1、备课大师：免费备课第一站！第六节空间向量及其运算(理)时间：45分钟分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()Aabc B.abcCabc D.abc解析显然()abc，故选A.答案A2已知O，A，B，C为空间四个点，又，为空间的一组基底，则()AO，A，B，C四点不共线BO，A，B，C四点共面，但不共线CO，A，B，C四点中任意三点不共线DO，A，B，C四点不共面解析，为空间的一组基底，所以，不共面，但A，B，C三种情况都有可能使，共面答案D3已知a(2
2、，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三个向量共面，则实数等于()A. B.C. D.解析由于a，b，c三向量共面所以存在实数m，n使得cmanb，即有解得m，n，.故选D.答案D4正方体不在同一表面上的两个顶点为A(1,2，1)，B(3，2,3)，则正方体的体积为()A8 B27C64 D128解析由于A，B是正方体上不共面的两个顶点，则A，B必为正方体一对角线的两顶点，由于|AB|4，故正方体的边长为4，体积为4364.故选C.答案C5在空间四边形ABCD中，等于()A1 B0C1 D不确定解析方法1：如图所示，在空间四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，得三棱锥AB
3、CD，不妨令其各棱长都相等，即为正四面体，正四面体的对棱互相垂直，0，0，0.0.故选B.方法2：在方法1的图中，选取不共面的向量，为基底，则原式()()()0.故选B.答案B6如图所示，已知空间四边形OABC中，|OB|OC|，且AOBAOC，则，夹角的余弦值为()A0 B.C. D.解析设a，b，c.由已知条件AOBAOC，且|b|c|，a(cb)acab|a|c|cosAOC|a|b|cosAOB0，cos0.故选A.答案A二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7已知点A(1,2,1)，B(1,3,4)，D(1,1,1)，若2，则|的值是_解析设P(x，y，z)，则(x1，y
4、2，z1)，(1x,3y,4z)，由2知x，y，z3，故P.由两点间距离公式可得|.答案8如图所示，已知空间四边形ABCD，F为BC的中点，E为AD的中点，若()，则_.解析如图所示，取AC的中点G，连接EG，GF，则()，.答案9在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin，的值为_解析设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，可知(2，2,1)，(2,2，1)，cos，sin，.答案三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10已知a(x,4,1)，b(2，y，1)，c(3
5、，2，z)，ab，bc，求：(1)a，b，c；(2)(ac)与(bc)所成角的余弦值解(1)因为ab，所以，解得x2，y4，这时a(2,4,1)，b(2，4，1)又因为bc，所以bc0，即68z0，解得z2，于是c(3，2,2)(2)由(1)得ac(5,2,3)，bc(1，6,1)，设(ac)与(bc)所成角为，因此cos.11(2014江门质检)如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3).解(1)P是C1D1的中点，aacacb.(2)N是BC的中点，abababc.(3)
6、M是AA1的中点，aabc.又ca，abc.12(2013重庆卷)如图所示，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，BCCD2，AC4，ACBACD，F为PC的中点，AFPB.()求PA的长；()求二面角BAFD的正弦值解()如图，连接BD交AC于O，因为BCCD，即BCD为等腰三角形，又AC平分BCD，故ACBD.以O为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，则OCCDcos1，而AC4，得AOACOC3，又ODCDsin，故A(0，3,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(，0,0)因PA底面ABCD，可设P(0，3，z)，由F为PC边中点，F(0，1，)又(0,2，)，(，3，z)，因AFPB，故0，即60，z2(舍去2)，所以|2.()由()知(，3,0)，(，3,0)，(0,2，)设平面FAD的法向量为n1(x1，y1，z1)，平面FAB的法向量为n2(x2，y2，z2)，由n10，n10，得因此可取n1(3，2)由n20，n20，得故可取n2(3，2)从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cosn1，n2.故二面角BAFD的正弦值为.
