1、第4讲万有引力与航天知识一万有引力定律1内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比2公式FG，其中G6.671011 Nm2/kg2，叫引力常量3适用条件两个质点之间的相互作用(1)质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r为两球心间的距离(2)一个质量分布均匀的球体和球外一个质点之间的万有引力也适用，其中r为质点到球心间的距离(1)只有天体之间才存在万有引力()(2)只要已知两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由FG计算物体间的万有引力()(3)当两物体间的距离趋近于0时，万
2、有引力趋近于无穷大()知识二万有引力定律应用及三种宇宙速度1万有引力定律基本应用(1)基本方法：把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供(2)基本公式：Gmgrma其中gr为距天体中心r处的重力加速度2三种宇宙速度宇宙速度数值(km/s)意义第一宇宙速度(环绕速度)7.9这是卫星绕地球做圆周运动的最大环绕速度，也是人造卫星的最小发射速度，若7.9 km/sv11.2 km/s，物体将绕地球运行第二宇宙速度(逃逸速度)11.2是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，若11.2 km/sv16.7 km/s，物体将绕太阳运行第三宇宙速度16.7这是物体挣脱太阳引力束缚
3、的最小发射速度，若v16.7 km/s，物体将脱离太阳系在宇宙空间运行(1)两种周期自转周期和公转周期的不同(2)两种速度环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度(3)两个半径天体半径R和卫星轨道半径r的不同当一枚火箭受到的重力只有它在地球表面上受到的重力一半时，它飞到了多大高度？提示地面上：mg0G.飞行处：mg0G解得飞行高度h(1)R地知识三经典时空观和相对论时空观1经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态而改变的(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的2相对论时空观(1)在狭义相对论中，物体的质量是随物体运动速度
4、的增大而增大的，用公式表示为m.(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的3经典力学有它的适用范围只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界(1)经典力学的基础是牛顿运动定律()(2)牛顿运动定律可以解决自然界中所有的问题()(3)经典力学可以解决自然界中所有的问题()1关于万有引力公式FG，以下说法中正确的是()A公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体B当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大C两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律D公式中引力常量G的值是牛顿规定的【解析】万有引力公式FG，虽然是
5、牛顿由天体的运动规律得出的，但牛顿又将它推广到了宇宙中的任何物体，适用于计算任何两个质点间的引力当两个物体间的距离趋近于0时，两个物体就不能视为质点了，万有引力公式不再适用两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律公式中引力常量G的值是卡文迪许在实验室里用实验测定的，而不是人为规定的故正确答案为C.【答案】C2(多选)由于万有引力定律和库仑定律都满足平方反比定律，因此引力场和电场之间有许多相似的性质，在处理有关问题时可以将它们进行类比，例如电场中反映各点电场强弱的物理量是电场强度，其定义式为E，在引力场中可以用一个类似的物理量来反映各点引力场的强弱设地球质量为M，半径为R，地球表面处重力加速度为g，
6、引力常量为G，如果一个质量为m的物体位于距离地心2R处的某点，则下列表达式中能反映该点引力场强弱的是()AGBGCGD.【解析】由万有引力定律知FG，引力场的强弱，A对；在地球表面附近有Gmg，所以，D对【答案】AD3(多选)在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道已知太阳质量约为月球质量的2.7107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是()A太阳引力远大于月球引力B太阳引力与月球引力相差不大C月球对不同区域海水的吸引力大小相等D月球对不同区域海水的吸引力大小有差异【解析】设
