1、专题研究3 圆锥曲线中定点、定值问题1已知a，b满足2a3b1，则直线4xay2b0必过的定点为()A(，)B(，)C(，) D(，)答案D解析2a3b1，又由4xay2b0，得ab1，选D.2过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，则_答案3已知曲线C：y22px(p0)O为原点，A，B是C上两个不同点，且OAOB，则直线AB过定点_答案(2p，0)4已知椭圆C：1(ab0)的离心率为e，其左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|2，设点M(x1，y1)，N(x2，y2)是椭圆上不同两点，且这两点与坐标原点的连线的斜率之积为.(1)求椭圆C的方程；(2)求证：x12x2
2、2为定值，并求该定值答案(1)y21(2)4解析(1)依题意，c，而e，a2，b2a2c21，则椭圆C的方程为y21.(2)由于，则x1x24y1y2，x12x2216y12y22.而y121，y221，则1y12，1y22，(1)(1)y12y22，则(4x12)(4x22)16y12y22，(4x12)(4x22)x12x22，展开，得x12x224为一定值5(2017课标全国，理)已知椭圆C：1(ab0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3(1，)，P4(1，)中恰有三点在椭圆C上(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为
3、1，证明：l过定点答案(1)y21(2)定点(2，1)解析(1)由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上，因此解得故C的方程为y21.(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：xt，由题设知t0，且|t|0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.而k1k2.由题设知k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0，即(2k1)(m1)0，解得k.当且仅当m1时，0，于是l：yxm，即y1(x2)，所以l过定点(2，1)6(2018湖南师大附中月考)如图，抛物线C1
4、：y28x与双曲线C2：1(a0，b0)有公共焦点F2，点A是曲线C1，C2在第一象限的交点，且|AF2|5.(1)求双曲线C2的方程；(2)以F1为圆心的圆M与双曲线的一条渐近线相切，圆N：(x2)2y21，已知点P(1，)，过点P作互相垂直且分别与圆M，圆N相交的直线l1，l2，设l1被圆M截得的弦长为s，l2被圆N截得的弦长为t，试探索是否为定值？请说明理由答案(1)x21(2)定值解析(1)抛物线C1：y28x的焦点为F2(2，0)，双曲线C2的焦点为F1(2，0)，F2(2，0)设A(x0，y0)(x00，y00)为抛物线C1和双曲线C2在第一象限的交点，且|AF2|5，由抛物线的定
5、义得x025，x03，|AF1|7.又点A在双曲线上，由双曲线的定义得2a|AF1|AF2|752，a1.b.双曲线C2的方程为x21.(2)为定值理由如下：设圆M的方程为(x2)2y2r2，双曲线的渐近线方程为yx.圆M与渐近线yx相切，圆的半径为r，故圆M：(x2)2y23.依题意l1，l2的斜率存在且均不为零，设l1的方程为yk(x1)，即kxyk0，l2的方程为y(x1)，即xkyk10，点M到直线l1的距离d1，点N到直线l2的距离d2.直线l1被圆M截得的弦长s22，直线l2被圆N截得的弦长t22.，故为定值.7(2018甘肃高台县一中检测)如图，设直线l：yk(x)与抛物线C：y
6、22px(p0，p为常数)交于不同的两点M，N，且当k时，弦MN的长为4.(1)求抛物线C的标准方程；(2)过点M的直线交抛物线于另一点Q，且直线MQ过点B(1，1)，求证：直线NQ过定点答案(1)y24x(2)定点(1，4)解析(1)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，当k时，直线l：y(x)，即x2y，联立得即y24pyp20.所以y1y24p，y1y2p2，于是得|MN|y1y2|2|p|4，又p0，所以p2，即抛物线C的标准方程为y24x.(2)设点M(4t2，4t)，N(4t12，4t1)，Q(4t22，4t2)，易得直线MN，MQ，NQ的斜率均存在，则直线MN的斜率是kMN，从而
7、直线MN的方程是y(x4t2)4t，即x(tt1)y4tt10.同理可知MQ的方程是x(tt2)y4tt20，NQ的方程是x(t1t2)y4t1t20.又易知点(1，0)在直线MN上，从而有4tt11，即t，点B(1，1)在直线MQ上，从而有1(tt2)(1)4tt20，即1(t2)(1)4t20，化简得4t1t24(t1t2)1.代入NQ的方程得x(t1t2)y4(t1t2)10.所以直线NQ过定点(1，4)8(2018辽宁盘锦一中月考)如图，已知点A(1，)是离心率为的椭圆C：1(ab0)上的一点，斜率为的直线交椭圆C于B，D两点，且A，B，D三点互不重合(1)求椭圆C的方程；(2)求证：
8、直线AB，AD的斜率之和为定值答案(1)1(2)定值为0解析(1)由题意，可得e，将A(1，)代入椭圆C的方程，得1，又a2b2c2，解得a2，bc，所以椭圆C的方程为1.(2)设直线BD的方程为yxm，A，B，D三点不重合，m0，设D(x1，y1)，B(x2，y2)由得4x22mxm240，由8m2640，得2m0)过焦点的弦两个端点，分别过A，B作C的切线l1，l2，则l1与l2的交点在定直线l上，那么l的方程为_答案x3已知椭圆C：1，圆E：x2y22，l是圆E的切线，l与C交于A，B两点，以AB为直径的圆过定点_答案(0，0)解析圆E的方程为x2y22，设O为坐标原点，当直线l的斜率不
9、存在时，不妨设直线AB的方程为x，则A(，)，B(，)，所以AOB，所以以AB为直径的圆过坐标原点当直线l的斜率存在时，其方程设为ykxm，设A(x1，y1)，B(x2，y2)因为直线与圆相切，所以d，所以m222k2.联立方程组得x22(kxm)26，即(12k2)x24kmx2m260，16k2m24(12k2)(2m26)8(6k2m23)8(4k21)0，由根与系数的关系得所以x1x2y1y2(1k2)x1x2km(x1x2)m2m20，所以，所以以AB为直径的圆恒过坐标原点O.4已知P是椭圆C：y21上一点，A是C的右顶点，B是C的上顶点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点
