1、核心素养测评四十九 直线与圆、圆与圆的位置关系(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2020桂林模拟)已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为()A.(x+2)2+(y-2)2=1B.(x-2)2+(y+2)2=1C.(x+2)2+(y+2)2=1D.(x-2)2+(y-2)2=1【解析】选B.圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1的圆心坐标为(-1,1),关于直线x-y-1=0对称的圆心坐标为(2,-2),所求的圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.2.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x
2、-8y+m=0外切,则m=()A.21 B.19C.9D.-11【解析】选C.圆C1的圆心是原点(0,0),半径r1=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=25-m,圆心C2(3,4),半径r2=,由两圆相外切,得|C1C2|=r1+r2=1+=5,所以m=9.3.过点(0,1)且倾斜角为的直线l交圆x2+y2-6y=0于A,B两点,则弦AB的长为()A.B.2C.2D.4【解析】选D.过点(0,1)且倾斜角为的直线l为y-1=x,即x-y+1=0,因为圆x2+y2-6y=0,即x2+(y-3)2=9,所以圆心(0,3),半径r=3,圆心到直线l:x-y+1=0的距离d=1,所以直线被圆截得
3、的弦长l=2=4.4.若直线l:ax+by=1与圆C:x2+y2=1无交点,则点P(b,a)与圆C的位置关系是()A.点在圆上B.点在圆外C.点在圆内D.不能确定【解析】选C.直线l:ax+by=1与圆C:x2+y2=1无交点,则1,即a2+b21,所以点P(b,a)在圆C内部.5.(多选)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-4x=0.若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过P所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k的取值可以是()A.1B.2C.3D.4【解析】选AB.圆C的方程为x2+y2-4x=0,则圆心为C(2,0),半径R=2.设两个切点分别为A、B,则由题意可得四边形PA
4、CB为正方形,故有PC=R=2,所以圆心到直线y=k(x+1)的距离小于或等于PC=2,即2,解得k28,可得-2k2,所以实数k的取值可以是1,2.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020合肥模拟)已知圆C1:(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+b)2+(y+2)2=1相外切,则ab的最大值为_.【解析】由已知得圆C1的圆心C1(a,-2),圆C2的圆心C2(-b,-2),由两圆外切可知|a+b|=3,故a2+2ab+b2=9,所以4ab9,所以ab.答案:7.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是_.【解析】切线平行于直线2x+y+1=0,故可设
5、切线方程为2x+y+c=0(c1),结合题意可得=,解得c=5.答案:2x+y+5=0或2x+y-5=08.(2020杭州模拟)已知直线l:x+y-m=0被圆C:x2+y2-2x-3=0截得的弦长为2,则圆心C到直线l的距离是_,m=_.【解析】圆的标准方程为(x-1)2+y2=4,圆心C(1,0),半径r=2,根据几何法得:d=1,所以|1-m|=2,得m=-1或3.答案:1-1或3三、解答题(每小题10分，共20分)9.已知两圆x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+2y-8=0.(1)试判断两圆的位置关系.(2)求公共弦所在的直线方程.(3)求公共弦的长度.【解析】(1)将
6、两圆方程配方化为标准方程，C1：(x-1)2+(y+5)2=50，C2：(x+1)2+(y+1)2=10.则圆C1的圆心为(1，-5)，半径r1=5；圆C2的圆心为(-1，-1)，半径r2=.又|C1C2|=2，r1+r2=5+，r1-r2=5-.所以r1-r2|C1C2|0,解得-3k1,因为2ab=(a+b)2-(a2+b2)=4k2-(k2-2k+3)=3k2+2k-3,所以当k=-3时,ab取得最大值9.2.(5分)(2019江西模拟)已知圆O:x2+y2=9,过点C(2,1)的直线l与圆O交于P,Q两点,当OPQ的面积最大时,直线l的方程为()A.x-y-3=0或7x-y-15=0B
7、.x+y+3=0或7x+y-15=0C.x+y-3=0或7x-y+15=0D.x+y-3=0或7x+y-15=0【解析】选D.当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=2,则P,Q的坐标为(2,),(2,-),所以SOPQ=22=2.当直线l的斜率存在时,设l的方程为y-1=k(x-2),则圆心到直线PQ的距离d=,由平面几何知识得|PQ|=2,SOPQ=|PQ|d=2d= =,当且仅当9-d2=d2,即d2=时,SOPQ取得最大值.因为20,n0,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值范围是_.【解析】因为m0,n0,直线(m+1)x+(n
8、+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,所以圆心C(1,1)到直线的距离为半径1,所以=1,即|m+n|=.两边平方并整理得mn=m+n+1.由基本不等式mn可得m+n+1,即(m+n)2-4(m+n)-40解得m+n2+2.当且仅当m=n时等号成立.答案:(2+2,+)4.(10分)已知圆(x-1)2+y2=25,直线ax-y+5=0与圆相交于不同的两点A,B.(1)求实数a的取值范围.(2)若弦AB的垂直平分线l过点P(-2,4),求实数a的值.【解析】(1)由题设知0,所以a.故实数a的取值范围为(-,0).(2)圆(x-1)2+y2=25的圆心坐标为(1,0),又弦AB
9、的垂直平分线过圆心(1,0)及P(-2,4),所以kl=-,又kAB=a,且ABl,所以klkAB=-1,即a=-1,所以a=.5.(10分)已知圆C经过点A(2,-1),和直线x+y=1相切,且圆心在直线y=-2x上.(1)求圆C的方程.(2)已知直线l经过原点,并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程.【解析】(1)设圆心的坐标为C(a,-2a),则=.化简,得a2-2a+1=0,解得a=1.所以C点坐标为(1,-2),半径r=|AC|=.故圆C的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.(2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,此时直线l被圆C截得的弦长为2,满足条件.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx,由题意得=1,解得k=-,则直线l的方程为y=-x.综上所述,直线l的方程为x=0或3x+4y=0. 8