7、太阳质量为M，月球质量为m，海水质量为m，太阳到地球距离为r1，月球到地球距离为r2，由题意2.7107，400，由万有引力公式，太阳对海水的引力F1，月球对海水的引力F2，则，故A选项正确，B选项错误；月球到地球上不同区域的海水距离不同，所以引力大小有差异，C选项错误，D选项正确【答案】AD4(2013江苏高考)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知()A太阳位于木星运行轨道的中心B火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积【解析】根据开普勒行星运
8、动定律，火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行时，太阳位于椭圆的一个焦点上，选项A错误；行星绕太阳运行的轨道不同，周期不同，运行速度大小也不同，选项B错误；火星与木星运行的轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个常量，选项C正确；火星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，木星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，但这两个面积不相等，选项D错误【答案】C5(2013福建高考)设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足()AGMBGMCGM DGM【解析】本题根据行星所受的万有引力提供其做圆周运动的向心力列方程求解对行星有：m
9、r，故GM，选项A正确【答案】A考点一 32天体质量和密度的估算一、重力加速度法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.1由Gmg得天体质量M.2天体密度.二、卫星环绕法 测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.1由Gm得天体的质量M.2若已知天体的半径R，则天体的密度.若卫星绕中心天体表面运行时，轨道半径rR，则有.1个示范例(2013全国大纲卷)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟已知引力常量G6.671011 Nm2/kg2，月球半径约为1.74103 km.利用以上数据估算月球的质量约为()A8.11010
10、 kgB7.41013 kgC5.41019 kg D7.41022 kg【解析】天体做圆周运动时都是万有引力提供向心力“嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律知：，得M，其中rRh，代入数据解得M7.41022kg，选项D正确【答案】D1个预测例一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为()A.B.C.D.【审题指导】(1)明确行星表面附近的绕行卫星的轨道半径与行星半径的大小关系(2)弹簧测力计的示数、物体的重力与其所受万有引力的大小关系
11、【解析】设卫星的质量为m由万有引力提供向心力，得Gmmmg由已知条件：m的重力为N得Nmg由得g，代入得：R代入得M，故B项正确【答案】B考点二 33卫星运行参量的比较与运算一、卫星的动力学规律由万有引力提供向心力，Gma向mm2rm.二、卫星的各物理量随轨道半径变化的规律1Gmvv.2Gm2r.3GmrTT.4Gmaaa.5mg(近地时)GMgR.三、极地卫星和近地卫星1极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖2近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.1个示范例(2013
12、四川高考)迄今发现的二百余颗太阳系外行星大多不适宜人类居住，绕恒星“Gliese581”运行的行星“Gl581c”却很值得我们期待该行星的温度在0 到40 之间、质量是地球的6倍、直径是地球的1.5倍、公转周期为13个地球日“Gliese581”的质量是太阳质量的0.31倍设该行星与地球均视为质量分布均匀的球体，绕其中心天体做匀速圆周运动，则()A在该行星和地球上发射卫星的第一宇宙速度相同B如果人到了该行星，其体重是地球上的2倍C该行星与“Gliese581”的距离是日地距离的 倍D由于该行星公转速率比地球大，地球上的米尺如果被带上该行星，其长度一定会变短【解析】行星、地球绕其中心天体做匀速圆
13、周运动根据万有引力提供向心力解决问题由题意知，行星、地球的质量之比6，半径之比1.5，公转周期之比，中心天体质量之比0.31.根据Gm，得第一宇宙速度之比 2，选项A错误；根据mgG，得到人的体重之比2，选项B正确；根据Gm2r，得与中心天体的距离之比，选项C错误；米尺在该行星上长度不一定会变短，选项D错误【答案】B1个预测例(多选)(2011天津高考)质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的()A线速度v B角速度 C运行周期T2 D向心加速度a【解析】对航天器
