1、直线与平面的夹角教学设计 第一课时 教学目标1、掌握直线在平面内的射影及斜线与平面所成角的概念，提升学生的数学抽象素养.2、理解最小角定理及公式cos =cos 1cos 2,并能利用这一公式解决相关问题提高逻辑推理、数学运算的数学素养 教学重难点 教学重点：求直线与平面所成的角问题教学难点：线面角的概念 课前准备 PPT课件 教学过程一、整体概览问题1：阅读课本第42-45页，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本节主要学习直线与平面的夹角第一课时直线与平面的夹
2、角（2）学生在学习了异面直线所成角的概念，对空间角的问题有了一定的经验，线面角的问题，依然按照将空间问题化为平面问题、将立体几何问题化为空间向量运算问题的基本思路展开为培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养提供舞台计意图：通过对本节知识内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.二、 探索新知形成定义问题2：日常生活中，很多场景中都有直线与平面成一定角度的形象，例如如图1所示，握笔写字时，如果把笔抽象成直线，把纸抽象成平面，则直线与平面呈一定角度；如图2所示，地球仪的地轴（即旋转轴）与赤道所在的平面垂直，并且与水平桌面呈一定角度，那么怎样来刻画
3、直线与平面所成的角呢？师生活动：学生在教师的指导下写出答案预设的答案：如果是空间中的一个平面,n是空间中的一个非零向量,且表示n的有向线段所在的直线与平面垂直,则称n为平面的一个法向量.此时,也称n与平面垂直,记作n.追问：如图所示的长方体中,平面ABCD的法向量是什么？平面的法向量是什么？平面、平面的法向量又是什么？师生活动：学生在教师的指导下写出答案预设的答案：第一个情境中将笔抽象为直线,纸抽象为平面,学生较容易画出图形;第二个情境中对于如何刻画赤道线所在的平面和旋转轴线,部分学生可能会画出不恰当的图形,例如,将赤道所在的平面画成圆,旋转轴线与桌面成不恰当的角度,画出的直线与平面不相交,等
4、等.教师可以对学生进行合理引导.如运动员扔标枪、比萨斜塔等.所有这些例子都说明,研究直线和平面所成角不仅是数学知识体系的要求,而且是具有现实意义的.然后再以其中的个具体实例为依托,引出直线与平面夹角的定义及度量的探究.比如可以以握笔写字为例,如果把笔抽象成直线,把纸抽象成平面,教师可以让学生思考,直线与平面所成角到底是哪一个?如果给你一个量角器测量直线与平面的夹角,应该量哪个角度呢?怎样来刻画直线与平面所成的角呢?设计意图：通过“情境与问题”,让学生再次感受数学既源于生活,又服务于生活,这样更适合学生的思维能力,契合学生的思维习惯,从具体到抽象,降低了难度培养学生数学抽象的核心素养这就是本节课
5、要学习的内容（板书：直线与平面的夹角第一课时）先从特殊情况入手，如果一条直线与一个平面垂直,则称这条直线与这个平面所成的角为;如果一条直线与一个平面平行,或直线在平面内,则称这条直线与这个平面所成的角为问题3：如图所示，设是平面的一条斜线，是平面内的任意一条直线. 能否将与成的角定义为直线与平面所成的角？如果不能，该怎样规定直线与平面所成的角？师生活动：学生在教师的指导下写出答案教师讲解:当的位置不同时,与所成角的大小可能也不同,因此不能将其定义为直线与平面所成的角注意到平面的一条斜线在平面内的射影是唯一确定的,因此,平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角,称为这条斜线与平面所成的角例如,如图
6、所示,如果直线AB是平面的一条斜线,B为斜足,是直线AB在平面内的射影,则ABA就是直线AB与平面所成的角.设计意图：引导学生先摆放实物,或是结合多媒体技术动态展示直线m在平面内的位置,最后将实物抽象为图形画出来,积累分析图形的经验.要注重对数学知识本质的理解和把握,培养学生逻辑推理的数学素养问题4：如图所示，设AO是平面的一条斜线段，O为斜足， 为A在平面内的射影，而OM是平面内的一条射线， ,记，（1）从直观上判断与的大小关系；（2）说明是否成立，探究、三者之间的等量关系师生活动：学生在教师的指导下写出答案教师讲解:因为,所以,都是直角三角形,而且是在平面内的射影,因此,根据与三垂线定理可
