1、2.2.32.2.3两条直线的位置关系两条直线的位置关系第二章第二章2021内容索引0102课前篇课前篇 自主预习自主预习课堂篇课堂篇 探究学习探究学习核心素养思维脉络1.会求两条相交直线的交点坐标.(数学运算)2.会根据直线的斜率和截距判断两条直线相交、平行、重合.(逻辑推理)3.理解通过方程组给出的两条直线相交、平行、重合的条件.(逻辑推理)4.会利用法向量推导出两条直线垂直的条件:A1A2+B1B2=0或k1k2=-1,并能熟练地运用这两个条件解决有关垂直问题.(逻辑推理、数学运算)课前篇课前篇 自主预习自主预习激趣诱思过山车是一项富有刺激性的娱乐工具.实际上,过山车的运动包含了许多数学
2、和物理学原理.过山车的两条铁轨是永远平行的轨道,它们靠着一根根巨大的柱子支撑,为了使设备安全,柱子之间还有一些小的钢筋连接,这些钢筋有的互相平行,有的互相垂直,你能感受到过山车中的平行和垂直吗?那么两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢?知识点拨1.两条直线的交点几何元素及关系代数表示点AA(a,b)直线l1,l2l1:A1x+B1y+C1=0l2:A2x+B2y+C2=0点A在直线l1上A1a+B1b+C1=0直线l1与l2的交点是A 要点笔记因为平面直角坐标系中,一个点在直线上的充要条件是这个点的坐标能满足直线的方程,所以为了考察l1与l2之间的位置关系,只要看它们的方程组成的方程组的解的情况
3、即可.微判断若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线相交.()答案微练习直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点坐标为()A.(-4,-3)B.(4,3)C.(-4,3)D.(3,4)答案C 2.两条直线的相交、平行与重合(1)直线方程在斜截式形式下两条直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2的位置关系可用两直线的斜率和在y轴上的截距来进行判断,具体判断方法如下表所示.位置关系平行重合相交图示k,b满足条件 k1=k2且b1b2k1=k2且b1=b2k1k2(2)直线方程在一般式形式下两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0的位置关系,可以用方程
4、组的解的情况进行判断,也可用直线方程的系数进行判断,方法如下表所示.方程组的解 位置关系 交点个数代数条件无解平行无交点或有唯一解相交有一个交点A1B2A2B1有无数个解重合无数个交点存在实数,使得微判断(1)若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行.()(2)若两条直线平行,则它们的斜率相等.()(3)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合,则这两条直线平行.()答案(1)(2)(3)微练习(1)下列直线与直线x-y-1=0平行的是()A.x+y-1=0B.x-y+1=0C.ax-ay-a=0(a0)D.x-y+1=0或ax-ay-a=0(a0)答案B(2)若直线2x+y-1=0与y=ax+3
5、相交,则a的取值范围为.答案(-,-2)(-2,+)微思考应用斜率判断两条直线的位置关系时应注意什么?提示(1)当k1k2时,l1与l2相交.当两直线斜率都不存在时,两直线平行或重合.当一条直线斜率存在而另一条直线斜率不存在时,两直线相交.(2)当k1=k2时,不能判断两直线平行,还可能重合.3.两条直线的垂直(1)设直线l1,l2的方程分别为y=k1x+b1,y=k2x+b2,则l1l2k1k2=-1.(2)设直线l1,l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0(A1,B1不同时为零,A2,B2不同时为零),则l1l2A1A2+B1B2=0.名师点析(1)过点(x0,
6、y0)且与Ax+By+C=0平行的直线可表示为A(x-x0)+B(y-y0)=0;(2)过点(x0,y0)且与Ax+By+C=0垂直的直线可表示为B(x-x0)-A(y-y0)=0;(3)与直线y=kx+b(k0)垂直的所有直线可以表示为(4)与直线Ax+By+C=0垂直的所有直线可以表示为Bx-Ay+m=0;微判断若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则这两条直线垂直.()答案微练习(1)已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a等于()A.2B.1C.0D.-1答案D解析两条直线的斜率分别为a和a+2,且相互垂直,即a(a+2)=-1,解得a=-1.(
7、2)若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直,则a等于.课堂篇课堂篇 探究学习探究学习探究一探究一判断两条直判断两条直线的位置关系的位置关系例1判断下列各组直线的位置关系,若相交,求出交点的坐标.(1)l1:4x+3y-2=0与l2:x+2y+2=0;分析判断两直线位置关系的解法有三种:一是根据方程组的解的个数判定;二是根据直线方程一般式的系数间的关系判定;三是化成斜截式方程判定.2-3得5x-10=0,所以x=2.将x=2代入得y=-2,所以两直线相交,交点坐标为(2,-2).由得x=3y,代入得y=y+1,即0=1不成立,所以方程组无解,所以两直线平行.(方法二)(1)因为A1=
