1、28.2解直角三角形及其应用282.1解直角三角形关键问答在直角三角形中，边和角之间有什么数量关系？可解的直角三角形有什么特点？两直角边长的比为1的直角三角形是一个什么样的特殊直角三角形？12017绥化某楼梯的侧面如图2821所示，已测得BC的长约为3.5米，BCA约为29，则该楼梯的高度AB可表示为()图2821A3.5sin29米 B3.5cos29米C3.5tan29米 D.米2在RtABC中，a，b，c分别为A，B，C所对的边，下列情况中RtABC可解的是()A已知a3，C90 B已知B36，C90C已知a3，B36 D已知B36，A543在RtABC中，C90，a，b，c分别是A，B
2、，C所对的边，已知a5，b5 ，求c的长和A，B的度数命题点 1解直角三角形热度：89%42018宜昌如图2822，要测量小河两岸相对的两点P，A之间的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC100米，PCA35，则小河宽PA等于()图2822A100sin35米 B100sin55米C100tan35米 D100tan55米易错警示用三角函数求边长时，要分清已知边、未知边、已知角之间的关系，分清所用的三角函数5在RtABC中，C90，a，b，c分别是A，B，C所对的边，分别根据下列条件解直角三角形(1)a3，c3 ； (2)a3，b3 ； (3)c4 ，B30； (4)b4，B
3、30.方法点拨解直角三角形的基本原则：有斜(斜边)用弦(正弦、余弦)，无斜用切(正切)，宁乘勿除，取原(原始数据)避中(中间数据)6如图2823，已知B37，AB20，C是射线BM上一点(1)在下列条件中，可以唯一确定BC长的是_(填写所有符合条件的序号)AC13；tanACB；连接AC，ABC的面积为126.(2)在(1)的答案中，选择一个作为条件，画出草图，求BC的长(参考数据：sin370.6，cos370.8，tan370.75)图2823易错警示已知两边及一边的对角，不能确定唯一的三角形，所以这样的三角形不可解命题点 2以其他常见几何图形为背景解直角三角形热度：95%7.如图2824
4、，在菱形ABCD中，AEBC于点E，EC4，sinB，则菱形ABCD的周长是()图2824A10 B20 C40 D28方法点拨利用菱形的性质和锐角三角函数把已知条件转化到直角三角形ABE中，将分散的条件集中到一起，使直角三角形ABE可解.8如图2825，在矩形ABCD中，DEAC于点E，设ADE，且cos，AB4，则AD的长为() 图2825A3 B. C. D.9.如图2826，点A在半径为3的O内，OA，P为O上一点，当OPA取最大值时，PA的长为()图2826A. B. C. D2 解题突破当OPA取最大值时，点O到AP的距离最大.10如图2827，在ABCD中，DEAB于点E，DFB
5、C于点F，EDF60，AE2，CF3，则ABCD的面积为_图282711如图2828，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是(4，0)，点C的坐标是(0，4)，P为边AB上一点，CPB60，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B处，则点B的坐标为_图282812.如图2829，把两幅完全相同的长方形图片粘贴在一矩形宣传板EFGH上，除点D外，其他顶点均在矩形EFGH的边上AB50 cm，BC40 cm，BAE55，求EF的长(参考数据：sin550.82，cos550.57，tan551.43)图2829方法点拨解直角三角形的方法是有斜(斜边)用弦(正弦、余弦)，无斜(
6、斜边)用切(正切)，宁乘勿除，取原(原始数据)避中(中间数据)，直接求不行，分着求.命题点 3解锐角三角形或钝角三角形热度：93%13.在ABC中，AB12 ，AC13，cosB，则BC边的长为()A7 B8 C8或17 D7或17易错警示分ABC是锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论.14在ABC中，A120，AB4，AC2，则sinB的值是()A. B. C. D.15.如图28210，在ABC中，B60，C75，AC3 ，求AB的长图28210方法点拨在解锐角三角形或钝角三角形时，常过非特殊角的顶点作三角形的高，通过高将两个直角三角形联系起来.命题点 4解直角三角形的综合应用热度：91%1
7、62017齐齐哈尔如图28211，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tanAOC，反比例函数y的图象经过点C，与AB交于点D，若COD的面积为20，则k的值等于_图2821117.阅读下面的材料：小红遇到这样一个问题：如图28212，在四边形ABCD中，AC90，D60，AB4 ，BC，求AD的长小红发现，延长AB与DC相交于点E，通过构造RtADE，经过推理和计算能够使问题得到解决(如图)(1)请回答：AD的长为_(2)参考小红思考问题的方法，解决下列问题：如图，在四边形ABCD中，tanA，BC135，AB9，CD3，求BC和AD的长图28212方法点拨对于不规则图形的
8、求解，常通过补形或分割的方法将其转化成直角三角形再进行求解.18如图28213，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A，D，G在同一直线上，且AD3，DE1，连接AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H.(1)求sinEAC的值；(2)求线段AH的长图2821319.我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边和角之间是否也存在某种关系呢？如图28214，在锐角三角形ABC中，A，B，ACB所对的边分别为a，b，c，过点C作CDAB于点D，在RtADC中，CDbsinA，ADbcosA，BDcbcosA.在RtBDC中，由勾股定理，得BD
