1、第第28讲讲 余弦定理及其应用余弦定理及其应用 江苏省南通中学江苏省南通中学主要内容主要内容一、聚焦重点一、聚焦重点 利用余弦定理解三角形利用余弦定理解三角形二、廓清疑点二、廓清疑点 如何如何利用余弦定理判断三角形的形状利用余弦定理判断三角形的形状三、破解难点三、破解难点 求三角函数值与证明三角函数恒等式求三角函数值与证明三角函数恒等式聚焦重点：聚焦重点：利用余弦定理解三角形利用余弦定理解三角形ABCabc基础知识基础知识已知两边及其夹角，求第三边已知两边及其夹角，求第三边已知三边求角已知三边求角 边边角角问题研究问题研究如何利用余弦定理解三角形？如何利用余弦定理解三角形？经典例题经典例题1
2、思路分析思路分析 太烦琐！太烦琐！求解过程求解过程易错易错思路分析思路分析 思路思路1：利用正弦定理利用正弦定理思路思路2：利用余弦定理利用余弦定理求解过程求解过程注意解的注意解的个数个数求解过程求解过程方程思想，方程思想，知三求一知三求一为什么要说明为什么要说明x是正数？是正数？回顾反思回顾反思方法比较方法比较思路思路1：依据条件特征，选用正弦定理，依据条件特征，选用正弦定理，体现通法，但计算繁琐体现通法，但计算繁琐思路思路2：依据条件与目标的联系，选用余依据条件与目标的联系，选用余 弦定理，体现方程思想弦定理，体现方程思想思维瑕点：思维瑕点：忽略三角形内的角的范围忽略三角形内的角的范围思路
3、分析思路分析 思路思路1：由和角公式展开，先求由和角公式展开，先求A、B，再求，再求C没有必要！没有必要！思路思路2：应用正弦定理应用正弦定理不妥！不妥！思路思路3：应用余弦定理应用余弦定理 求解过程求解过程 注意三角形中注意三角形中的角的关系的角的关系 整体整体代换代换回顾反思回顾反思思维误区：思维误区：孤立看条件，盲目套用公式孤立看条件，盲目套用公式廓清疑点：廓清疑点：判断三角形的形状判断三角形的形状问题研究问题研究如何利用余弦定理判断三角形的形状？如何利用余弦定理判断三角形的形状？基础知识基础知识经典例题经典例题2 思路分析思路分析求解过程求解过程易错点易错点关键：关键：边化角边化角求解
4、过程求解过程关键：关键：角化边角化边易漏解易漏解回顾反思回顾反思（1）解题策略）解题策略：统一边角关系统一边角关系.（2）思想方法思想方法：化归思想化归思想.（3）思维瑕点）思维瑕点：方程漏解方程漏解.经典例题经典例题3 思路分析思路分析 思路思路1：利用余弦定理利用余弦定理,证明三个角的余弦证明三个角的余弦 值都大于值都大于0没有必要！没有必要！思路思路2：不妨设不妨设C为最大角为最大角,证明角证明角C的余弦的余弦 值大于值大于0求解过程求解过程 回顾反思回顾反思证明三条线段能构成锐角三角形，需证明三条线段能构成锐角三角形，需考虑两个方面考虑两个方面.（1）这三条线段能够成三角形这三条线段能
5、够成三角形.（2）最长边所对的角是锐角）最长边所对的角是锐角.破解难点：破解难点：求三角函数值与证明三求三角函数值与证明三角恒等式角恒等式问题研究问题研究 如何处理三角形中的三角函数的求值如何处理三角形中的三角函数的求值与证明问题与证明问题基础知识基础知识经典例题经典例题4思路分析思路分析只含正弦函数只含正弦函数的齐次分式的齐次分式求解过程求解过程解（思路解（思路1）在在ABC中，中，求解过程求解过程解（思路解（思路2）三角恒等变三角恒等变换是基础换是基础回顾反思回顾反思（1）解题策略）解题策略：边角互化，统一形式边角互化，统一形式.（2）思想方法：思想方法：化归转化化归转化，整体代换，整体代
6、换.（3）方法比较）方法比较：思路思路1、思路、思路2都反映了三角形中的求都反映了三角形中的求 值问题，是通性通法值问题，是通性通法.从边的角度处理要注意整体思想，从边的角度处理要注意整体思想，从角的角度处理则利用三角变换从角的角度处理则利用三角变换 例例5 在在ABC中，角中，角A、B、C的对边分别为的对边分别为a、b、c,求证：求证：a22abcos(60 C)=c22bccos(60 A)经典例题经典例题5思路分析思路分析 例例5 在在ABC中，角中，角A、B、C的对边分别为的对边分别为a、b、c,求证：求证：a22abcos(60 C)=c22bccos(60 A)求解过程求解过程证法
7、证法1（角化边）（角化边）根据三角形根据三角形的面积公式的面积公式消项消项注意分析法注意分析法证明的格式证明的格式求解过程求解过程证法证法2（边化角）（边化角）变形变形方向方向思路分析思路分析CBADabbbc 例例5 在在ABC中，角中，角A、B、C的对边分别为的对边分别为a、b、c,求证：求证：a22abcos(60 C)=c22bccos(60 A)求解过程求解过程证法证法3（构造图形）（构造图形）CBADabbbc回顾反思回顾反思（1）解题策略）解题策略：边角互化，统一形式边角互化，统一形式.（2）思想方法）思想方法：化归转化化归转化，数形结合，数形结合.（3）方法比较）方法比较 思路
8、思路1、思路、思路2的分析法证明要注意书写格式的分析法证明要注意书写格式.思路思路3 构造图形，数形结合，方法巧妙，但构造图形，数形结合，方法巧妙，但 有局限性有局限性总结提炼总结提炼一、聚焦重点一、聚焦重点 利用余弦定理解三角形利用余弦定理解三角形二、廓清疑点二、廓清疑点 利用余弦定理判断三角形的形状利用余弦定理判断三角形的形状三、破解难点三、破解难点 求三角函数值与证明三角函数恒等式求三角函数值与证明三角函数恒等式知识内容知识内容总结提炼总结提炼思想与方法思想与方法（1）化归转化，方程思想，数形结合）化归转化，方程思想，数形结合（2）利用正、余弦定理实现边角关系）利用正、余弦定理实现边角关系 的相互转化是解题关键的相互转化是解题关键.再见再见同步练习同步练习参考答案参考答案