8、4,B1=3,C1=-2,A2=1,B2=2,C2=2,所以A1B2-A2B1=42-13=50,所以两直线相交.反思感悟1.判断两条直线平行:(1)如果斜率都存在,那么需要判断其斜率相等,即k1=k2.两条直线斜率相等,则两条直线可能平行也可能重合,还需要进一步判断截距不相等,即b1b2.如果两条直线的斜率不存在,两条直线的方程为x=a1,x=a2,只需a1a2即可;(2)利用A1B2=A2B1且B1C2B2C1或A2C1A1C2判断.2.判断两条直线垂直:(1)如果斜率都存在,那么只需k1k2=-1,如果一条直线的斜率不存在,那么另一条直线的斜率必等于零;(2)利用A1A2+B1B2=0判
9、断.3.根据方程组解的个数判断两直线位置关系,当x,y的系数含参数时不好用;利用方程的系数间的关系判定难记忆;化成斜截式易操作.变式训练1已知点A(1,2),B(0,-4),C(-2,6),D(0,18),试判断直线AB和直线CD的位置关系.又因为B(0,-4),D(0,18),所以直线AB的方程为y=6x-4,直线CD的方程为y=6x+18.因为两条直线的斜率相等,在y轴上的截距不相等,所以直线AB和直线CD平行.探究二探究二利用两条直利用两条直线的位置关系确定参数的位置关系确定参数例2(1)直线l1:(m+2)x+(m2-3m)y+4=0,l2:2x+4(m-3)y-1=0,如果l1l2,
10、求m的值;(2)直线l1:ax+(1-a)y=3与l2:(a-1)x+(2a+3)y=2垂直,求a的值.分析既可以用直线的一般式方程形式判断,也可以用斜率的关系求解,但需考虑斜率不存在的情况.反思感悟利用两直线的位置关系求参数的取值时,提倡直接根据两直线平行、相交或垂直的系数整式条件列方程或不等关系,这样不易丢解或增解;若用比例式求解,一定要对特殊情况单独讨论.本例中方法一体现了分类讨论的条理性,方法二体现了适用两条直线方程的所有情况,具有统一性.变式训练2(1)已知直线l1:ax+2y+6=0与l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行,则实数a的取值是()A.-1或2B.0或1C.-1D.2
11、(2)若直线l1:(2a+5)x+(a-2)y+4=0与直线l2:(2-a)x+(a+3)y-1=0垂直,则a的取值是()A.2B.-2C.2或-2D.2或0或-2(3)已知ABC的顶点为A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若ABC为直角三角形,求m的值.(1)答案C解析(1)l1l2,a(a-1)-2=0,a=-1或2.当a=2时,l1与l2重合,a=-1.(2)答案C解析由题意,得(2a+5)(2-a)+(a-2)(a+3)=0,解得a=2.探究三探究三求与已知直求与已知直线平行或垂直的直平行或垂直的直线方程方程例3已知点A(2,2)和直线l:3x+4y-20=0.求:(1)过点A
12、和直线l平行的直线方程;(2)过点A和直线l垂直的直线方程.分析本题可根据两条直线平行与垂直时斜率间的关系,求出所求直线的斜率后用点斜式求解,也可利用直线系方程来求解.解(1)(方法一)利用直线方程的点斜式求解.(方法二)利用直线系方程求解.设过点A且平行于直线l的直线l1的方程为3x+4y+m=0(m-20).由点A(2,2)在直线l1上,得32+42+m=0,解得m=-14.故直线l1的方程为3x+4y-14=0.即4x-3y-2=0.(方法二)设过点A且垂直于直线l的直线l2的方程为4x-3y+m=0.因为l2经过点A(2,2),所以42-32+m=0,解得m=-2.故l2的方程为4x-
13、3y-2=0.反思感悟求直线方程的巧妙设法(1)求与直线y=kx+b平行的直线的方程时,根据两直线平行的条件可设为y=kx+m(mb),然后通过待定系数法,求参数m的值.(2)求与直线Ax+By+C=0平行的直线方程时,可设方程为Ax+By+m=0(mC),代入已知条件求出m即可.(3)求与直线y=kx+b(k0)垂直的直线方程时,根据两直线垂直的条件可设为y=-x+m(k0),然后通过待定系数法,求参数m的值.(4)求与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)垂直的直线时,可巧设方程为Bx-Ay+m=0(A,B不同时为零),然后用待定系数法,求出m.变式训练3(1)已知直线l过点(1,1)
14、且平行于直线4x+y-8=0,则直线l的方程是()A.x-4y+3=0B.x-4y-5=0C.4x+y+5=0 D.4x+y-5=0(2)以A(1,3),B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是()A.3x-y-8=0B.3x+y+4=0C.3x-y+6=0D.3x+y+2=0(3)求过直线l1:3x+4y-2=0与直线l2:2x+y+2=0的交点且平行于直线5x+4y=0的直线方程.(1)答案D解析设与直线4x+y-8=0平行的直线方程为4x+y+c=0(c-8),直线4x+y+c=0过(1,1),4+1+c=0,即c=-5,则直线方程为4x+y-5=0,故选D.(2)答案B4-得5x+
