1、正弦函数、余弦函数的性质（第二课时）教学设计 教学目标经历利用函数图象研究函数性质的过程，掌握正弦函数、余弦函数的性质 教学重难点教学重点：正弦函数、余弦函数的单调性、最值等性质教学难点：正弦函数、余弦函数单调区间的求法 课前准备PPT课件资源引用： 【知识点解析】与正、余弦函数有关的单调区间的求解技巧 【知识点解析】正弦函数、余弦函数的单调性和最值 教学过程（一）新知探究问题1：对于一般的函数，我们一般要研究其哪些性质？观察正弦函数、余弦函数的图象，完成下面的表格正弦函数余弦函数定义域值域图象周期奇偶性对称轴对称中心单调递增区间单调递减区间最大值点最小值点预设的师生活动：教师布置该任务后，学
2、生通过观察图象，进行直观想象，完成上述表格，之后互相交流讨论，进行修改完善，并进行展示交流注意，在此环节，只是利用图象得出结论，下一环节才从代数的角度分析在完成表格时，因为三角函数的周期性和图象的丰富的对称性，学生在猜想并写出单调区间、最值点时可能会产生遗漏，在写出对称轴、对称中心时可能会有疑惑对此，在学生展示交流过程中，教师可以通过如下追问促进学生的思考，帮助他们理解，并借助信息技术，引导学生进行直观想象追问1：如何理解点（，0）也是正弦函数ysin x的对称中心？如何理解直线x2是正弦函数ysin x的对称轴？追问2：逐一列举正弦函数ysin x的单调递增区间，它们与区间2，2之间有怎样的
3、关系？预设答案：正弦函数余弦函数定义域RR值域-1，1-1，1图象周期22奇偶性奇函数偶函数对称轴x=2+k，kZx=k，kZ对称中心k，0，kZ2+k，0，kZ单调递增区间2+2k，2+2k，kZ(2k1)，2k，kZ单调递减区间2+2k，32+2k，kZ2k，(2k+1)，kZ最大值点x=2+2k，kZx=2k，kZ最小值点x=2+2k，kZx=(2k1)，kZ设计意图：按照已有的研究方案，落实函数研究的方法和程序培养学生运用类比、对比的方法，并根据图象进行合理猜想，直观感知研究对象的意识和能力问题2：教科书分别选择了哪个区间研究正弦函数、余弦函数的单调性？为什么？预设的师生活动：教师布置
4、任务后，学生阅读教科书，回答问题预设答案：正弦、余弦函数选择的区间分别为2，32、，这两个区间距离原点最近，我们相对更熟悉一点设计意图：引导学生阅读教科书，重视教科书，在直观感知的基础上系统、规范地认知函数的性质，并获得精准规范的表达，培养思维的严谨性例1 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么（1）ycos x+1，xR；（2）y3sin 2x，xR追问：如何转化为你熟悉的函数求解？师生活动：学生先独立完成，之后就解题思路和结果进行展示交流，教师及时予以明确换元法及其重要作用预设答案：解：容易知道，这两个函数都有最大值、最
5、小值（1）使函数ycos x+1，xR取得最大值的x的集合 ，就是使函数ycos x，xR取得最大值的x的集合xx2k，kZ；使函数ycos x+1，xR取得最小值的x的集合 ，就是使函数ycos x，xR取得最小值的x的集合xx2k+，kZ；函数ycos x+1，xR的最大值是112；最小值是110（2）令z2x，使函数y3sin 2x，xR取得最大值的x的集合，就是使ysin z，zR取得最小值的z的集合zz2k，kZ由2xz2k，得xk所以，y3sin 2x，xR取得最大值的x的集合是xxk，kZ同理，使函数y3sin 2x，xR取得最小值的x的集合是xxk，kZ函数y3sin 2x，x
6、R的最大值是3，最小值是3设计意图：巩固对最值概念的理解，初步感受换元法在求解三角函数问题中的作用例2 不通过求值，比较下列各数的大小：（1）sin（）与sin（）；（2）cos（）与cos（）追问：比较大小的依据是什么？预设的师生活动：学生独立完成，教师进行指导本例中，对于（1），可直接应用函数的单调性求解；对于（2），首先要将所给的角化简，使之位于同一个单调区间内，即转化为第（1）题之后求解预设答案：解：（1）因为0，正弦函数ysin x在区间，0上单调递增，所以sin（）sin（）（2）cos（）=cos=cos，cos（）=cos=cos，且余弦函数在区间0，上单调递减，所以cosco
7、s，即cos（）cos（）你能借助单位圆直观地比较上述两对函数值的大小吗？试一试设计意图：初步应用函数的单调性解决比较大小的问题例3 求函数ysin，x2，2的单调递增区间追问：如何转化为熟悉的函数求解？师生活动：师生共同分析此问题，然后共同完成求解预设答案：通过换元转化为熟悉的函数单调性问题，然后求解令z，x2，2，则z因为ysin z，z的单调递增区间是z，且由得x，所以，函数ysin，x2，2的单调递增区间是变式：求函数ysin，x2，2的单调递增区间预设的师生活动：学生独立完成对于变式问题，会有一部分学生出错，教师要引导学生将正确和错误解答进行对比分析资源名称： 【知识点解析】与正、余
8、弦函数有关的单调区间的求解技巧使用说明：本资源展现“与正、余弦函数有关的单调区间的求解技巧”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握适合教师课堂进行展示注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用预设答案：令zsin，x2，2，则z因为ysin z，z的单调递减区间是z或，且由或得x2或2x，所以，函数ysin，x2，2的单调递增区间是，设计意图：类比例3求解，进一步熟练换元转化的思想方法通过变换自变量系数的符号，提高学生思维的深刻性，提升学生的逻辑推理和数学运算素养（二）归纳小结问题3：教师引导学生回顾本单元的学习内容，回答下面的问题：（1）正弦函数、余弦函数的图象是什么
9、形状？它们具有什么性质？请结合一个具体的函数谈一谈（2）对于正弦函数，我们是如何绘制出它的图象的？又是如何研究它的性质的？余弦函数呢？（3）通过本节课的学习，你对正弦函数、余弦函数有了哪些新的认识？对于如何研究一个函数又有了哪些新的体会？资源名称： 【知识点解析】正弦函数、余弦函数的单调性和最值使用说明：本资源展现“正弦函数、余弦函数的单调性和最值”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握适合教师课堂小结进行展示注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用设计意图：通过小结，复习巩固本单元所学的知识，加深对正弦函数、余弦函数的理解通过对本单元研究过程的总结，体会研究正弦函数、余弦函数性质的方法，进一步体会研究函数的一般思路和方法（三）拓展研究问题4：三角函数的定义是利用单位圆给出的，你能利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质吗？请将你的研究方案和研究报告写下来设计意图：让学生换一个角度认识正弦函数、余弦函数的性质，提升其理解的深刻性同时开放学生的思维，通过探索发现提升学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力（四）布置作业教科书习题5.4第4，5，6，10，11，12，16，19题（五）目标检测设计教科书第207页练习第2，3题设计意图：考查学生对函数最值、单调性的理解