7、知,所以也是直角三角形.如果设OA=1,则在Rt中,因此在Rt中,另一方面,在RtAMO中,有因此，一般地,因为,所以由上式可知,因为和都是锐角,所以可得.这就是说,平面的斜线与平面所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角引进了平面的斜线与平面所成的角之后,空间中任意一条直线与任意个平面所成的角的大小都是确定的,直线与平面所成的角也称为它们的夹角设计意图：此处体现直观观察与逻辑推理的结合.教师可以结合多媒体技术动态展示OM在平面内的不同位置,帮助学生形成良好的直观认识,是数学运算能力与素养的重要体现 三、初步应用例1:如图所示,已知BAC在平面内,过该角的顶点A引平面的斜线AP,且
8、使PAB=PAC,求证:斜线AP在平面内的射影平分BAC师生活动：学生根据最小角定理，由老师指定学生给出答案预设的答案：证明:设点P在平面内的射影为点M,则AM为AP在平面内的射影根据前面的结论有由PAB=PAC可得:因此即AM平分BAC.设计意图：例1是对关系式的应用,是最为简捷的方法教师也可以引导学生用向量方法或综合几何方法进行证明.问题5:如图1-25所示,是平面外一点,在平面内的射影为,过作平面的斜线段，,且，均为斜足,设，与平面所成角分别为，,试判断，是=的什么条件,，是=的什么条件.师生活动：学生根据所学尝试做出答案，由老师指定学生给出答案预设的答案：注意到,所以与都是直角三角形,
9、从而,再根据,都是锐角可知=是=的充要条件;类似地,因为,所以,是=的充要条件教师讲解:这一结果可以总结为,经过平面外同一点所作的平面的多条斜线中,斜线段长、射影长及斜线与平面所成的角,只要有一个相等,则另外两个也对应相等从上面还可以看出，当线段AB所在的直线与平面所成的角为，且AB在平面的射影为,则有设计意图：在学生明确一条直线与平面的相应关系后,探索过平面外一点的两条斜线的相应关系.研究对象是平面的两条斜线及其与平面所成的角,将斜线段的关系转化为斜线与平面所成的角的关系,体现数学中常用的转化的思想方法四、归纳小结，布置作业问题6：（1）什么是斜线与平面所成的角？（2）最小角公式是什么？师生
10、活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：（1）当的位置不同时,与所成角的大小可能也不同,因此不能将其定义为直线与平面所成的角注意到平面的一条斜线在平面内的射影是唯一确定的,因此,平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角,称为这条斜线与平面所成的角（2）设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确最小角定理应用布置作业：教科书第46页练习A1,2题五、目标检测设计1若直线l与平面所成角为，直线a在平面内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是()ABC D设计意图：考查学生对最小角定理的应用2在正方形ABCDA1B1C1D1中，CB1与平面AA1C1C所成角的大小为_设计意图
11、：考查学生对空间法向量简单应用3如图所示，在四棱锥PABCD中，ABCD是正方形，PD平面ABCD若PBC60，求直线PB与平面ABCD所成的角设计意图：考查法最小角定理的综合应用参考答案：1D由最小角定理知直线l与直线a所成的最小角为，又l，a为异面直线，则所成角的最大值为230如图，连接B1D1交A1C1于O，连接OC，因为几何体是正方体，所以OB1平面AA1C1C，所以B1CO是CB1与平面AA1C1C所成角，设正方体的棱长为1，则OB1，CB1，sinB1CO，可得B1CO30即CB1与平面AA1C1C所成角的大小为303解由题意得CBD45，PBD即为直线PB与平面ABCD所成的角cosPBCcos cosCBD，PBC60即cos 60cos cos 45，cos ，45直线l与平面的位置关系是平行或直线在平面内