15、10=0,解得x=-2.将x=-2代入得2(-2)+y+2=0,所以y=2.所以两直线的交点坐标为(-2,2).设与直线5x+4y=0平行的直线方程为5x+4y+c=0(c0),代入(-2,2)得5(-2)+42+c=0,所以c=2.故所求直线方程为5x+4y+2=0.探究四探究四平行与垂直的平行与垂直的综合合应用用例4如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t0.试判断四边形OPQR的形状.分析利用两直线的斜率关系,来研究平行或垂直,对于四边形而言,可以先选取一组对边研究,再选取一组邻边
16、研究,最后下结论.要点笔记通过对本例题的探究可以看出,研究直线平行或垂直的方法除了前面向量的方法还可以利用直线的斜率进行,利用斜率判断时要注意先对斜率的存在与否进行检验,其次要注意几何图形的内在联系,从而判断几何形状.延伸探究将例4中的四个点改为“A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)”,顺次连接A,B,C,D四点,试判断四边形ABCD的形状.解由题意A,B,C,D四点在平面直角坐标系内的位置如图.所以ABAD,故四边形ABCD为直角梯形.变式训练4已知四边形ABCD的顶点B(6,-1),C(5,2),D(1,2).若四边形ABCD为直角梯形,求A点坐标.(A,B,C,D按
17、逆时针方向排列)解(1)若A=D=90,如图,由已知ABDC,ADAB,而kCD=0,故A(1,-1).图图素养形成素养形成对称问题的探究对称问题的探究案例(1)求A(3,2)关于B(-3,4)的对称点C的坐标;(2)求直线3x-y-4=0关于P(2,-1)对称的直线l的方程;(3)求A(2,2)关于直线2x-4y+9=0的对称点B的坐标;(4)求直线a:2x+y-4=0关于直线l:3x+4y-1=0对称的直线b的方程.分析(1)利用中点坐标公式列方程求解;(2)根据所求直线上任意一点关于P(2,-1)的对称点的坐标均满足已知直线方程来求解;(3)利用中点坐标公式及垂直关系联合列式求解;(4)
18、将直线关于直线的对称转化为点关于直线的对称来解决.【规范答题】解(1)设C(x,y),由中点坐标公式得故所求的对称点的坐标为C(-9,6).(2)取直线l上任一点(x,y),则它关于P(2,-1)的对称点(4-x,-2-y)在直线3x-y-4=0上.所以3(4-x)-(-2-y)-4=0.所以3x-y-10=0.所以所求直线l的方程为3x-y-10=0.(3)设B(a,b)是A(2,2)关于直线2x-4y+9=0的对称点,根据直线AB与已知直线垂直,且线段AB的中点在已知直线2x-4y+9=0上,则有所以所求的对称点B的坐标为(1,4).归纳提升(1)对于点关于点的对称,只需运用中点坐标公式即
19、可.(2)对于直线关于点的对称,根据所求直线与已知直线平行可先设出方程,然后利用已知直线上任取一点的对称点一定在所求直线上即可求出方程.结论为l:Ax+By+C=0关于点P(x0,y0)对称的直线方程是A(2x0-x)+B(2y0-y)+C=0.(3)对于点关于直线的对称,一般按下列步骤处理.若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则线段P1P2的中点在对称轴l上,而且连接P1,P2的直线垂直于对称轴l.(4)求一条直线关于另一条直线对称的直线方程,一般可考虑将直线关于直线的对称转化为点关于直线的对称问题来解决.当堂当堂检测1.直线l1与l2为两条不重合
20、的直线,则下列命题:若l1l2,则斜率k1=k2;若斜率k1=k2,则l1l2;若倾斜角1=2,则l1l2;若l1l2,则倾斜角1=2.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4答案C解析错,正确.2.若点A(3,-4)与点A(5,8)关于直线l对称,则直线l的方程是()A.x+6y+16=0 B.6x-y-22=0C.6x+y+16=0 D.x+6y-16=0答案D3.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是()A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0答案A 解析因为所求直线与直线x-2y-2=0平行,所以所求直线斜率k=,排除C,D.又直线过点(1,0),排除B.4.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0垂直,则实数m=.答案1 5.(1)求与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线l的方程;(2)求过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.即3x+4y-11=0.方法二:设与直线3x+4y+1=0平行的直线的方程为3x+4y+m=0(m1).又因为l经过点(1,2),所以31+42+m=0,即m=-11.所以所求直线l的方程为3x+4y-11=0.本 课 结 束
