1、正切函数的性质与图象教学设计 教学目标1经历先利用诱导公式、正切函数的定义研究正切函数的部分性质，然后根据性质与定义画图，再依据图象研究其它性质的过程，发展逻辑推理素养2初步理解和掌握正切函数的图象与性质，并通过初步应用正切函数的性质，发展数学运算素养 教学重难点教学重点：正切函数的性质与图象，研究函数图象与性质的一般思路和方法教学难点：正切函数图象 课前准备Geogebra软件、PPT课件利用Geogebra软件呈现作正切函数图象的过程 教学过程（一）整体感知引导语：前面我们研究了正弦、余弦函数的图象与性质，接下来我们研究正切函数1研究思路问题1：（1）根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认
2、为应如何研究正切函数的图象与性质？（2）你能用不同的方法研究正切函数吗？预设的师生活动：师生交流，整理出可能的研究思路预设答案：可以有两种思路思路1，按照正余弦函数图象与性质的研究思路，先描点画图，得到图象，根据图象观察获得性质，再证明思路2，也可以换一种研究思路，即先从数的角度出发，利用函数解析式分析其性质，然后再根据性质画图，之后再观察图象得到更多的性质追问：我们选择思路2进行研究结合研究正弦函数、余弦函数图象与性质的经验，你觉得应该先研究哪个性质？预设的答案：先研究周期性，再研究奇偶性设计意图：规划思路，整体把握，有序研究，在“森林”里研究“树木”（二）新知探究2周期性和奇偶性问题2：类
3、比正弦函数周期得出过程，判断正切函数是周期函数吗？如何求正切函数的周期？预设的师生活动：先让学生独立思考，然后交流预设答案：由诱导公式tan（x）tan x，xR，且xk，kZ根据周期函数的定义及周期的定义可知：正切函数是周期函数，并且周期是问题3：你能用简洁的办法判断正切函数的奇偶性吗？请你试一试预设的师生活动：学生可以独立完成，之后互相核对、规范过程预设答案：由诱导公式tan（x）tan x，xR，且xk，kZ可知：正切函数是奇函数问题4：你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？据此确定的研究方案是什么？可以类比正弦函数性质的研究进行思考预设的师生活动：学生可以
4、独立完成，交流之后进一步确定后续的研究路径预设答案：根据正切函数的周期性，只要研究正切函数在一个周期，比如区间（，）内的图象与性质即可再根据正切函数的奇偶性，只要研究正切函数在半个周期，比如区间0，）内的图象与性质即可因此接下来的研究方案是：先考察函数ytan x，x0，）的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展3正切函数的图象问题5：如何画出函数ytan x，x0，）的图象呢？图1追问1：画函数图象的基本方法是描点法，画正弦函数图象是根据正弦函数定义的几何意义，用几何描点法画图的那么正切函数定义的几何意义是什么？画图解释预设的师生活动：先让学生画图，根据定义写出tan x，并给出几何解
5、释预设答案：如图1所示，设x0，），在直角坐标系中画出角x的终边与单位圆的交点B（x0，y0）过点B作x轴的垂线，垂足为M则tan x追问2：式虽然解释清楚了正弦函数的几何意义，但利用式显然是不方便画图的回想利用正弦函数的几何意义为什么可以方便地描点？据此你将如何优化式，以方便描出正切函数图象上的点呢？预设答案：正弦函数的几何意义就是角的终边与单位圆交点的纵坐标，是一条线段，而正切函数的几何意义是两条线段的长度比，因此应该设法优化这个比，使它在数值上也可以表示为一条线段，即让分母中的线段数值上为1于是得到：图2如图2，过点A(1，0)作x轴的垂线与角x的终边交于点T，则tan xAT由式可知，
6、当x0，）时，线段AT的长度就是相应角x的正切值因此可以利用线段AT画出函数ytan x，x0，）的图象追问3：请你利用式，在坐标纸上画出函数ytan x，x0，）的图象并观察图象有哪些特征？预设的师生活动：教师提前给学生准备好坐标纸，纸上画着单位圆及坐标系先让学生在坐标纸上画图，画完图之后观察图象，说出特征然后教师用课件直观展现函数ytan x，x0，）的图象的特征特别是通过演示，直观解释“无限逼近直线”预设答案：如图3所示，可以画出函数ytan x，x0，）的图象图3观察图象可知：当x0，）时，随着x的增大，线段AT的长度也在增大，而且当x趋向于时，AT的长度趋向于无穷大相应地，函数yta
7、n x，x0，）的图象从左向右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线，但不会与该直线相交设计意图：通过一个个追问，帮助学生理解正切函数的几何意义，并利用它画出函数的图象问题6：你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？正切函数的图象有怎样的特征？预设的师生活动：先由学生独立完成，而且学生应该能够完成该问题之后师生一起再把过程规范条理了预设答案：如图4，第一步，因为正切函数是奇函数，只要画函数ytan x，x0，）图象关于原点的对称图形，就可得到ytan x，x(，0的图象；第二步，根据正切函数的周期性，只要把函数ytan x，x(，）图象向左、右平移，每次平移个单位，就可得
8、到正切函数图4ytan x，xR，且xk，kZ的图象，我们把它叫做正切曲线(tan gent curve)观察图象，可以看出：正切曲线是被与y轴平行的一系列直线xk，kZ所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的设计意图：画出函数的图象，并观察图象特征4单调性和值域问题7：从函数图象与性质研究的基本套路看，还需要研究正切函数的什么性质？观察函数ytan x，x0，）的图象，你得到的结论是什么？预设的师生活动：先让学生独立完成，再进行展示交流，并予以规范预设答案：还需要研究正切函数的单调性与值域（1）单调性观察正切曲线可知，正切函数在2，2上单调递增由正切函数的周期性可得，正切函数在每一个区间2+k，
9、2+k(kZ)上都单调递增（2）值域当x2，2时，tan x在，+内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值因此，正切函数的值域是实数集R5应用例1求函数的定义域、周期及单调区间追问：类比正余弦函数图象与性质的应用，求解该题目的思路是什么？预设答案：通过换元转化为函数ytan x的性质问题求解解：自变量x的取值应满足2x3k2，kZ，即x2k+13，kZ所以，函数的定义域是x|x2k+13，kZ设z=，由tan (z)=tan z，得：tan 2x+3+=tan 2x+3，即tan 2x+2+3 =tan 2x+3因为对任意xx|x2k+13，kZ都有tan 2x+2+3 =tan 2x+3，所
10、以，函数的周期为2由2k2x32k，kZ，解得：532kx132k，kZ所以，函数在区间53+2k，13+2k，kZ上单调递增练习：第213页练习第1，2，5题（三）归纳小结问题7：本节课是按照怎样的研究套路进行的？获得了关于正切函数图像与性质的哪些基本知识、技能？在应用中有哪些经验？预设的师生活动：学生梳理，师生一起完善预设答案：按照函数研究的基本套路确定了研究内容并采用了新的研究路径：性质图象性质知道了正切函数的周期、奇偶性、单调性及值域会画正切函数的图象特别是知道了函数图象无限逼近直线xk，kZ在利用正切函数求解与例1类似的问题时，要先求定义域（四）布置作业教科书习题（五）单元检测设计求下列函数的定义域、周期和单调区间：（1）ytan 2x；（2）y5tan预设答案：（1）定义域：x|xR，且x4+k2(kZ)；周期；单调递增区间（4+k2，4+k2）kZ；（2）定义域：x|xR，且x(2k+1)(kZ)；周期2；单调递增区间（+2k，+2k）kZ设计意图：检测学生对本节课学习到的基本知识的掌握情况
