6设是由方程确定的隐函数，求. 解 对方程两边求导，得 7设是由方程确定的隐函数，求. 解 对方程两边求导，得 8设y=y(x)是由方程确定的隐函数，求解 对方程两边求导，得 作业（三）不定积分，极值应用问题一、填空题（每小题2分，共20分）1若的一个原函数为，则 。 答案： （c为任意常数） 提示：参见教材P90，根据定义4.1，若，则称为的原函数，根据题意，对求导的结果就是，即2若的一个原函数为，则 。 答案： 提示：参
11、见教材P90，根据定义4.1，若，则称为的原函数，根据题意，对求导的结果就是，即，所以3若，则 答案： 提示： 验算： 4若，则 答案： 提示： 验算：5若，则 答案： 提示： 6若，则 答案： 提示： 7 答案： 提示：是的原函数，对原函数求导就等于被积函数，所以对原函数求微分就等于被积函数的微分8 答案： 提示：9若，则 答案： 提示：10若，则 答案： 提示： 二、单项选择题（每小题2分，共16分）1下列等式成立的是（）A BC D答案：A提示：对原函数求导等于被积函数本身23若，则（ ）.A. B. C. D. 答案：A提示：4若，则（ ）. A. B. C. D. 答案：A提示：即对
12、被积函数先求导再积分等于被积函数本身（加不定常数）。5以下计算正确的是（ ）A B C D 答案：A提示：6（ ）A. B. C. D. 答案：A提示：利用分部积分法， 设，,则， 上式中利用了“对被积函数先求导再积分等于被积函数本身（加不定常数）”。7=（ ） A B C D 答案：C提示：所以对原函数求微分就等于被积函数的微分8如果等式，则（ ）A. B. C. D. 答案：B提示： ，比较上式左右两边，可知三、计算题（每小题7分，共35分）1 解 2 解 3 解 4 解 利用分步积分法： 设，则， 5 解 利用分步积分法： 设，则， 四、极值应用题（每小题12分，共24分）1设矩形的周长
13、为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。60-x0xxy解 设矩形的一边边长为x厘米，则另一边边长为（60-x）厘米，边长为x厘米的边绕轴旋转得一圆柱体，其底面积为(60-x)2，旋转体的体积为 令，即 其中是极小值点，此时体积为0；是极大值点，也是最大值点，对应的圆柱体最大体积值为 2欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 解 设土地一边长为，另一边长为，共用材料为于是 =3令得唯一驻点（舍去） 10分 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯
14、一，所以，当土地一边长为，另一边长为18时，所用材料最省. 五、证明题（本题5分）函数在（是单调增加的证 只需证明当时，有 因为 当时，即有 所以，当时，是单调增加的。作业（四）定积分及应用、微分方程一、填空题（每小题2分，共20分）1 答案：提示：上式被积函数第一项和是奇函数，在对称积分限下的积分结果为0，第二项数是偶函数，在对称积分限可化为，所以2答案：提示：被积函数的第一项和第二项都是奇函数，在对称积分限下的积分结果为0，第三项为是偶函数，在对称积分限下可化为，所以3已知曲线在任意点处切线的斜率为，且曲线过，则该曲线的方程是 。答案：提示：切线在点（4，5）处的斜率为，根据切线方程，得该
15、切线方程为 ，即4若 答案：2提示：上式被积函数第一项和第二项都是奇函数，在对称积分限下的积分结果为0，第三项为是偶函数，在对称积分限下可化为，所以 5由定积分的几何意义知，= 。答案：，它是1/4半径为a的圆的面积。提示：设，则。当；当。所以 ，它是1/4半径为a的圆的面积（参见P125（3）6 .答案：0提示：因为定积分的结果是一个数值（即常数），常数的导数数为0。7= 答案：提示：8微分方程的特解为 . 答案：1提示：将微分方程分离变量得 两边积分得 ，即，所以微分方程的特解为 9微分方程的通解为 .答案：提示：将微分方程分离变量得 两边积分得 ，即，所以微分方程的通特解为10微分方程的
16、阶数为 答案：2提示：微分方程的阶数是微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶次。二、单项选择题（每小题2分，共20分）1在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ ）Ay = x2 + 3 By = x2 + 4 C D 答案：A提示：曲线方程由确定，将代入得，所以通过点（1, 4）的曲线为。2若= 2，则k =（ ） A1 B-1 C0 D 答案：A提示：，所以3下列定积分中积分值为0的是（ ） A B C D 答案：A提示：因为积分式中的被积函数是奇函数，奇函数在对称积分限下的定积分为0 。4设是连续的奇函数，则定积分（ ）AB CD 0答案：D提示：奇函数在对称积分限下
17、的定积分为0 。5（ ）A0 B C D答案：D提示：是偶函数，所以6下列无穷积分收敛的是（）A BC D 答案：B提示：发散， 收敛 发散 发散7下列无穷积分收敛的是（）A BC D答案：B提示：发散 收敛发散 发散8下列微分方程中，（ ）是线性微分方程 A B C D答案：D提示：所谓：“线性”，是指在方程中含有未知数y和它的导数的项都是关于的一次项。9微分方程的通解为（ ） A B C D答案：C提示：由题意可知，y的导数为0，所以y必定为常数C 10下列微分方程中为可分离变量方程的是（）A. ； B. ； C. ； D. 答案：B提示；形如的方程称为可分离变量方程，可化为三、计算题（每小题7分，共56分）1 解 2 解 3 解 利用分部积分法 设，则， 4 解 利用分部积分法 设，则， 5 解 利用分部积分法 设，则， 6求微分方程满足初始条件的特解 解 与一阶线性微分方程标准式比较，可知 ， 将代入上式，得，所以原微分方程满足初始条件的特解为 7求微分方程的通解。 解 与一阶线性微分方程标准式比较，可知 ， 四、证明题（本题4分）证明等式。
