1、1.2 任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数整体设计教学分析 学生已经学过锐角三角函数,它是用直角三角形边长的比来刻画的.锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系.任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,它与“解三角形”已经没有什么关系了.因此,与学习其他基本初等函数一样,学习任意角的三角函数,关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质,并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律,解决简单的实际问题. 本节以锐角三角函数为引子,利用单位圆上点的坐标定义三角函数.由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系,使得我们在讨论三角函数的问题时,对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问
2、题等,都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发.三角函数的研究中,数形结合思想起着非常重要的作用. 利用信息技术,可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系,并在角的变化过程中,将这种联系直观地体现出来.所以,信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质.激发学生对数学研究的热情,培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神;通过学生之间、师生之间的交流合作,实现共同探究、教学相长的教学情境.三维目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,理解三角函数是以实数为自变量的函数,并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域,理解并掌握正弦、余
3、弦、正切函数在各象限内的符号. 2.通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同角的同一三角函数值相等. 3.正确利用与单位圆有关的有向线段,将任意角的正弦、余弦、正切函数值表示出来,即用正弦线、余弦线、正切线表示出来. 4.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题.重点难点教学重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义,终边相同的角的同一三角函数值相等.教学难点:用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数;三角函数符号;利用与单位圆有关的有向线段,将任意角的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课 思路1.我们把角的范围推广了,锐角三角函数的定义还能适
4、用吗?譬如三角形内角和为180,那么sin200的值还是三角形中200的对边与斜边的比值吗?类比角的概念的推广,怎样修正三角函数定义?由此展开新课.另外用“单位圆定义法”单刀直入给出定义,然后再在适当时机联系锐角三角函数,这也是一种不错的选择. 思路2.教师先让学生看教科书上的“思考”,通过这个“思考”提出用直角坐标系中角的终边上点的坐标表示锐角三角函数的问题,以引导学生回忆锐角三角函数概念,体会引进象限角概念后,用角的终边上点的坐标比表示锐角三角函数的意义,从而为定义任意角的三角函数奠定基础.教科书在定义任意角的三角函数之前,作了如下铺垫:直角三角形为载体的锐角三角函数象限角为载体的锐角三角
5、函数单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数.推进新课新知探究提出问题 问题:在初中时我们学了锐角三角函数,你能回忆一下锐角三角函数的定义吗? 问题:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗? 活动:教师提出问题,学生口头回答,突出它是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三角函数,教师并对回答正确的学生进行表扬,对回答不出来的同学给予提示和鼓励.然后教师在黑板上画出直角三角形. 教师提示:前面我们对角的概念已经进行了扩充,并且学习了弧度制,知道了角的集合与实数集是一一对应的,在此基础上,我们来研究任意角的三角函数.教师在直角三角形所在的平面上建立适当的坐标系,画出角的终边;学生给出相
6、应点的坐标,并用坐标表示锐角三角函数.图1 如图1,设锐角的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离0.过P作x轴的垂线,垂足为M,则线段OM的长度为a,线段MP的长度为b.根据初中学过的三角函数定义,我们有sin=,cos=,tan=.讨论结果:锐角三角函数是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三角函数.sin=,cos=,tan=.提出问题 问题:如果改变终边上的点的位置,这三个比值会改变吗?为什么? 问题:你利用已学知识能否通过取适当点而将上述三角函数的表达式简化? 活动:教师先让学生们相互讨论,并让他们动手画画图形,