9、2CD2BC2，即(cbcosA)2(bsinA)2a2，整理，得a2b2c22bccosA.同理可得：b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC.利用上述结论解答下列问题：(1)在锐角三角形ABC中，A45，b2 ，c2，求a的长和C的度数；(2)在ABC中，a，b，B45，且cab，求c的长图28214模型建立已知任意三角形的两边及夹角可求第三边，或已知任意三角形的三边可求某个角的余弦值，进而求这个角.详解详析1A解析 在RtABC中，已知斜边BC和锐角BCA，求锐角BCA的对边，用正弦，即sin29，所以AB3.5sin29米故选A.2C3解：C90，a2b2c2.a5，b5
10、 ，c10.tanA，A30，B60.4C解析 PAPB，PC100米，PCA35，小河宽PAPCtanPCA100tan35米5解：(1)sinA，A45，B90A45.AB45，ba3.(2)C90，a3，b3 ，c6.tanA，A30，B90A60.(3)C90，B30，A90B60.sinB，bcsinB4 sin304 2 .cosB，accosB4 cos304 6.(4)C90，B30，A90B60.tanB，a4 .sinB，c8.6解：(1)(2)方案一：选，如图，过点A作ADBC于点D，则ADBADC90.在RtABD中，ADB90，ADABsinB12，BDABcosB1
11、6.在RtACD中，ADC90，CD5，BCBDCD21.方案二：选，如图，过点C作CEAB于点E，则BEC90.由SABCABCE126，AB20，得CE12.6.在RtBEC中，BEC90，BC21.7C解析 由sinB可得，设AE4a，AB5a，所以BE3a.由四边形ABCD是菱形，可得ABBC5a，所以BCBE5a3a4，所以a2，所以AB10，所以菱形ABCD的周长为40.8B解析 由已知可知：ABCD4，ADEDAE90，BACDAE90，ADEBAC，coscosBAC，AC.根据勾股定理，得BC，ADBC.9B解析 过点O作OMPA于点M，则sinOPA.OP的长恒为3，当OM
12、最大时，sinOPA最大，即OPA取最大值当点M与点A重合时，OM最大，为，此时PA.1012 解析 在四边形DEBF中，其内角和为360，EDF60，DEAB，DFBC，B120，AC60.AE2，AD4.又CF3，DF3 ，SABCDADDF43 12 .11(2，42 )解析 过点B分别作BDy轴于点D，BEx轴于点E，四边形OABC是正方形，点A的坐标是(4，0)，点C的坐标是(0，4)，BCOC4，BPC60，由折叠的性质求得BCBC4，BCPBCP30，DCB90BCPBCP30，BDCB2，CDBCcos302 ，ODOCCD42 ，点B的坐标为(2，42 )12解：在RtABE
13、中，AB50 cm，BAE55，BEABsinBAE50sin55500.8241(cm)四边形ABCD是矩形，ABC90，CBFBAE55.在RtBCF中，BC40 cm，CBF55，BFBCcosCBF40cos55400.5722.8(cm)，EFBEBF4122.863.8(cm)，EF的长约为63.8 cm.13D解析 cosB，B45.当ABC为钝角三角形时，如图，AB12 ，B45，ADBD12.AC13，由勾股定理，得CD5，BCBDCD1257；当ABC为锐角三角形时，如图，BCBDCD12517.14B解析 如图，过点C作CDBA，交BA的延长线于点D.BAC120，DAC
14、60，ACD30，2ADAC2，AD1，CD，BD5，BC2 ，sinB.15解：过点C作CDAB于点D.B60，ACB75，A45，ADCD.在RtADC中，AC3 ，sinA，CDsin453 3，AD3.在RtBDC中，DBC60，tanB，BD，AB3.1624解析 COD的面积为20，菱形OABC的面积为40.过点C作CEx轴于点E.tanAOC，设CE4a(a0)，则OE3a，OAOC5a，5a4a40，解得a(a舍去)，CE4 ，OE3 ，点C的坐标为(3 ，4 )反比例函数y的图象经过点C，kxy3 4 24.17解：(1)在ADE中，A90，D60，E30.在RtBEC中，B
15、CE90，E30，BC，BE2BC2 ，AEABBE6 .在RtADE中，A90，E30，AE6 ，ADAEtanE6 6.故答案为6.(2)如图，延长AB与DC相交于点E.ABCBCD135，EBCECB45，BECE，E90.设BECEx，则BCx，AE9x，DE3x.在RtADE中，E90，tanA，即，解得x3.经检验，x3是所列方程的解且符合题意，BC3 ，AE12，DE6，AD6 .18解：(1)由题意知EC2，AE.过点E作EMAC于点M，所以EMC90，易知ACD45，所以EMC是等腰直角三角形，所以EM，所以sinEAC.(2)在GDC与EDA中，所以GDCEDA，所以GCDEAD，GCAE.又因为HECDEA，所以EHCEDA90，所以AHGC.因为SAGCAGDCGCAH，所以43AH，所以AH .19解：(1)因为a2b2c22bccos458484，所以a2(负值已舍去)，所以cosC.又因为C为锐角，所以C45.(2)因为b2a2c22accosB，所以23c22 c，解得c1，c2(不符合题意，舍去)，所以c.【关键问答】在RtABC中，C90，a，b，c分别为A，B，C所对的边，则边和角之间的关系有sinA，sinB，cosA，cosB，tanA，tanB.由已知条件能确定唯一的直角三角形，这样的直角三角形可解含30角的直角三角形12
