1、台州市2023学年第一学期高一年级期末质量评估试卷数学2024.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若幂函数的图象过点，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】代入点可求出解析式，即可求出答案.【详解】由幂函数的图象过点，所以，解得，故，所以.故选：D.2. 函数的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据对数函数定义域即可得出结论.【详解】由题意，在中，即，所以的定义域为.故选：A.3. 下列函数在其定义域上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【
2、分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项.【详解】反比例函数在和上单调递增，在定义域上不单调，A选项不满足条件；指数函数在定义域上单调递减，B选项不满足条件；对数函数在其定义域上单调递增，C选项满足条件；正切函数在定义域上不单调，D选项不满足条件.故选：C4. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合已知条件，利用基本不等式判断各选项中的结论是否成立.【详解】若，当且仅当等号成立，A选项错误；，当且仅当等号成立，B选项正确；，得，当且仅当等号成立，C选项错误；，得，当且仅当等号成立，D选项错误.故选：B5. 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）A.
3、B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】逐项判断选项中两个函数的定义域与对应法则是否相同，即可得出结果.【详解】A选项中，函数与，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；B选项中，函数定义域为，函数定义域为，定义域不同，不是同一函数；C选项中，函数定义域为，函数定义域为R，定义域不同，不是同一函数；D选项中，函数与函数，对应关系不同，不是同一函数.故选：A6. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】，利用两角和的正切公式求解.【详解】已知，则.故选：A7. 已知，若 是10位数，则 的最小值是（ ）A. 29B. 30C. 31D. 32【答案】B【解析】【分析】
4、由，求满足条件的最小自然数即可.【详解】若 是10位数，则取最小值时，应满足，则有，由，则的最小值是30.故选：B8. 已知函数 部分图象如图所示，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分析函数的单调性、对称性，确定对称轴及最大值与的关系，求解即可.【详解】由函数，令 ，由二次函数性质可知：图象关于对称，时，单调递增，时，单调递减，在处达到最大值，由图象得：，则，根据复合函数的性质可得：图象关于对称，时，单调递增，时，单调递减，在处达到最大值，则，且最大值为，结合图象可知，所以.故选：C二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
5、求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合幂函数性质逐项判断即得.【详解】由，得，AB正确；显然，即，C正确；函数在上单调递增，则，D错误.故选：ABC10. 已知函数，则（ ）A. 函数的最小正周期为B. 点是函数图象的一个对称中心C. 函数在区间上单调递减D. 函数的最大值为1【答案】BC【解析】【分析】利用二倍角公式及辅助角等公式化简得到，借助三角函数的性质逐一判断即可.【详解】结合题意：，即.对于选项A: 由可得，所以故选项A错误；对于选项B:将代入得：，所以点是
6、函数图象的一个对称中心，故选项B正确；对于选项C:对于，令，则，因为，所以，而在上单调递减，所以函数在区间上单调递减，故选项C正确；对于选项D: 对于，当，即,，故选项D错误.故选：BC.11. 定义域均为的奇函数和偶函数，满足 ，则（ ）A. ，使得B. ，使得 C ，都有D. ，都有【答案】ACD【解析】【分析】由两函数的奇偶性列方程组可求出两函数的解析式，对于选项A: 利用函数在上单调递增，且值域为，即可判断；对于选项B:借助基本不等式及三角函数的最值即可判断；对于选项C:利用函数的值域求出即可判断；对于选项D:利用函数的奇偶性即可判断.【详解】因为，则，因为为奇函数和为偶函数，所以，所
7、以，联立，可得，对于选项A: 由，易判断函数在上单调递增，且值域为，故，使得，故选项A正确；对于选项B: 由，因为,所以，当且仅当，即时，取得最小值,而，当且仅当时取到，故（不能同时取等），故不存在，使得，故选项B错误；对于选项C: 由，可得，而，所以，故，都有，故选项C正确；对于选项D: 因为为奇函数和为偶函数，所以，故，都有，故选项D正确.故选：ACD.12. 设 是正整数，集合 . 对于集合中任意元素和 ，记 ，. 则（ ）A. 当时，若，则 B. 当时，的最小值为 C. 当时， 恒成立D. 当时，若集合，任取中2个不同的元素，则集合 中元素至多7个【答案】BD【解析】【分析】根据的计算
8、公式即可求解AB，举反例即可求解C，根据所给定义，即可求解D.【详解】对于A，当时，故A错误，对于B，而，故当时，此时取最小值，比如时，故B正确，对于C，时，,不符合，故C错误，对于D，不妨设中一个元素，由于，则中相同位置上的数字最多有两对互为相反数，其他相同位置上的数字对应相同，若中相同位置中有一对的数字互为相反数，其他相同位置上的数字对应相同，不妨设此时，那么与相同位置中有一对的数字互为相反数，其他相同位置上的数字对应相同的元素有此时，其中，而，与中相同位置上的数字有两对是不相同的，此时，满足，若与相同位置中有2对的数字互为相反数，那么就与有3对相同位置上的元素互为相反数，不符合，因此此时
