1、2023-2024年高一下学期四校联考数学试卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答第卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（）A第
2、一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知，向量与的夹角为120，若与垂直，则的值为（）A1BCD3的内角A，B，C的对边分别为，若的面积为，则（ ）ABCD4在梯形中，已知，点在线段上，且，则（ ）ABCD 5某运动会上举行升旗仪式，在坡角为15的看台上，同一列上的第一排B处和最后一排C处测得旗杆顶部P处的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为10 m(如图所示)，则旗杆的高度为（ ）A10 m B30 mC10 m D10 m6在等腰三角形中，若为边上的动点，则（）A2B4C8D07已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数t的取值范围为（）ABCD8某中学开展结合学科知识的动手能力
3、大赛，参赛学生甲需要加工一个外轮廓为三角形的模具，原材料为如图所示的，是边上一点，要求分别把，的内切圆，裁去，则裁去的圆，的面积之和为（）AB CD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（）AB复数的虚部为C若复数为纯虚数，则D10已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，则下列命题中错误的是（ ）A若是锐角三角形，则B若是边长为1的正三角形，则C若，则有一解D若，则是等腰直角三角形11“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，
4、其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦，均过点，则下列说法正确的是（）A为定值B当时，为定值C当时，面积的最大值为 D的取值范围是第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12已知向量，若与方向相反，则 13已知平面向量，则向量在向量上的投影向量是 14在锐角三角形中，内角所对的边满足，若存在最大值，则实数的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13分）已知复数，i为虚数单位（1）若是纯虚数，求实数m的值；（2）若，求的值16（15分）在中，
5、内角所对的边分别是，已知（1）求角；（2）设边的中点为，若，且的面积为，求的长17.（15分）年福建省油菜花节，三明市某县通过层层遴选，最终在全省20个申办县中脱颖而出，取得了此次活动的会场承办权，主办方为了让油菜花种植区与观赏路线布局最优化、合理，设计者们首先规划了一个平面图（如图）已知：四点共圆，其中（不计宽度）是观赏路线，与是油菜花区域（1）求观赏路线的长度；（2）因为场地原因，只能使，求区域面积的最大值18（17分）在中，角所对的边分别为，且（1）求角的值；（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围19（17分）定义非零向量的（相伴函数）为，向量称为函数的“相伴向量”（ 其中为坐标原点）（
6、1）求的相伴向量；（2）求（1）中函数的“相伴向量”模的取值范围；（3）已知点，其中为锐角中角的对边.若角为，且向量的“相伴向量”在处取得最大值求的取值范围2023-2024年高一下学期四校联考数学参考答案一、二、选择题1234567891011DBCDBCADADBCDABD8【详解】在，设，则，所以，在中，由正弦定理得,即，即，化简得或，因为，所以（负值舍去），故为等边三角形，为等腰三角形，,在中，设圆的半径为，根据等面积有，即，化简得，在中，设圆的半径为，根据等面积有，即，化简得，所以圆的面积之和为，故选：D三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12. 13 14 14【详解】由
7、余弦定理可得，则，由正弦定理可得，因为为锐角三角形，则，所以，又因为函数在内单调递增，所以，可得，由于为锐角三角形，则，即，解得，则，因为，所以，则，因为存在最大值，则，解得故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 【答案】(1) (2)【详解】（1），所以，因为是纯虚数，所以，得.（2）由（1）知，因为，所以，得，所以，所以.16 【答案】(1) (2)【详解】（1）在中，由正弦定理得，因为，所以，化简得，在中，由余弦定理得，又因为，所以（2）由，得，由，得，所以又因为边的中点为，所以，所以17. 【详解】（1）四点共圆，；在中，由正弦定理得：，
8、；在中，由余弦定理知：，即，解得：或（舍），.（2）在中，；在中，由余弦定理得：，（当且仅当时取等号），即区域面积的最大值为.18 【答案】（1） （2）【详解】（1）因为，且，所以利用正弦定理化简得：即，由余弦定理可得，又因为，所以；（2）由（1）得，即，又因为三角形为锐角三角形，所以解得：，因为，由正弦定理得：所以，所以因为，所以，所以则的取值范围为19. 【详解】 (1)(x)=cos(x+6)2cos(x+a)=(2sina12)sinx+( 322cosa)cosx，函数(x)的相伴向量OM=(2sina12, 322cosa)，(2)|OM|= (2sina12)2+( 322cosa)2= 52sina2 3cosa= 54sin(a+3)，|OM|max= 5+4=3，|OM|min= 54=1，|OM|的取值范围为1,3；(3)OM的相伴函数f(x)=asinx+bcosx= a2+b2sin(x+)，其中cos=a a2+b2，sin=b a2+b2， f(x)在x=x0处取得最大值所以x0+=2k+2，kZ，即x0=2k+2，kZ，tanx0=tan(2k+2)=1tan=ab， tan2x0=2tanx01tan2x0=2ab1(ab)2=2baab，因为，又因为，所以，所以，所以，令m=ba，tan2x0=2m1m，又y=m1m在 上单调递增，所以所以
