1、第四章 图形的相似 学习目标与 考点分析学习目标：1、熟练理解运用线段的比AB:CD=m:n以及黄金分割 2、明确理解相似三角形和相似多边形的性质 3、熟练运用相似多边形边角关系考点分析：1、相似比的性质和黄金分割 2、相似多边形的性质和判定定理学习重点重点：1、线段比例和黄金分割 2、相似三角形的性质 3、相似三角形的额判定定理学习方法讲练结合 练习巩固 学习内容与过程【知识点梳理】一. 线段的比1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ,或写成 .2. 四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d的比,即 ,那么
2、这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段.3. 注意点:a:b=k,说明a是b的k倍;由于线段 a、b的长度都是正数,所以k是正数;比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;除了a=b之外,a:bb:a, 与 互为倒数;比例的基本性质:若 , 则ad=bc; 若ad=bc, 则 二. 黄金分割1. 如图1,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 ,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比. 2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点.四. 相似多边形1. 一般地,形状相同的图形称为相似图形.2. 对应角相等、对应边成
3、比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.五. 相似三角形1. 在相似多边形中,最为简简单的就是相似三角形.2. 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.3. 全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1. 注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.4. 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.5. 相似三角形周长的比等于相似比. 6. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.六.探索三角形相似的条件1. 相似三角形的判定方法:一般三角形 直角三角形基本定理:平行于
4、三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.两角对应相等;两边对应成比例,且夹角相等;三边对应成比例. 一个锐角对应相等;两条边对应成比例:a. 两直角边对应成比例;b. 斜边和一直角边对应成比例.2. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图2, l1 / l2 / l3,则 .3. 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.八. 相似的多边形的性质相似多边形的周长比等于相似比;面积比等于相似比的平方.九. 图形的位似1. 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线
5、都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形; 这个点叫做位似中心; 这时的相似比又称为位似比.2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.3. 位似变换:变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心.一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形.利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小.【例题讲解】（一）线段的比1.两条线段的比的概念：两条线段的比就是两条线段长度的比注：同一长度单位的两条线段AB、CD的长度分别为m、n，那么这两条线段的比AB：例：线段a
6、的长度为3厘米，线段b的长度为6米，所以两线段a,b的比为36=12,对吗？不对，因为a、b的长度单位不一致，.注意在量线段时要选用同一个长度单位. 解： 解：设x=2k，y=3k，z=4k 2比例尺=图上距离实际距离. 例1. 已知：A、B两地的实际距离是80千米，在某地图上测得这两地之间的距离为1cm，则该地图的比例尺为_。现量得该地图上太原到北京的距离为6.4cm，则两地的实际距离为_（用科学记数法表示）。相距50千米的C、D两地在该地图上的距离为_。 解： 答案：1：8000000；5.12102km；0.625cm3 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m,n，那
7、么就说这两条线段的比AB：CD=m:n，或写成（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段例1：已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3cm,b=2cm,c=6cm,求线段d的长。 4比例的基本性质：如果，那么ad=bc 五. 合比性质、等比性质： . 解： （2）令AD=4k，DB=k，AE=4n，EC=n （二）.黄金分割如图：点C把线段AB分成两条线段AC和AB，如果=那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。（1）把长为8cm的线段进行黄金分割，较长线段的长是_。 解： （2）AC可能是较大线段也可能是较小线段 选D
8、（三）相似多边形 1. 对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。 2. 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，对应线段比等于相似比。 例10. （2）两个相似三角形对应边上的高的比为4：9，它们的周长比为_，面积比为_。 （3）两个相似多边形地块的相似比为3：4，面积差为28m2，则它们的面积分别为_。 解：（1）面积比等于相似比的平方，相似比=1：3 （2）4：9；16：81 （3）面积比为9：16，设两个相似地块分别为9x，16x （四）相似三角形1相似三角形,就是形状相同,但大小不一样。定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三
9、角形叫做相似三角形。所有的边数相同的正多边形都相似（正三角形，正方形，正五边形等等）2相似三角形的判定方法有（1）两角对应相等，两三角形相似。 （2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 （3）三边对应成比例，两三角形相似。3相似三角形的性质：1. 相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比（相似三角形的对应边的比，叫做相似比）。2.相似三角形周长的比等于相似比。3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。例11. G、H分别在AC、AB上，BC=15cm，BC边上的高AD=10cm，求正方形的面积。 解： （2）设正方形边长为x 一、如
10、何证明三角形相似例1、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则AGD 。 二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例1、ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：DFAC=BCFE例2：已知：如图，在ABC中，BAC=900，M是BC的中点，DMBC于点E，交BA的延长线于点D。求证：（1）MA2=MDME；（2） 三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。例1：已知：如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且。求证：AEF=FBD 课内练习与训练一. 填空题 1. 已知_，=_。 2. 上午8时，某
11、地一根长1m的标尺直立地面，其影长为1.4m，同时测得一建筑物影长为43.4m，则该建筑物高度为_m。已知，点P、_，=_，=_。 4. 如图，在中，DE/BC，=_，如果BC=16，则DE=_。 5. 如图，CD是的斜边AB上的高，若AC=4cm，AD=2cm，则AB=_cm。 6. 已知一个三角形三边之比为4：5：6，另一个和它相似的三角形的最短边长为6cm，则其余两边之和为_cm。 二. 选择题 7. 如果线段a=4，b=16，c=8，那么a,b,c的第四比例项d为（ ） A. 8B. 16C. 24D. 32 8. 下列命题：（1）如果相似，一定可以写成；（2）有一个锐角对应相等的两直
12、角三角形一定相似；（3）两个相似三角形的面积比为1：9，则它们的周长比为1：3；（4）两个位似图形一定相似，其中错误的命题的序号是（ ） A. （1）B. （2）C. （3）D. （4） 9. 如图，某铁道口安全栏杆的短臂长1m，长臂长15m，当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高（ ） A. 30mB. 7.5mC. 14.5mD. 15.5m 10. 如果点C是线段AB的黄金分割点，AC=2cm，那么AB的长为（ ） A. 4cmB. C. D. 三. 解答题 11. 已知：点O和（如图）， （1）以点O为位似中心，画的位似图形，使与在点O同一侧，且它们的位似比为3：1； （2）以点O为位似中心，画的位似图形，使在点O的两侧，且它们的位似比为3：1； （3）考察有什么位置关系。 12. 如图，在中，DE/BC，EF/AB，若，求。 学生收获你这次课一定有不少收获吧，请写下来： 教学反思本次课后作业 11
