1、直线的方程教学设计 教材分析本课是北师大版普通高中数学必修二第二章第1节的内容，是高中解析几何内容的开始。确定直线在平面直角坐标系中的表示，建立直线的方程，然后通过方程，用代数方法研究有关的几何问题解决简单的线性规划问题等。解析几何研究问题的主要方法是坐标法，直线与方程的学习为后面学习直线与圆，直线与圆锥曲线奠定基础。 教学目标【知识与能力目标】（1）理解直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系；（4）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；（5）会把直线方程的
2、点斜式、两点式化为一般式。【过程与方法目标】在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。【情感态度价值观目标】 通过让学生体会直线的方程，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。 教学重难点【教学重点】直线的点斜式方程、斜截式方程、两点式方程、截距式方程和一般式方程。【教学难点】直线的点斜式方程、斜截式方程、两点式方程、截距式方程和一般式方程的应用。 课前准备 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
3、教学过程一、导入部分有一根长长的线，线的一端绑着一个美丽的风筝如果把风筝看作一个点，随着风向的变化，风筝带着线在空中画出了一条条的直线。在平面直角坐标系中，若风筝看作一点，则过此点是否可以确定无数条直线？二、研探新知，建构概念 1、电子白板投影出上面实例。答案是肯定的。那么在平面直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？解：(1)已知直线上一点P(x0，y0)和直线的倾斜角。(2)已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)。2、教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。（1）直线的方程的概念如果一个方程满足以下两点，就把这个方程称为直线l的方程： 直线l上任一点的坐标(x，y
4、)都满足这个方程。 满足该方程的每一个数对(x，y)所对应的点都在直线l上。注意：一个方程是直线l的方程，必须同时具备两个条件，缺一不可：“直线l上任一点的坐标(x，y)都满足这个方程”，说明直线l上没有坐标不满足方程的点，也就是说直线l上所有的点都适合这个方程而毫无例外。“满足该方程的每一个数对(x，y)所确定的点都在直线l上”，说明适合方程的所有点都在直线l上而毫无遗漏。只有具备了以上两点，某个方程才能与直线l的方程建立一一对应关系。(2) 直线方程的点斜式条件：点P(x0，y0)在直线l上，直线l的斜率存在，设为k。图示：如图所示。形式：y-y0=k(x-x0) 注意：直线的点斜式方程的
5、适用前提是直线的斜率存在，即直线不与x轴垂直；已知直线过定点且斜率存在时，常用点斜式求直线方程；方程y-y0x-x0=k与yy0k(xx0)是不相同的，前者表示除去点(x0，y0)外的直线，后者则表示整条直线；当直线的倾斜角为90时，直线l没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示直线l上每一点的横坐标都等于x0，所以它的方程是xx00。（3）直线方程的斜截式条件：直线l的斜率存在，设为k，直线在y轴上的截距为b。图示：如图所示。 形式：y=kx+b注意：截距是直线与y轴交点的纵坐标，不是距离，它可以是任意的实数。并非所有的直线在y轴上都有截距，当直线的斜率不存在时，该直线
6、在y轴上就没有截距。直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，且知在y轴上的截距b。（4）直线方程的两点式设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是直线l上的任意两点。两点满足的条件：x1x2且y1y2形式：y-y1y2-y1=x-x1x2-x1注意：直线方程的两点式应用的前提条件是：x1x2，y1y2，即直线的斜率不存在及斜率为零时，没有两点式方程。当x1x2时，直线方程为xx1；当y1y2时，直线方程为yy1。直线方程的两点式与直线上两点的顺序无关。两点式方程若变形为(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)，则此方程不再受x1x2且y1y2的限制，可表示过(x