14、：Gm，v ，故A正确由mgm2R得 ，故B错误由mgm2R得T2，故C正确由Gma得a，故D错误【答案】AC考点三 34赤道上物体、近地卫星、同步卫星的区别一、区别1同步卫星与地球赤道上的物体的周期都等于地球自转的周期，而不等于近地卫星的周期2近地卫星与地球赤道上的物体的运动半径都等于地球半径，而不等于同步卫星运动半径3三者的线速度各不相同二、求解此类题的关键1在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的向心加速度的比例关系时应依据二者角速度相同的特点，运用公式a2r而不能运用公式a.2在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的线速度比例关系时，仍要依据二者角速度相同的特点，运用公式vr而不能运用公式
15、v.3在求解“同步卫星”运行速度与第一宇宙速度的比例关系时，因都是由万有引力提供的向心力，故要运用公式v，而不能运用公式vr或v.1个示范例(2012四川高考)今年4月30日，西昌卫星发射中心发射的中圆轨道卫星，其轨道半径为2.8107 m它与另一颗同质量的同步轨道卫星(轨道半径为4.2107 m)相比()A向心力较小B动能较大C发射速度都是第一宇宙速度 D角速度较小【解析】由题意知，中圆轨道卫星的轨道半径r1小于同步卫星轨道半径r2，卫星运行时的向心力由万有引力提供，根据F向G知，两卫星的向心力F1F2，选项A错误；根据Gm2r，得环绕速度v1v2，角速度12，两卫星质量相等，则动能Ek1E
16、k2，故选项B正确，选项D错误；根据能量守恒，卫星发射得越高，发射速度越大，第一宇宙速度是发射卫星的最小速度，因此两卫星的发射速度都大于第一宇宙速度，且v01m向心运动引力做正功卫星动能增大低轨道运行v.1个示范例(多选)(2013新课标全国卷)2012年6月18日，神舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343 km的近圆形轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气下列说法正确的是()A为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间B如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加C如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低D航天员
17、在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用【解析】本题虽为天体运动问题，但题中特别指出存在稀薄大气，所以应从变轨角度入手第一宇宙速度和第二宇宙速度为发射速度，天体运动的速度为环绕速度，均小于第一宇宙速度，选项A错误；天体运动过程中由于大气阻力，速度减小，导致需要的向心力Fn减小，做向心运动，向心运动过程中，轨道高度降低，且万有引力做正功，势能减小，动能增加，选项B、C正确；航天员在太空中受地球引力，地球引力全部提供航天员做圆周运动的向心力，选项D错误【答案】BC1个预测例图442(多选)“神舟十号”飞船于北京时间2013年6月11日17时38分在甘肃省酒泉卫星发射中心发射升空，并于北
18、京时间6月13日13时18分，实施了与“天宫一号”的自动交会对接这是“天宫一号”自2011年9月发射入轨以来，第5次与神舟飞船成功实现交会对接交会对接前“神舟十号”飞船先在较低的圆轨道1上运动，在适当位置经变轨与在圆轨道2上运动的“天宫一号”对接如图442所示，M、Q两点在轨道1上，P点在轨道2上，三点连线过地球球心，把飞船的加速过程简化为只做一次短时加速下列关于“神舟十号”变轨过程的描述，正确的是()A“神舟十号”必须在Q点加速，才能在P点与“天宫一号”相遇B“神舟十号”在M点经一次加速，即可变轨到轨道2C“神舟十号”变轨后在M点的速度大于变轨前的速度D“神舟十号”变轨后的运行周期总大于变轨
19、前的运行周期【解析】飞船经一次加速后由圆轨道1变轨到与加速点相切的椭圆轨道，加速点为近地点，椭圆轨道的远地点与轨道2相切，近地点与远地点分别在地球两侧，因此飞船必须在M点加速，才能在P点与“天宫一号”相遇，A错；飞船在M点经一次加速后由圆轨道1变轨到椭圆轨道，在椭圆轨道的远地点再经一次加速变轨到轨道2，B错；飞船在M点加速后由圆轨道1变轨到椭圆轨道，则变轨后在M点的速度大于变轨前的速度，C对；由T2可知轨道半径增大，周期增大，D项正确【答案】CD“双星”模型一、双星系统在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星二、双星系