7、看看从图形中是否能找出某种关系来.然后提问学生,由学生回答教师的问题,教师再引导学生选几个点,计算一下对应的比值,获得具体认识,并由相似三角形的性质来证明.最后可以发现,由相似三角形的知识,对于确定的角,这三个比值不会随点P在的终边上的位置的改变而改变. 过图形教师引导学生进行对比,学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使表达式简化. 此时sin=b,cos=a,tan=. 在引进弧度制时我们看到,在半径为单位长度的圆中,角的弧度数的绝对值等于圆心角所对的弧长(符号由角的终边的旋转方向决定).在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.这样,上述P点就是的终边与单位
8、圆的交点.锐角三角函数可以用单位圆上点的坐标表示. 同样地,我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数.图2 如图2所示,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么: (1)y叫做的正弦,记作sin,即sin=y; (2)x叫做的余弦,记作cos,即cos=x; (3)叫做的正切,记作tan,即tan=(x0). 所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数. 教师出示定义后,可让学生解释一下定义中的对应关系.教师应指出任意角的正弦、余弦、正切的定义是本节教学的重点.用单位圆上点的坐标表示任意角的三角函数,与学生在锐角
9、三角函数学习中建立的已有经验有一定的距离,与学生在数学必修一的学习中建立起来的经验也有一定的距离.学生熟悉的函数y=f(x)是实数到实数的一一对应,而这里给出的三角函数首先是实数(弧度数)到点的坐标的对应,然后才是实数(弧度数)到实数(横坐标或纵坐标)的对应,这就给学生的理解造成一定的困难.教师在教学中可以在学生对锐角三角函数已有的几何直观认识的基础上,先建立直角三角形的锐角与第一象限角的联系,在直角坐标系中考查锐角三角函数,得出用角的终边上点的坐标(比值)表示锐角三角函数的结论,然后再“特殊化”引出用单位圆上点的坐标表示锐角三角函数的结论.在此基础上,再定义任意角的三角函数. 在导学过程中教
10、师应点拨学生注意,尽管我们从锐角三角函数出发来引导学生学习任意角的三角函数,但任意角的三角函数与锐角三角函数之间并没有一般与特殊的关系.教师在教学中应当使学生体会到,用单位圆上点的坐标表示锐角三角函数,不仅简单、方便,而且反映本质. 教师可以引导学生通过分析三角函数定义中的自变量是什么,对应关系有什么特点,函数值是什么.特别注意既表示一个角,又是一个实数(弧度数).“它的终边与单位圆交于点P(x,y)”包含两个对应关系.从而可以把三角函数看成是自变量为实数的函数.值得注意的是:(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.(2)sin不是sin与的乘积,而是一
11、个比值;三角函数的记号是一个整体,离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的.讨论结果:这三个比值与终边上的点的位置无关,根据初中学过的三角函数定义,有sin=,cos=,tan=. 由相似三角形的知识,对于确定的角,这三个比值不会随点P在的终边上的位置的改变而改变.能.提出问题 问题:学习了任意角,并利用单位圆表示了任意角的三角函数,引入一个新的函数,我们可以对哪些问题进行讨论? 问题:根据三角函数的定义,正弦、余弦、正切的定义域、值域是怎样的? 活动:教师引导学生结合在数学必修一中的有关函数的问题,让学生回顾所学知识,并总结回答老师的问题,教师对学生总结的东西进行提问,并对回答正确的学
12、生进行表扬,回答不正确或者不全面的学生给予提示和补充.教师让学生完成教科书上的“探究”,教师提问或让学生上黑板板书. 按照这样的思路,我们一起来探究如下问题:请根据任意角的三角函数定义,先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入下表,再将这三种函数的值在各象限的符号填入图3中的括号内.三角函数定义域sincostan图3 教师要注意引导学生从定义出发,利用坐标平面内点的坐标的特征得定义域、函数值的符号等结论.对于正弦函数sin=y,因为y恒有意义,即取任意实数,y恒有意义,也就是说sin恒有意义,所以正弦函数的定义域是R;类似地可写出余弦函数的定义域;对于正切函数tan=,因为x=0时,无
13、意义,即tan无意义,又当且仅当角的终边落在纵轴上时,才有x=0,所以当的终边不在纵轴上时,恒有意义,即tan恒有意义,所以正切函数的定义域是 +k(kZ).(由学生填写下表)三角函数定义域sinRcosRtan|+k,kZ 三角函数的定义告诉我们,各三角函数在各象限内的符号,取决于x,y的符号,当点P在第一、二象限时,纵坐标y0,点P在第三、四象限时,纵坐标y0,那么:图4 叫做的正弦,即sin=; 叫做的余弦,即cos=; 叫做的正切,即tan=(x0). 这样定义三角函数,突出了点P的任意性,说明任意角的三角函数值只与有关,而与点P在角的终边上的位置无关,教师要让学生充分思考讨论后深刻理
14、解这一点.解:由已知,可得OP0=5.图5如图5,设角的终边与单位圆交于点P(x,y).分别过点P、P0作x轴的垂线MP、M0P0,则|M0P 0|=4,|MP|=-y,|OM0|=3，|OM|=-x,OMPOM0P0,于是sin=y=;cos=x=;tan=. 点评:本例是已知角终边上一点的坐标,求角的三角函数值问题.可以先根据三角形相似将这一问题化归到单位圆上,再由定义得解.变式训练 求的正弦、余弦和正切值.图6解:在平面直角坐标系中,作AOB=,如图6.易知AOB的终边与单位圆的交点坐标为(,),所以sin=,cos=,tan=.例2 求证:当且仅当下列不等式组成立时,角为第三象限角.
