1、平面向量的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 向量平行的坐标表示填一填1.平面向量的坐标表示(1)向量a的坐标：_.(2)全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间的关系是_的2平面向量线性运算的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则类别坐标运算语言表述向量的加法坐标表示ab_向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐标的_向量的减法坐标表示ab_实数与向量积的坐标表示a_实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的_有向线段的坐标表示设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则_一个向量的坐标等于_3.向量平行的坐标表示(1)公式：设a，b是非零向量，且a(x1，y1)，b(x2，y2)
2、，ab_.若y10且y20，则上式可表示为ab_.(2)文字语言：定理1：若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标_定理2：若两个向量相对应的坐标_，则它们平行.判一判1.两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同()2当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标()3两向量差的坐标与两向量的顺序无关()4点的坐标与向量的坐标相同()5设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab等价于.()6设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab等价于x1y2x2y1.()7向量a(1,2)与向量b(3，6)是共线向量且同向()8已知向量a(2,3)，b(2，3)，则向量a，b互
3、为相反向量()想一想1.如何正确理解平面向量坐标？提示：(1)设xiyj(O为坐标原点)，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量的坐标(x，y)因此，在直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一个有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的(2)两向量相等的等价条件是它们对应的坐标相等(3)要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点和终点的坐标却可以不同2符号(x，y)的意义是怎样的？提示：符号(x，y)在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)或向量(x，
4、y)3怎样正确理解两向量共线的坐标表示？提示：已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，(1)当b0时，ab.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系(2)x1y2x2y10.这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征(3)当x2y20时，即两向量的对应坐标成比例通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误思考感悟：练一练1.已知向量a(1,2)，b(1,0)，那么向量3ba的坐标是()A(4,2) B(4，2)C(4,2) D(4，2)2已知a(6,2)，b(m，3)，且ab，则
5、m()A9 B9C3 D33已知A(1,2)，B(4,5)若2，则点P的坐标为_4若向量(2,3)，(4,7)，则_.知识点一向量的坐标表示1.如图，在正方形ABCD中，O为中心，且(1，1)，则_；_；_.2已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如下图所示的平面直角坐标系，i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，试求和的坐标知识点二向量的坐标运算3.已知平面向量(1,2)，(3,4)，则向量()A(4，6) B(4,6)C(2，2) D(2,2)4已知A(2，4)，B(1,3)，C(3,4)，若23，求点M的坐标知识点三共线向量的有关运算5.已知向量a(2，m1)，b(m3,4)，且(
6、ab)(ab)，则m()A1 B5C1或5 D56已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？综合知识三点共线问题7.若三点A(2,3)，B(3,2)，C共线，则实数m的值为_8设向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？基础达标一、选择题1如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则可以表示为()A2i3jB4i2jC2ij D2ij2已知m，nR，向量a(2m1，mn)与b(2,0)平行，则m，n满足的条件是()Amn0 Bmn0Cmn0 Dmn13如果向量a(k,1)
7、，b(4，k)共线且方向相反，则k等于()A2 B2C2 D04已知向量(3，2)，(5，1)，则向量的坐标是()A. B.C. D(8,1)5已知向量a(1，2)，b(m,4)，且ab，那么2ab()A(4,0) B(0,4)C(4，8) D(4,8)6若向量(1,2)，(3,4)，则等于()A(4,6) B(4，6)C(2，2) D(2,2)7在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(3,5)，(1,2)，则()A(2,4) B(4,6)C(6，2) D(1,9)8已知a(2,1cos )，b(1cos ，)，且ab，则锐角等于()A45 B30C60 D15二、填空题9已知点A(1，5)