20、统的条件1两颗星彼此相距较近2两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动3两颗星绕同一圆心做圆周运动三、双星系统的特点1两星的角速度、周期相等2两星的向心力大小相等3两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1r2L.轨道半径与行星的质量成反比1个示范例图4432012年7月，一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，如图443所示此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质，达到质量转移的目的，假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中()A它们做圆周运动的万有引力保持不变B它们做圆周运动的角速
21、度不断变大C体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度也变大D体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度变小【解析】对双星M1、M2，设距离为L，圆周运动半径分别为r1、r2，它们做圆周运动的万有引力为FG，距离L不变，M1与M2之和不变，其乘积大小变化，则它们的万有引力发生变化，A错；依题意双星系统绕两者连线上某点O做匀速圆周运动，周期和角速度相同，由万有引力定律及牛顿第二定律：GM12r1，GM22r2，r1r2L，可解得：M1M2，M1r1M2r2，由此可知不变，质量比等于圆周运动半径的反比，故体积较大的星体因质量减小，其轨道半径将增大，线速度也增大，B、D错，C对【答案】C,(2013山东
22、高考)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为()A.TB.TC.T D.T【解析】双星间的万有引力提供向心力设原来双星间的距离为L，质量分别为M、m，圆周运动的圆心距质量为m的恒星距离为r.对质量为m的恒星：Gm()2r对质量为M的恒星：GM()2(Lr)得GL，即T2则当总质量为k(Mm)，间距为LnL时，TT，选项B正确【答案】
23、B卫星运行比较1(2013广东高考)如图444，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动下列说法正确的是()图444A甲的向心加速度比乙的小B甲的运行周期比乙的小C甲的角速度比乙的大D甲的线速度比乙的大【解析】卫星绕行星做匀速圆周运动的向心力由行星对卫星的引力提供，根据万有引力定律和牛顿第二定律解决问题根据Gma得a，故甲卫星的向心加速度小，选项A正确；根据Gm()2r，得T2，故甲的运行周期大，选项B错误；根据Gm2r，得，故甲运行的角速度小，选项C错误；根据G，得v，故甲运行的线速度小，选项D错误【答案】A天体质量的估算22013年12月2日，我国成功发射了“
24、嫦娥三号”，实施落月探测计划，进一步获取月球的相关数据如果该卫星在月球上空绕月做匀速圆周运动，经过时间t，卫星行程为s，卫星与月球中心连线扫过的角度是1弧度，万有引力常量为G，根据以上数据估算月球的质量是()A.B.C. D.【解析】由几何知识得圆心角，其中s为卫星转动的弧长，即卫星的行程，r为轨迹半径，代入数据得轨迹半径rs，卫星转动的角速度，由万有引力提供向心力m2r，得月球的质量M，选项B正确【答案】B考查万有引力与重力加速度3(2012新课标全国卷)假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为(
25、)A1 B1C.2 D.2【解析】设地球的密度为，地球的质量为M，根据万有引力定律可知，地球表面的重力加速度g.地球质量可表示为MR3，因质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零，所以矿井下以(Rd)为半径的地球的质量为M(Rd)3，解得M3M，则矿井底部处的重力加速度g， 则矿井底部处的重力加速度和地球表面的重力加速度之比为1，选项A正确；选项B、C、D错误【答案】A变轨问题4(2013安徽高考)质量为m的人造地球卫星与地心的距离为r时，引力势能可表示为Ep，其中G为引力常量，M为地球质量该卫星原来在半径为R1的轨道上绕地球做匀速圆周运动，由于受到极稀薄空气的摩擦作用，飞行一段时间后其圆周运
26、动的半径变为R2，此过程中因摩擦而产生的热量为()AGMm() BGMm()C.() D.()【解析】人造卫星绕地球做圆周运动的向心力由万有引力提供根据万有引力提供向心力得Gm而动能Ekmv2由式得Ek由题意知，引力势能Ep由式得卫星的机械能EEkEp由功能关系知，因摩擦而产生的热量QE减E1E2()，故选项C正确【答案】C同步卫星问题5(多选)(2013浙江高考)图445如图445所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R.下列说法正确的是()A地球对一颗卫星的引力大小为B一颗卫星对地球的引力大小为C两颗卫星之间的引力大小为D三颗卫星对地球引力的合力大小为【解析】应用万有引力公式及力的合成规律分析地球与卫星之间的距离应为地心与卫星之间的距离，选项A错误，B正确；两颗相邻卫星与地球球心的连线互成120角，间距为r，代入数据得，两颗卫星之间引力大小为，选项C正确；三颗卫星对地球引力的合力为零，选项D错误【答案】BC13
