1、专题06 平面向量一、选择题部分1.(2021新高考全国卷T10)已知为坐标原点，点，则（）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】A项，所以，故，正确； C项，由题意得：，正确；故选AC2.(2021浙江卷T3)已知非零向量，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】如图所示，,当时，与垂直，所以成立，此时，不是的充分条件，当时，,成立，是的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件3.(2021河南焦作三模理T6)已知向量（1，x），（0，2），则的最大值为（）A2B2CD1【答案】D【解析】向量（1，x），
2、（0，2），则，当x0时，0，当x0时，1，当且仅当x1时，取等号，所以的最大值为：14.(2021河北张家口三模T6)我国东汉末数学家赵爽在周牌算经中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，则+（）ABCD【答案】D【解析】以E为坐标原点，EF所在直线为x轴，建立如图直角坐标系，设|EF|1由E为AF的中点，可得E（0，8），1），0），8），2），所以，因为，所以（1，5）+（1，即解得则5.(2021山东聊城三模T7.)在ABC中，|AB|=3，|AC|=4，|BC|=5，M为BC中点，O为ABC的内心，且
3、AO=AB+AM，则+=（）A.712B.34C.56D.1【答案】 A【考点】向量的线性运算性质及几何意义，三角形五心【解析】由题知，A=2，根据三角形面积与周长和内心的关系求得，内切圆半径OE=OF=343+4+5=1，四边形AEOF为矩形，则AO=AE+AF=14AC+13AB，又AM=12AB+12AC则AO=AB+AM=(+2)AB+2AC=13AB+14AC则+2=132=14，则+=13+14=712【分析】根据勾股定理可知ABC为直角三角形结合O为内心，可得四边形AEOF为正方形内切圆半径OE=OF=1，再过根据向量线性运算即可求得。6.(2021四川内江三模理T3)已知平面向
4、量，满足+0|，则的值为（）ABCD【答案】A【解析】，且，即1，7.(2021安徽马鞍山三模文T3)已知向量，若与共线，则实数m（）AB5CD1【答案】B【解析】向量，若与共线，可得：92m1，解得m58.(2021安徽蚌埠三模文T6)已知向量，满足|2，（+）2，|2，则|（）A1BC2D4【答案】C【解析】向量，满足|2，（+）2，|2，可得2，12，解得4，所以|29.(2021贵州毕节三模文T7)如图，在ABC中，D是BC边的中点，E，F是线段AD的两个三等分点，若，则（）A2B1C1D2【答案】B【解析】D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，7，可得42，所以，2，1211
5、0.(2021辽宁朝阳三模T2)在ABC中，若AB1，AC5，sinA，则（）A3B3C4D4【答案】D【解析】在ABC中，若AB1，AC5，sinA，可得cosA，所以411.(2021四川泸州三模理T4)已知平面向量，满足|，|1，|+|，则|2|（）AB5CD7【答案】C【解析】平面向量，满足|，|1，|+|，可得，可得0，则|2|12.(2021江苏常数三模T3)设为实数，已知向量（1，），（2，1）若，则向量与的夹角为（）ABCD【答案】D【解析】,解得2，,且,与的夹角为13.(2021江西上饶三模理T6)已知A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且m+2n（m0，n0），则的最
6、小值是（）A10B9C8D4【答案】C【解析】由“A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且m+2n”可知m+2n1（m0，n0），（m+2n）()4+4+28,当且仅当即时取“”的最小值是814.(2021福建宁德三模T9)已知向量a，b，c满足a+b=(1,-1)，a-3b=(-7,-1)，c=(1,1)，设a,b的夹角为，则()A. |a|=|b|B. a/cC. =135D. bc【答案】BC【解析】a+b=(1,-1)，a-3b=(-7,-1)，a=(-1,-1)，b=(2,0)，得|a|=(-1)2+(-1)2=2，|b|=2，故A错误；又c=(1,1)，则a=-c，则a/c，故B
7、正确；cos=ab|a|b|=-222=-22，又0,180，=135，故C正确；bc=21+01=20，b与c不垂直，故D错误故选：BC.由已知求解方程组可得a与b，求模判断A；由a=-c判断B；由数量积求夹角判断C；由数量积不为0判断D.本题考查向量垂直与数量积的关系，训练了利用数量积求夹角，考查运算求解能力，是基础题15.(2021宁夏中卫三模理T3)若向量（5，6），（2，3），则（）A（3，3）B（7，9）C（3，3）D（6，10）【答案】C【解析】向量（5，6），（2，3），则（3，3）16.(2021江西九江二模理T7)如图所示，四边形ABCD是边长为2的菱形，E是边BC上靠近C