8、和向量a(2,3)，若3a，则点B的坐标为_10已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_11已知向量a(m,4)，b(3，2)，且ab，则m_.12向量a(1，2)，向量b与a共线，且|b|4|a|，则b_.三、解答题13已知向量a，b的坐标分别是(1,2)，(3，5)，求ab，ab,3a,2a3b的坐标14已知(1,1)，(3，1)，(a，b)(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系；(2)若2，求点C的坐标能力提升15.已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30角求点B和点D的坐标和与的坐标16设(2，1)，(3,0)，(m,3)(
9、1)当m8时，将用和表示；(2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件41平面向量的坐标表示42平面向量线性运算的坐标表示43向量平行的坐标表示一测基础过关填一填1(1)a(x，y)(2)一一对应2(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)和与差(x1，y1)乘积(x2，y2)(x1，y1)(x2x1，y2y1)其终点的相应坐标减去始点的相应坐标3(1)x1y2x2y10(2)成比例成比例判一判12.3.4.5.6.7.8.练一练1D2.B3.(3,4)4.(2，4)二测考点落实1解析：由题意知，(1，1)(1,1)，由正方形的对称性可知，B(1，1)，所以(1，1)，同理(1,
10、1)答案：(1，1)(1,1)(1,1)2解析：由题图知：CBx轴，CDy轴，AB4，AD3，4i3j，(4,3)，4i3j，(4,3)3解析：(1,2)(3,4)(2，2)答案：C4解析：由A(2，4)，B(1,3)，C(3,4)，得(23，44)(1，8)，(13,34)(4，1)，所以232(1，8)3(4，1)(2，16)(12，3)(14，19)设点M的坐标为(x，y)，则(x3，y4)由向量相等坐标相同可得解得所以点M的坐标为(11，15)5解析：向量a(2，m1)，b(m3,4)，且(ab)(ab)，所以ab(m5，m5)，ab(m1，m3)，所以(m5)(m3)(m1)(m5)
11、0，即(m5)(m1)0，解得m1或m5.故选C.答案：C6解析：方法一：kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，当kab与a3b平行时，存在唯一实数，使kab(a3b)由(k3,2k2)(10，4)，所以解得k.当k时，kab与a3b平行，这时kabab(a3b)，因为0，所以kab与a3b反向方法二：由题知kab(k3,2k2)，a3b(10，4)，因为kab与a3b平行，所以(k3)(4)10(2k2)0，解得k.这时kab(a3b)所以当k时，kab与a3b平行，并且反向7解析：三点A(2,3)，B(3,2)，C共线，(1，1)，1(m3
12、)1，即m.答案：8解析：方法一：若A，B，C三点共线，则，共线，则存在实数，使得，因为(4k，7)，(10k，k12)所以(4k，7)(10k，k12)即解得k2或k11.所以当k2或11时，A，B，C三点共线方法二：由题意知，共线，因为(4k，7)，(10k，k12)，所以(4k)(k12)7(10k)0，所以k29k220，解得k2或k11.所以当k2或11时，A，B，C三点共线三测学业达标1解析：记O为坐标原点，则2i3j，4i2j，所以2ij.答案：C2解析：由ab知：mn0.答案：A3解析：由向量共线的坐标表示得k240，k2.又a、b反向，故k2.选C.答案：C4解析：()(5，
13、1)(3，2)(8,1)，所以.答案：A5解析：因为向量a(1，2)，b(m,4)，且ab，所以14(2)m，所以m2，所以2ab(2m，44)(4，8)答案：C6解析：(4,6)选A.答案：A7解析：在平行四边形ABCD中，因为A(1,2)，B(3,5)，所以(2,3)又(1,2)，所以(1,5)，(3，1)，所以(2,4)，故选A.答案：A8解析：由ab得2(1cos )(1cos )0，即1cos2sin2，得sin ，又为锐角，sin ，45.答案：A9解析：(1，5)，3a(6,9)，故(5,4)，故点B的坐标为(5,4)答案：(5,4)10解析：由题意得manb(2m，m)(n，2
14、n)(2mn，m2n)(9，8)，即解得m2，n5，所以mn3.答案：311解析：因为ab，所以2m120，所以m6.答案：612解析：因为b与a共线，ba(，2)，又|b|4|a|，4，b(4，8)或(4,8)答案：(4，8)或(4,8)13解析：ab(1,2)(3，5)(2，3)，ab(1,2)(3，5)(4,7)，3a3(1,2)(3,6)，2a3b2(1,2)3(3，5)(2,4)(9，15)(7，11)14解析：由题意知，(2，2)，(a1，b1)(1)若A，B，C三点共线，则，即2(b1)(2)(a1)0，故ab2.(2)2，(a1，b1)(4，4)，即点C的坐标为(5，3)15解析：由题知B、D分别是30，120角的终边与单位圆的交点设B(x1，y1)，D(x2，y2)由三角函数的定义，得x1cos 30，y1sin 30，所以B.x2cos 120，y2sin 120，所以D.所以，.16解析：(1)当m8时，(8,3)，设xy，则x(2，1)y(3,0)(2x3y，x)(8,3)，3.(2)A，B，C三点能构成三角形，不共线，又(1,1)，(m2,4)，141(m2)0，m6.- 10 -
