1、双曲线的几何性质教学设计第一课时 教学目标1掌握双曲线的几何性质，掌握a，b，c，e的几何意义及a，b，c，e之间的相互关系，提升学生的数学抽象素养2尝试利用双曲线的方程研究双曲线的几何性质.，提高学生的逻辑推理素养3尝试利用双曲线的知识解决简单的实际问题.提高学生的数学运算素养 教学重难点 教学重点：双曲线的几何性质教学难点：利用双曲线的方程研究双曲线的几何性质 课前准备 PPT课件 教学过程一、整体概览问题1：阅读课本，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本节
2、课主要学习双曲线的几何性质第一课时双曲线的几何性质（2）学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质设计意图：通过章引言内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.二、 探索新知问题2：已知双曲线C的方程为，根据这个方程完成下列任务：（1）已观察方程中与是否有取值范围，由此指出双曲线C在平面直角坐标系中的位置特征；（2）指出双曲线C
3、是否关于轴、轴、原点对称；（3）指出双曲线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标.（4）如果满足双曲线C的方程，说出当增大时，怎样变化，并指出反应了双曲线的形状具有什么特点.师生活动：教师指导学生作出双曲线的图像，根据图像观察回答问题预设的答案:因为实数的平方是一个非负数，所以在方程中，必有，即，同理可得，因此，双曲线位于直线所围成的矩形内，如图所示，又因为如果是方程的的一组解，则不难看出，都是方程的解，这说明双曲线关于轴、轴、坐标原点对称，在方程中，令，得或，可知双曲线与轴有两个交点，且交点坐标分别为(-2，0)，(2，0)；令，得或，可知双曲线与轴也有两个交点，且交点坐标分别是设计意图
4、：通过特例，通过双曲线的标准方程，运用方程与函数的思想，获得双曲线的几何性质，进而推广到一般帮助学生进一步体会数形结合的思想方法发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养问题3：通过上面特例，你能否迁移到一般方程中，得出双曲线的几何性质？师生活动：学生通过上面的特例，尝试自己得出结果预设的答案:(1)范围由方程可知且，因此这说明，双曲线C位于直线所夹平面区域的外侧，如图所示，对称性如果是方程的的一组解，则不难看出，都是方程的解，这说明双曲线关于轴、轴、坐标原点对称，因此，轴、轴是双曲线的对称轴，坐标原点是对称中心.双曲线的对称中心也称为双曲线的中心，本书中我们只讨论中心在原点的双曲线顶点在
5、方程中，令，得或，可知双曲线与轴有两个交点，可以记作;这两个点称为双曲线的顶点令，得，这个方程组无解，因此，双曲线C与y轴没有交点习惯上，称线段为双曲线的实轴，若，则称线段为双曲线的虚轴双曲线的实轴长为，双曲线的虚轴长为，分别是双曲线的半实轴长和半虚轴长特别地，实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线（4） 渐近线问题4：由方程可以看出，如果是双曲线上一点，则增大时，也是增大的.这就是说，双曲线向四周无限延展，如图所示.那么，这种无限延展还有什么性质呢?师生活动：学生通过自己作出双曲线的图像，分析得出结论，教师给出答案预设的答案:考虑到双曲线关于坐标轴和原点对称，因此我们只要了解双曲线在第一象
6、限内的情况即可.在第一象限内，双曲线的方程可以改写为，因为时，这就说明在第一象限内，双曲线一定在直线的下方;又因为此时如果越来越大，则，直观上，这说明随着的增大，双曲线会越来越接近直线，如果是双曲线在第一象限的点，则到直线的距离=因为当且无限增大时，将无限增大，从而将无限减小并接近于0(但不等于0)，即在第一象限内，随着的增大，双曲线会越来越接近直线，但不与这条直线相交根据双曲线的对称性可知，双曲线向外无限延伸时，总是在由直线与直线相交而分平面所成的、含双曲线焦点的两个区域内，并无限接近于这两条直线，但永远不会与它们相交，如图所示直线与直线都称为双曲线的渐近线.由此可知，作双曲线时，如果先作出
7、它的渐近线，将有利于确定双曲线的大致形状.另外，值得注意的是，如果过双曲线实轴与虚轴的端点分别作轴与轴的垂线，则可以得到一个矩形，而且矩形的对角线所在的直线正好就是渐近线，如图所示（5）离心率一般地，双曲线的半焦距与半实轴长之比，称为双曲线的离心率设计意图：通过一般例子，通过双曲线的标准方程，得到双曲线的一般性质，有利于培养学生分析问题、解决问题的能力和逻辑推理的核心素养问题5：根据双曲线的渐近线的了解，你能否得出一种更为简单的求双曲线的方法？师生活动：学生通过自己作出双曲线的图像，同桌尝试解答，教师给出答案预设的答案:将标准方程中等号右侧的“1”用“0”替换即可得两条渐近线的方程，例如求双曲
8、线的渐近线方程，根据方法，可得，即可得双曲线的渐近线方程为与直线三、初步应用例1 求方程表示的双曲线的实轴长、焦点坐标、离心率以及渐近线方程师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答预设的答案：由标准方程可知这个双曲线的焦点在轴上，且，因此实轴长，又因为，即.因此，双曲线的焦点坐标为离心率为，渐近线方程为设计意图：通过焦点x轴上的具体的双曲线，巩固学生对双曲线的几何性质的掌握四、归纳小结，布置作业问题6：什么是双曲线的中心，双曲线的顶点，双曲线的实轴、虚轴、离心率、渐近线？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：轴、轴是双曲线的对称轴，坐标原点是对称中心.双曲线的对称中心也称为双曲线
9、的中心，;这两个点称为双曲线的顶点称线段为双曲线的实轴，若，则称线段为双曲线的虚轴一般地，双曲线的半焦距与半实轴长之比，称为双曲线的离心率，直线与直线都称为双曲线的渐近线.设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生理解双曲线的一些基本概念布置作业：教科书的练习题五、目标检测设计1若0ka，则双曲线1与1有()A相同的实轴B相同的虚轴C相同的焦点 D相同的渐近线设计意图：考查学生对双曲线的几何性质的基本判断2x21的渐近线方程为()Ay2xByxCy4x Dyx设计意图：考查学生利用双曲线的几何性质求双曲线方程的渐近线方程3已知双曲线的焦点为(4，0)，(4，0)，离心率为2，则双曲线的标准方程为 设计意图：考查学生根据双曲线的性质求双曲线的方程参考答案：1C0ka，a2k20c2(a2k2)(b2k2)a2b22A双曲线x21焦点在x轴上且a21，b24，a1，b2，yx2x31e2，c4，a2，b2c2a212，且焦点在x轴上，故标准方程为1