7、1，y1)，(x2，y2)的所有直线。(5)直线方程的截距式形式：xa+yb=1a、b的几何意义：a为直线在x轴上的截距；b为直线在y轴上的截距。注意：当A、B两点为直线与坐标轴的交点(非原点)时，两点式可化为截距式，所以截距式是两点式的特殊情况。截距式方程的适用条件是a0，b0，即截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线。（6）直线方程的一般式关于x，y的二元一次方程AxByC0(A，B不同时为0 )，表示的是一条直线，我们把它叫做直线方程的一般式。注意：当A0，B0时，直线与两条坐标轴都相交。当A0，B0，C0时，直线与y轴平行，与x轴垂直。当A0，B0，C0时，直线与
8、x轴平行，与y轴垂直。 当A0，B0，C0时，直线与x轴重合。当A0，B0，C0时，直线与y轴重合。三、质疑答辩，发展思维 1、举例：已知直线l经过两点,求直线l的方程。解：根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：。2、思考1：经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是什么？解：直线方程为y=y0思考2：经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是什么？解：直线方程为 x=x0思考3：轴所在直线的方程是什么？轴所在直线的方程是什么？解：轴所在直线的方程是y=0,轴所在直线的方程是x=0。3、例题例1分别求过P(3,4)且满足下列条件的直线方程。（1）斜率k
9、=2；（2）与x轴平行；（3）与x轴垂直。解: （1）过P(3,4)且斜率k=2，点斜式方程为y-4=2(x-3),即y=2x-2；(2)由于直线过点P（3,4）且与x轴平行，即斜率为0，所以直线方程为y=4；(3)由于直线过点P（3,4）且与x轴垂直，所以直线方程为x=3。例2 求经过两点A(-5,0),B（3，-3）的直线方程。解：根据经过两点的直线斜率公式得直线AB的斜率为k=-3-03-(-5)=-38，该直线的点斜式方程为y-0=-38(x+5)，可化为3x+8y+15=0。例3已知直线经过点A（4，-3），斜率为-23,求直线的点斜式方程，并化为一般式方程。解：由已知和点斜式方程可
10、知直线的方程为y+3=-23（x-4），化为一般式为2x+3y+1=0。例4已知三角形的三个顶点A（-3，0），B（2，-2），C（0，1），求三角形三边各自所在直线的方程。解：过AB的直线方程为y-0-2-0=x+32+3，整理得2x+5y+6=0，这就是直线AB的直线方程。过AC的直线方程为y-01-0=x+30+3，整理得x-3y+3=0，这就是直线AC的直线方程。过BC的直线方程为y-1-2-1=x-02-0，整理得3x+2y-2=0，这就是直线BC的直线方程。4、巩固练习（1）过点(0,1)，且倾斜角为45的直线方程是()Ayx1 Byx1 Cyx1 Dyx1解析：因为直线的斜率kt
11、an451，所以由已知及直线的点斜式方程，得y1x0，即yx1。答案：C(2) 经过点A(2，1)，B(4,5)的直线的一般式方程为()Axy10 Bxy10 Cxy10 Dxy10解析：因为直线过A(2，1)，B(4,5)，所以由直线方程的两点式得直线方程为y-(-1)5-(-1)=x-2-4-2，化为一般式得xy10。答案：D(3) 直线xa+yb=1(ab0) 的图像可能是()解析：直线在x，y轴上的截距分别为a，b，且ab0，排除A，B，D，故选C。答案：C（4）已知直线l过点(2,1)。若直线不经过第四象限，求直线l的斜率k的取值范围；若直线l交x轴的负半轴于A，交y轴的正半轴于B，
12、AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程。解：当直线的斜率k0时，直线为y1，符合题意；当k0时，设直线l的方程为y1k(x2)，直线在x轴上的截距为-1+2kk，在y轴上的截距为12k，要使直线不经过第四象限，则有-1+2kk1，解得k0。综上所述，直线l的斜率k的取值范围为0，)。设直线l的方程为y1m(x2)，由题意可知m0，再由l的方程，得A(-1+2mm,0)，B(0,12m)。依题意得-1+2mm0，得m0。又S=12OAOB=121+2mm1+2m=12(1+2m)2m=12(4m+1m+4)，易证明函数y=4m+1m在(0,12)上是减函数，在(12,
13、+)上是增函数，所以当m=12时，S取得最小值，且Smin4，此时直线l的方程为x2y40。四、课堂小结：（1）直线的方程的概念如果一个方程满足以下两点，就把这个方程称为直线l的方程：直线l上任一点的坐标(x，y)都满足这个方程。满足该方程的每一个数对(x，y)所对应的点都在直线l上。（2）直线方程的点斜式：y-y0=k(x-x0)（3）直线方程的斜截式：y=kx+b（4）直线方程的两点式：y-y1y2-y1=x-x1x2-x1 (5)直线方程的截距式：xa+yb=1（6）直线方程的一般式：AxByC0(A，B不同时为0 )五、作业布置：课后书面作业：第67页练习1第2题和第69页练习2第4题。 教学反思略。 9 / 9
