1、第七节正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.知识梳理一、三角形中的各种关系设ABC的三边为a，b，c，对应的三个角为A，B，C.1三内角的关系：_.2边与边关系：_.3边与角关系： (1)正弦定理：_2R.(R为ABC外接圆半径)(2)余弦定理：_.它们的变式有：cos A_，cos B_，cos C_，abc_，_.(3)常用三角形面积公式：S_.二、关于三角形内角的常用三角恒等式由ABC知，A(BC)可得出sin A_，cos A_.而，有sin_，cos_.三、三角形度量问题求边、角、面积、周长及有关圆半径等.条件角角边边边角边边边边角边适用定理正弦
2、定理正弦定理或余弦定理余弦定理余弦定理其中“边边角”(abA)类型利用正弦定理求角时应判定三角形的个数：A90A90ababsin Aabsin Aabab一解两解一解无解一解无解四、判断三角形的形状特征，必须深入地研究边、角间的关系1几个常用基本结论：ab或AB等腰三角形；a2b2c2或A90直角三角形；a2b2c2或A90钝角三角形；若a为最大边且a2b2c2或A为最大角且A90锐角三角形；若sin Asin B等腰三角形；若sin 2Asin 2B等腰三角形或直角三角形2.基本思想方法：从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)进行代换、转化逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即通过考虑如下
3、两条途径：统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等基础自测1(2013湖南卷)在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b. 若2asin Bb，则角A等于()A.B.C. D.解析：由2asin Bb得2sin Asin Bsin B ，所以sin A，因为ABC是锐角三角形，所以A，故选A.答案：A2(2013汕头二模)在ABC中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知c2，C，ABC的面积SABC，则ABC的周长为()A6 B5C4 D42解析：在ABC中，ABC的面积SABCabsin Cab，ab4.再由余弦定理 c24a2b2
4、2abcos Ca2b24，a2b28，ab4，故ABC的周长为 abc426，故选A.答案：A3(2012广东六校联考)已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a1，b，且B是 A与C的等差中项，则sin A_.解析：依题意B180(AC)1802B，得B60，由正弦定理得，得sin A.答案：4(2012衡阳模拟)在锐角三角形ABC中，BC1，B2A，则等于_，AC的取值范围为_解析：设AB2.由正弦定理得，12.由锐角三角形ABC得0290045.又01803903060，故3045cos .AC2cos (，)答案：2(，)一、1.ABC 2.a b c，b c a，
5、c a b，ab c，bc a，ca b3(1)(2)c2 a2b22abcos C，b2 a2c22accos B，a2 b2c22bccos Asin Asin Bsin C(3)ahaabsin Cacsin Bbcsin A二、sin(BC)cos(BC)cossin1. (2013天津卷)在ABC中，ABC，AB，BC3，则sinBAC()A.B.C. D.解析：在ABC中，由余弦定理AC2BA2BC22BABCcosABC()23223 cos 5.AC，由正弦定理得sinBAC，故选C.答案：C2(2012福建卷)在ABC中，已知BAC60，ABC45，BC，则AC_.解析：在A
6、BC中，利用正弦定理得AC.答案：1(2012浙江名校新高考联盟二联) 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2c2b2)tan Bac，则角B的值为()A. B. C.或 D.或解析：(a2c2b2)tan Bac，cos B.整理得：sin B，即B或.故选C.答案：C2(2013韶关二模)ABC的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，且满足csin Aacos C0.(1)求C的值；(2)若cos A，c5，求sin B和b的值解析：(1)将csin Aacos C0利用正弦定理化简得：2Rsin Csin A2Rsin Acos C0，即2sin Csin A2sin Acos C0，sin A0，sin Ccos C0，即tan C，C(0，)，C；(2)cos A，A，sin A，则sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C，sin B，c5，sin Csin ，则由正弦定理，得：b34.5