15、活动:教师引导学生讨论验证在不同的象限内各个三角函数值的符号有什么样的关系,提示学生从三角函数的定义出发来探究其内在的关系.可以知道:三角函数的定义告诉我们,各三角函数在各象限内的符号,取决于x,y的符号,当点P在第一、二象限时,纵坐标y0,点P在第三、四象限时,纵坐标y0,所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的,对于第三、四象限角是负的;同样地,余弦函数在第一、四象限是正的,在第二、三象限是负的;正切函数在第一、三象限是正的,在第二、四象限是负的. 证明:我们证明如果式都成立,那么为第三象限角. 因为sin0成立,所以角的终边可能位于第一或第三象限. 因为式都成立,所以角的终边只能位于第三象
16、限. 于是角为第三象限角. 反过来请同学们自己证明. 点评:本例的目的是认识不同位置的角对应的三角函数值的符号,其条件以一个不等式出现,在教学时要让学生把问题的条件、结论弄清楚,然后再给出证明.这一问题的解决可以训练学生的数学语言表达能力.变式训练 (2007北京高考)已知costan0时,r=,是第四象限角,sin=,sec=,10sin+3sec=10+3=-3+3=0.(2)当k0时,P(k,-3k)是第四象限内的点,角的终边在第四象限;当k0时,P(k,-3k)是第二象限内的点,角的终边在第二象限内,这与角的终边在y=-3x上是一致的.变式训练设f(x)=sinx,求f(1)+f(2)
17、+f(3)+f(72)的值.解:f(1)=sin=,f(2)=sin=,f(3)=sin=0,f(4)=sin=,f(5)=sin=,f(6)=sin2=0,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0.而f(7)=sin=sin,f(8)=sin=sin,f(12)=sin=sin2,f(7)+f(8)+f(9)+f(10)+f(11)+f(12)=0.同理f(13)+f(14)+f(15)+f(16)+f(17)+f(18)=0,f(67)+f(68)+f(72)=0,f(1)+f(2)+f(3)+f(72)=0. 求函数y=+tan的定义域. 活动:让学生先回顾求函数的
18、定义域需要注意哪些特点,并让学生归纳出一些常见函数有意义的要求,根据函数有意义的特征来求自变量的范围.对于三角函数这种特殊的函数在解三角不等式时要结合三角函数的定义进行.求含正切函数的组合型三角函数的定义域时,正切函数本身的定义域往往被忽略,教师提醒学生应引起注意这种情况.同时,函数的定义域是一个集合,所以结论要用集合形式表示. 解:要使函数y=+tan有意义,则sin0且k+(kZ). 由正弦函数的定义知道,sin0就是角的终边与单位圆的交点的纵坐标非负. 角的终边在第一、二象限或在x轴上或在y轴非负半轴上,即2k+2k(kZ). 函数的定义域是2k+2k或+2k0,OM与x轴同向,规定此时
19、OM具有正值x;如果x0,把MP看作与y轴同向,规定此时MP具有正值y;如果y1,sin+cos1.例2 在单位圆中画出适合下列条件的角的终边或终边所在的范围,并由此写出角的集合:(1)sin=;(2)sin. 活动:引导学生画出单位圆,对于(1),可设角的终边与单位圆交于A(x,y),则sin=y,所以要作出满足sin=的终边,只要在单位圆上找出纵坐标为的点A,则OA即为角的终边;对于(2),可先作出满足sin=的角的终边,然后根据已知条件确定角的范围.图8 解:(1)作直线y=交单位圆于A与B两点,连结OA,OB,则OA与OB为角的终边,如图8所示. 故满足条件的角的集合为|=2k+或=2
20、k+,kZ. (2)作直线y=交单位圆于A与B两点,连结OA,OB,则OA与OB围成的区域(如图中的阴影部分)即为角的终边所在的范围. 故满足条件的角的集合为|2k+2k+,kZ. 点评:在解简单的特殊值(如,等)的等式或不等式时,应首先在单位圆内找到对应的终边(作纵坐标为特殊值的直线与单位圆相交,连结交点与坐标原点作射线),一般情况下,用(0,2)内的角表示它,然后画出满足原等式或不等式的区域,用集合表示出来.变式训练 已知sin,求角的集合. 解:作直线y=交单位圆于点P,P,则sinPOx=sinPOx=,在0,2)内POx=,PPx=. 满足条件的集合为2k+2k+,kZ.思路2例1
21、求下列函数的定义域:(1)y=logsinx (2cosx+1);(2)y=lg(3-4sin2x). 活动:先引导学生求出x所满足的条件,这点要提醒学生注意,研究函数必须在自变量允许的范围内研究,否则无意义.再利用三角函数线画出满足条件的角x的终边范围.求解时,可根据各种约束条件,利用三角函数线画出角x满足条件的终边范围,写出适合条件的x的取值集合. 解:(1)由题意,得则(kZ).函数的定义域为x|2kx2k+或2k+x0,sin2x.sinx1;(2)sin2+cos2=1.图12证明:如图12,记角与单位圆的交点为P,过P作PMx轴于M,则sin=MP,cos=OM.(1)在RtOMP
22、中,MP+OMOP,即sin+cos1.(2)在RtOMP中,MP2+OM2=OP2,即sin2+cos2=1.2.求下列函数的定义域:(1)y=;(2)y=.答案:(1)xk-,k+,kZ.(2)x+2k,+2k)(+2k,+2k)(+2k,+2k)(+2k, +2k,kZ.设计感想 对于三角函数线,开始时学生可能不是很理解,教师应该充分发挥好图象的直观作用,让学生通过图形来感知、了解三角函数线的定义.在学生理解了正弦线、余弦线、正切线的定义后,教师应引导学生会利用三角函数线来发现、总结、归纳正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.以便为以后更好地学习三角函数的图象和性质打下良好的基础.教师要让学生对三角函数线了解即可,要让学生利用任意角的三角函数线来感知对应的三角函数图象的变化趋势,不要再向深处挖掘,因为三角函数线能解决的问题都可以用三角函数的图象来解决.教师在教学中要搞好师生互动,让学生自己动脑、动手,多启发学生善于发现问题、提出问题、解决问题的能力,让学生学会独立思考和归纳总结知识的能力.17