8、的三等分点，F为CD的中点，则（）A2BCD2【答案】C【解析】+，（）（）17.(2021浙江杭州二模理T3)设，是非零向量，则“”是“函数f（x）（x+）（x）为一次函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】f（x）（x）（x）x2+（）x，若，则0，如果同时有|，则函数恒为0，不是一次函数，故不充分；如果f（x）是一次函数，则0，故，该条件必要18.(2021河北邯郸二模理T2)已知向量（2，6），（1，x），若与反向，则（3+）（）A30B30C100D100【答案】D【解析】向量（2，6），（1，x），与反向，可得x3，所以（3
9、+）（2，6）（5，15）10+9010019.(2021江西上饶二模理T10)如图，AB是圆O的一条直径且AB2，EF是圆O的一条弦，且EF1，点P在线段EF上，则的最小值是（）ABCD【答案】B【解析】，当P为EF中点时，则的最小值为20.(2021河北秦皇岛二模理T5)在ABC中，已知|+|，|4，|3，2，则（）AB3CD6【答案】D【解析】|+|，|+|，|+|2|2，+2+2，0，2，+（）+，（+）+621.(2021江西鹰潭二模理T4)已知向量是单位向量，（3，4），且在方向上的投影为，则|2|（）A36B21C9D6【答案】D【解析】向量是单位向量，（3，4），且在方向上的投
10、影为，可得，|2|622.(2021辽宁朝阳二模T5)已知向量，满足|2，（）2，则|2|（）A2B2C4D8【答案】B【解析】向量，满足|2，（）2，可得：2，|2|223.(2021广东潮州二模T4)设，均为单位向量，则“|3|3+|”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】“|3|3+|”平方得|2+9|269|2+|2+6，即1+969+1+6，即120，则0，即，反之也成立，则“|3|3+|”是“”的充要条件24.(2021天津南开二模T9)在直角梯形ABCD中，ADAB，CDAB，E为BC边上一点，F为直线AE上一点，则
11、（）ABCD【答案】C【解析】以A为原点，AB、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，A（0，0），7），1），1），设E（a，b），则，（1，2）3（1a，解得，直线AE的方程为，设F（x，y），又F为直线AE上一点，当x时，有最大值25.(2021安徽淮北二模文T6)在平行四边形ABCD中，若2，AE交BD于F点，则（）ABCD【答案】D【解析】如图所示：由，则点E为CD的中点，在平行四边形ABCD中，DEAB，所以，则26.(2021吉林长春一模文T2.)若平面向且 ,则的值为【答案】C【解析】由可知即,故选C.27.(2021宁夏银川二模文T3)已知向量，的夹角为60，|2，|1，则（+2
12、）（）（）AB2C1D0【答案】D【解析】向量，的夹角为60，|2，|1，（+2）（）222212028.(2021山西调研二模文T7)平行四边形ABCD中，E为AD边上的中点，连接BE交AC于点G，若AG=AB+AD，则+=()A. 1B. 56C. 23D. 13【答案】C【解析】四边形ABCD为平行四边形，AD=BC，E为AD边上的中点，AE=12AD，AD/BC，AEGCBG，AGCG=AEBC=12，AG=12CG=13AC，AG=13AC=13(AB+AD)=13AB+13AD，AG=AB+AD，=13，+=23.故选：C.先判断AEGCBG，求出相似比，得到AG=13AC，再利用
13、平面向量的线性运算即可求解本题考查平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，平面向量的线性运算，属于基础题二、填空题部分29.(2021高考全国甲卷理T14) 已知向量若，则_【答案】【解析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值,，解得,故答案为：.30.(2021高考全国乙卷文T13) 已知向量，若，则_【答案】【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，解方程可得：.故答案为.31.(2021浙江卷T17) 已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为_.【答案】【解析】由题意，设，则，即，又向量在方向上的投影分别为
14、x，y，所以，所以在方向上的投影，即,所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.32.(2021浙江丽水湖州衢州二模T16)已知平面向量，若|，0，|+|4，|1，则|的最大值是【答案】【解析】不妨令，以点O为坐标原点，OA，OB所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则O（0，0），因为|+|4，所以|CA|+|CA|4|AA|，故点C在以4为长轴，为焦点的椭圆上，则点C的轨迹方程为，又|1，即，故点D在以为圆心，1为半径的圆上，又|，所以转化为求解|BC|的最大值，由图易得，当以B为圆心，r为半径的圆与椭圆内切时有最大值，联立方程组消去x可得，则1212（r27）0，解得，