9、中满足条件的元素有7个，若中相同位置中有两对的数字互为相反数，其他相同位置上的数字对应相同，不妨设，此时与元素重复，综上可知中元素最多7个，D正确，故选：BD【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 角是第_象限角.【答案】二【解析】【分析】直接由象限角的概念得答案
10、【详解】由象限角的定义可知，的角是第二象限角故答案：二.14. 已知函数（，且）的图象过定点，则该定点的坐标是_.【答案】【解析】【分析】借助指数函数令，代入函数式可得定点纵坐标【详解】在函数（，且）中，令，则，所以该定点的坐标是.故答案为：.15. 已知， 的值为_.【答案】2【解析】分析】利用诱导公式化简，结合齐次式代入计算即可.【详解】因为，所以.故答案为：2.16. 若函数在 上的最小值为1，则正实数的值为_.【答案】【解析】【分析】对参数进行分类讨论，根据分段函数的单调性和最值，即可求得结果.【详解】由题可得,因为函数在 上的最小值为1，当时，在 上，在单调递减，单调递增，所以，解得
11、（舍）；当时，在 上在单调递减，单调递增，所以，解得（舍）；当时，在 上，在单调递减，单调递增，所以，解得.故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 计算：（1）；（2）.【答案】（1） （2）0【解析】【分析】（1）根据根式的性质及分数指数幂的运算法则计算可得；（2）根据对数运算性质及换底公式计算可得.【小问1详解】.【小问2详解】18. 已知，.（1）若 ，求 ；（2）若 是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由交集的定义直接求解；（2）由题意，利用集合的包含关系求的取值范围.【小问1详
12、解】若，则，所以.【小问2详解】若是的充分不必要条件，则，得，故的取值范围是.19. 已知函数 的最大值为2.（1）求常数的值；（2）先将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1） 利用二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，由函数最大值求常数的值；（2）求出图象变换后的函数解析式，然后利用正弦函数的性质求值域.【小问1详解】.因为的最大值为2，所以，故.【小问2详解】，函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得函数的图象，再将所得图象向右平移个单位长度，得
13、，由，得，所以，故在区间上的取值范围是.20. 从；函数为奇函数；的值域是，这三个条件中选一个条件补充在下面问题中，并解答下面的问题.问题：已知函数，且 .（1）求函数的解析式；（2）若对任意恒成立，求实数的最小值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）答案见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据题意，分别选择，结合函数的性质，求得实数的值，即可求解；（2）根据函数的单调性的定义判定方法，得到在上单调递减，再由为奇函数，把不等式转化为恒成立，结合指数函数与二次函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：若填：由，可得，解得，所以.若填：由函数，因为函数为奇函数，故，可得，解
14、得，所以，即，经验证：，符合题意，所以.若填：由，可得，则，即，又由的值域是，可得，故，所以.【小问2详解】解：，且，则，所以函数在上单调递减，又因为，满足，所以为奇函数，由不等式，可得，则，所以，令，记，所以，所以，所以的最小值为.21. 如图是一种升降装置结构图，支柱垂直水平地面，半径为1的圆形轨道固定在支柱上，轨道最低点，.液压杆、，牵引杆、，水平横杆均可根据长度自由伸缩，且牵引杆、分别与液压杆、垂直.当液压杆、同步伸缩时，铰点在圆形轨道上滑动，铰点在支柱上滑动，水平横杆作升降运动（铰点指机械设备中铰链或者装置臂的连接位置，通常用一根销轴将相邻零件连接起来，使零件之间可围绕铰点转动）.
15、（1）设劣弧的长为，求水平横杆的长和离水平地面的高度（用表示）；（2）在升降过程中，求铰点距离的最大值.【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）轨道圆心为，圆的半径为1，劣弧的长为时，有，由三角函数表示出和的长；（2）证明出，则，通过换元利用基本不等式求出最大值.【小问1详解】记轨道圆心为，则，设劣弧的长为，则，得，. 【小问2详解】由已知，则，又，所以，则，令，有，.则，因为，当且仅当时，取到等号，所以铰点距离的最大值为.【点睛】方法点睛：求的最大值时，证明，由已知的和，有，通过换元，有，借助基本不等式可求最大值.22. 已知函数 .（1）用单调性定义证明：在上单调递增；（2）若函数有3个零点，满足，且 .求证： ；求的值（表示不超过的最大整数）.【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析；14【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义即可求解，（2）根据函数的图象，结合二次函数的对称性即可求解，构造函数，由单调性的定义求解其单调性，即可结合零点存在定理求解.【小问1详解】，且有，由，得，所以，得，又由，得.于是，即.所以，函数在上单调递增.【小问2详解】 要使有3个零点，由（1）知，函数在上存在一个零点，在上存在两个零点，且，代入，得，于是，因为，所以 由，代入式，得，令，且，有，由于，所以，而，则，故，故函数在上单调递增，又因为，