10、N，则|AN|BM|_答案4解析由题意知A(2，0)，B(0，1)点P在曲线()2()21上，不妨设P(2cos，sin)，当且k(kZ)时，直线AP的方程为y0(x2)，令x0，得yM；直线BP的方程为y1(x0)，令y0，得xN.|AN|BM|2|1|1|2|224(定值)当k或k(kZ)时，M，N是定点，易得|AN|BM|4，综上，|AN|BM|4.5(2018浙江温州中学月考)已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e，虚轴长为2.(1)求双曲线C的标准方程；(2)若直线l：ykxm与双曲线C相交于A，B两点(A，B均异于左、右顶点)，且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，
11、求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标答案(1)y21(2)定点为(，0)解析(1)由题设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，由已知得，2b2.又a2b2c2，解得a2，b1，双曲线的标准方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(14k2)x28mkx4(m21)0.故y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2，以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D(2，0)，kADkBD1，即1.y1y2x1x22(x1x2)40.40.3m216mk20k20.解得m12k，m2.当m12k时，l的方程为yk(x2)，直线过定点(2，0)，与已知矛盾；当m2时，
12、l的方程为yk(x)，直线过定点(，0)，经检验符合已知条件所以直线l过定点，定点坐标为(，0)6.如图所示，已知点M(a，3)是抛物线y24x上一定点，直线AM，BM的斜率互为相反数，且与抛物线另交于A，B两个不同的点(1)求点M到其准线的距离；(2)求证：直线AB的斜率为定值答案(1)(2)略解析(1)M(a，3)是抛物线y24x上一定点，324a，a.抛物线y24x的准线方程为x1，点M到其准线的距离为(1).(2)证明：由题知直线MA，MB的斜率存在且不为0，设直线MA的方程为y3k(x)，由得y2y90.yA3，yA3.直线AM，BM的斜率互为相反数，直线MB的方程为y3k(x)同理
13、可得yB3，kAB.直线AB的斜率为定值.7(2017湖北宜昌一中月考)中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上的椭圆E经过两点R(，)，Q(，)分别过椭圆E的焦点F1，F2的动直线l1，l2相交于P点，与椭圆E分别交于A，B与C，D不同四点，直线OA，OB，OC，OD的斜率k1，k2，k3，k4满足k1k2k3k4.(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在定点M，N，使得|PM|PN|为定值？若存在，求出M，N的坐标并求出此定值；若不存在，说明理由答案(1)1(2)存在点M，N其坐标分别为(0，1)，(0，1)，使得|PM|PN|2为定值解析(1)设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn)将R(，
14、)，Q(，)代入椭圆方程有解得椭圆E的方程为1.(2)焦点F1，F2的坐标分别为(1，0), (1，0)当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(1，0)或(1，0)当直线l1，l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2.l1的方程为ym1(x1)，l2的方程为ym2(x1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，联立l1与椭圆方程，得到(23m12)x26m12x3m1260，x1x2，x1x2.同理x3x4，x3x4.(*)k1m1，k2m1，k3m2，k4m2.又满足k1k2k3k4，2m1m12m2m2，把(*)代入上式化为m1m22.设点P(x，y)，则
15、2(x1)，化为x21(x1)又当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(1，0)或(1，0)也满足，点P在椭圆x21(x1)上故存在点M，N其坐标分别为(0，1)，(0，1)，使得|PM|PN|2为定值8(2017湖南岳阳两校联考)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy0相切，过点P(4，0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点(1)求椭圆C的方程；(2)求的取值范围；(3)若点B关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点答案(1)1(2)4，)(3)定点(1，0)解析(1)由题意知e，e2，即a2b2.又b，a24，b23.
16、故椭圆的方程为1.(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x4)联立得(4k23)x232k2x64k2120.由(32k2)24(4k23)(64k212)0，得k2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.y1y2k(x14)k(x24)k2x1x24k2(x1x2)16k2.x1x2y1y2(1k2)x1x24k2(x1x2)16k2(1k2)4k216k225.0k2，29b0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：yx3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；(2)设O是坐标原点，直线l平行于OT，与椭圆E
17、交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P.证明：存在常数，使得|PT|2|PA|PB|，并求的值答案(1)1，T(2，1)(2)解析(1)由已知，ab，则椭圆E的方程为1.由方程组得3x212x182b20.方程的判别式为24(b23)，由0，得b23，此时方程的解为x2，所以椭圆E的方程为1.点T的坐标为(2，1)(2)由已知可设直线l的方程为yxm(m0)，由方程组可得所以P点的坐标为(2，1)，|PT|2m2.设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)由方程组可得3x24mx4m2120.方程的判别式为16(92m2)，由0，解得m.由得x1x2，x1x2.所以|PA|2x1|，同理|PB|2x2|.所以|PA|PB|(2x1)(2x2)|(2)2(2)(x1x2)x1x2|(2)2(2)()|m2.故存在常数，使得|PT|2|PA|PB|.12