15、所以33.(2021山东潍坊二模T16)已知向量，满足|+|3，|1且+1（+），则|的取值范围是【答案】1，5【解析】|+|3，494，|+1|（）|（）|3，42，19425，125，即1|534.(2021江苏盐城三模T12)将平面向量称为二维向量，由此可推广至n维向量对于n维向量，其运算与平面向量类似，如数量积|cos(为向量的夹角)，其向量的模|，则下列说法正确的有A不等式()()()2可能成立B不等式()()()2一定成立C不等式n()2可能成立D若，则不等式n2一定成立【答案】ABD【考点】新情景问题下的数量积与模的应用【解析】由题意，可设(x1，x2，xn)，(y1，y2，yn
16、)，所以()()|2|2，()2(|)2|2|2cos2，由cos21，可得()()()2，当且仅当0或时取等号，若xi0，则n2，所以选项A、B、D正确；设(1，1，1)(n个1)，则nn|2，()2()2|2|2cos2n|2cos2，由cos21，可得n()2，当且仅当0或时取等号，所以选项C错误；综上，答案选ABD35.(2021江苏盐城三模T15)若向量，满足|，则的最小值为【答案】【考点】平面向量的综合应用【解析】法一：由题意，|2222224，即34，则法二：由题意，|2，所以的最小值为36.(2021河南郑州三模理T13)在矩形ABCD中，其中AB3，AD1，AB上的点E满足+
17、2，F为AD上任意一点，则【答案】3【解析】在矩形ABCD中，其中AB3，AD1，AB上的点E满足+2，E是AB的一个3等分点，F为AD上任意一点，所以|cos（EBF）|337.(2021河南开封三模理T14)已知向量，满足，若，则在方向上的投影为【答案】1【解析】，在方向上的投影为：，故答案为：138.(2021河南开封三模文T14)已知向量，若在方向上的投影为，则实数t2【答案】2【解析】向量，在方向上的投影为，即：，解得t239.(2021浙江杭州二模理T16)已知，是单位向量，且设，m（mn0），若ABC为等腰直角三角形，则m【答案】2或1【解析】根据题意，已知，是单位向量，且，设（
18、1，0），（0，1），则（m，n）（mn0），则A（1，0），B（0，1），C（m，n），若C为直角，即且|，则，又由mn0，解可得mn1，若B为直角，即且|，则，解可得：m2，n1，同理：若C为直角，可得m1，n2，（不合题意，舍去）综合可得：m2或140.(2021上海嘉定三模T11)若圆O的半径为2，圆O的一条弦AB长为2，P是圆O上任意一点，点P满足，则的最大值为【答案】10【解析】【法一：建系法】如图以AB中点C为原点建系，则，所以圆O方程为，所以设，Q（x0，y0），因为，所以，所以，因为cos1，1，所以的最大值为10【法二：投影法】连接OA，OB过点O作OCAB，垂足为C，则，
19、因为，所以Q所以，且仅当且同向时取等号，的最大值为1041.(2021河南济源平顶山许昌三模文T14)已知平面向量（1，），（，m），且|+|，则|36|【答案】6【解析】向量（1，），（，m），且|+|，+m0，m1，则|36|642.(2021上海浦东新区三模T2)已知（2，3），（4，x）且，则x6【答案】6【解析】已知（2，3），（4，x）且，则由两个向量共线的性质可得2x340，解得x643.(2021江西南昌三模理T13)已知两个单位向量，且|1，则|【答案】【解析】，且；1+1+13；44.(2021上海浦东新区三模T12)已知|1，若存在m，nR，使得m+与n+夹角为60，且|
20、（m+）（n+）|，则|的最小值为【答案】【解析】由题意，令，故有A，A，B，B共线，为定值，在AOB中，由余弦定理可得，当且仅当时，取最大值，此时AOB面积最大，则O到AB距离最远，即当且仅当A、B关于y轴对称时，最小，此时O到AB的距离为，即45.(2021湖南三模T13)已知单位向量，满足|2|，则与的夹角为【答案】【解析】根据题意，设与的夹角为，单位向量，满足|2|，则有（2）22+4243，变形可得：cos，又由0，则46.(2021江西上饶三模理T13)已知（1，2），（0，1），则在方向上的投影为【答案】2【解析】因为（1，2），（0，1），则在方向上的投影247.(2021安徽
21、宿州三模文T14)已知非零向量，满足|2|，且（），则与的夹角为【答案】【解析】根据题意，设与的夹角为，再设|t，则|2|2t，若（），则（）2t22t2cos0，变形可得cos，又由0，则48.(2021安徽马鞍山三模理T14)在ABC中，O为ABC的外心，若，则的值为【答案】2【解析】在ABC中，可知与，在上的投影相同，并且，O为ABC的外心，所以ABAC，三角形是正三角形，设外接圆的半径为R，则，解得R，所以三角形的高为，则三角形的边长为2，所以2249.(2021北京门头沟二模理T12) ABC外接圆圆心为O，且2OA+AB+AC=0，则ABAC=_【答案】0【解析】如图，ABC外接圆圆心为O，且2OA+AB+AC=0，可知AB+AC=-OA=2AO=AD，所以ABC是直角三角形，ABAC，则ABAC=0.故答案为：0.画出图形，结合已知条件判断两个向量的关系，然后求解ABAC即可本题考查向量的数量积的求法，数形结合的应用，是基础题50.(2021新疆乌鲁木齐二模文T14)已知向量（2，1），（m，1），（1，2），若（），则m3【答案】3【解析】，且，2（2m）20，解得m351.(2021河南郑州二模文T14)已知向量与的夹角为60，|3，|6，则2在方向上的投影为【答案】3【解析】向量与的夹角为60，|3，|6，可得2在方向上的投影为：3- 18 -
