1、8.4直线、平面平行的判定与性质考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.直线与平面平行的判定与性质以立体几何中的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理,理解以下判定定理.如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行.理解以下性质定理,并能够证明.如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行.垂直于同一个平面的两条直线平行.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图
2、形的位置关系的简单命题掌握2017江苏,15;2016江苏,16;2016四川,18;2015安徽,5;2015江苏,16;2013广东,6选择题解答题2.平面与平面平行的判定与性质掌握2016课标全国,14;2013江苏,16选择题解答题分析解读1.理解空间直线和平面位置关系的定义;了解直线和平面的位置关系;掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理.2.会运用直线与平面及平面与平面的位置关系,以及它们平行的判定定理和性质定理解决简单的应用问题与证明问题.3.推理和证明要严谨、合理、充分.4.高考对本节内容的考查,一般通过对图形或几何体的认识,考查线线平行、线面平行、面面平行之间的转化思想,题型
3、以解答题为主,分值约为5分,属中档题.五年高考考点一直线与平面平行的判定与性质1.(2015安徽,5,5分)已知m,n是两条不同直线,是两个不同平面,则下列命题正确的是() A.若,垂直于同一平面,则与平行B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行C.若,则在内与平行的直线D.若m,n,则m与n垂直于同一平面答案D2.(2017江苏,15,14分)如图,在三棱锥A-BCD中,ABAD,BCBD,平面ABD平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EFAD.求证:(1)EF平面ABC;(2)ADAC.证明(1)在平面ABD内,因为ABAD,EFAD,所以EFAB.又因为EF平
4、面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,BC平面BCD,BCBD,所以BC平面ABD.因为AD平面ABD,所以BCAD.又ABAD,BCAB=B,AB平面ABC,BC平面ABC,所以AD平面ABC.又因为AC平面ABC,所以ADAC.3.(2016江苏,16,14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1DA1F,A1C1A1B1.求证:(1)直线DE平面A1C1F;(2)平面B1DE平面A1C1F.证明(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1AC.在ABC中,因
5、为D,E分别为AB,BC的中点,所以DEAC,于是DEA1C1.又因为DE平面A1C1F,A1C1平面A1C1F,所以直线DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A平面A1B1C1.因为A1C1平面A1B1C1,所以A1AA1C1.又因为A1C1A1B1,A1A平面ABB1A1,A1B1平面ABB1A1,A1AA1B1=A1,所以A1C1平面ABB1A1.因为B1D平面ABB1A1,所以A1C1B1D.又因为B1DA1F,A1C1平面A1C1F,A1F平面A1C1F,A1C1A1F=A1,所以B1D平面A1C1F.因为直线B1D平面B1DE,所以平面B1DE平面A1C1
6、F.4.(2016四川,18,12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,ADBC,ADC=PAB=90,BC=CD=AD,E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90.(1)在平面PAB内找一点M,使得直线CM平面PBE,并说明理由;(2)若二面角P-CD-A的大小为45,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.解析(1)在梯形ABCD中,AB与CD不平行.延长AB,DC,相交于点M(M平面PAB),点M即为所求的一个点.理由如下:由已知,BCED,且BC=ED.所以四边形BCDE是平行四边形.从而CMEB.又EB平面PBE,CM平面PBE,所以CM平面PBE.(说明:延长AP至点N,使得AP
7、=PN,则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)解法一:由已知,CDPA,CDAD,PAAD=A,所以CD平面PAD.从而CDPD.所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45.设BC=1,则在RtPAD中,PA=AD=2.过点A作AHCE,交CE的延长线于点H,连接PH.易知PA平面ABCD,又CE平面ABCD,从而PACE.于是CE平面PAH.所以平面PCE平面PAH.过A作AQPH于Q,则AQ平面PCE.所以APH是PA与平面PCE所成的角.在RtAEH中,AEH=45,AE=1,所以AH=.在RtPAH中,PH=,所以sinAPH=.解法二:由已知,CDPA,CDAD,P
8、AAD=A,所以CD平面PAD.于是CDPD.从而PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45.由PAAB,可得PA平面ABCD.设BC=1,则在RtPAD中,PA=AD=2.作AyAD,以A为原点,以,的方向分别为x轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0),E(1,0,0),所以=(1,0,-2),=(1,1,0),=(0,0,2).设平面PCE的法向量为n=(x,y,z),由得设x=2,解得n=(2,-2,1).设直线PA与平面PCE所成角为,则sin =.所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.教师用书专用
9、(513)5.(2013广东,6,5分)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面.下列命题中正确的是()A.若,m,n,则mnB.若,m,n,则mnC.若mn,m,n,则D.若m,mn,n,则答案D6.(2013安徽,15,5分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).当0CQ时,S为四边形当CQ=时,S为等腰梯形当CQ=时,S与C1D1的交点R满足C1R=当CQ1时,S为六边形当CQ=1时,S的面积为答案7.(2015山东,17,12分)如图,在三
10、棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(1)求证:BD平面FGH;(2)若CF平面ABC,ABBC,CF=DE,BAC=45,求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.解析(1)证法一:连接DG,CD,设CDGF=O,连接OH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DFGC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形.则O为CD的中点,又H为BC的中点,所以OHBD,又OH平面FGH,BD平面FGH,所以BD平面FGH.证法二:在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BHEF,BH=EF,所以四边形BHFE为平行四
11、边形,可得BEHF.在ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GHAB.又GHHF=H,所以平面FGH平面ABED.因为BD平面ABED,所以BD平面FGH.(2)解法一:设AB=2,则CF=1.在三棱台DEF-ABC中,G为AC的中点,由DF=AC=GC,可得四边形DGCF为平行四边形,因此DGFC.又FC平面ABC,所以DG平面ABC.在ABC中,由ABBC,BAC=45,G是AC中点,所以AB=BC,GBGC,因此GB,GC,GD两两垂直.以G为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.所以G(0,0,0),B(,0,0),C(0,0),D(0,0,1).可得H,F(0,1
12、),故=,=(0,1).设n=(x,y,z)是平面FGH的法向量,则由可得可得平面FGH的一个法向量n=(1,-1,).因为是平面ACFD的一个法向量,=(,0,0),所以cos=.所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60.解法二:作HMAC于点M,作MNGF于点N,连接NH.由FC平面ABC,得HMFC,又FCAC=C,所以HM平面ACFD.因此GFNH,所以MNH即为所求的角.在BGC中,MHBG,MH=BG=,由GNMGCF,可得=,从而MN=.由HM平面ACFD,MN平面ACFD,得HMMN,因此tanMNH=,所以MNH=60.所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)
13、的大小为60.8.(2015安徽,19,13分)如图所示,在多面体A1B1D1DCBA中,四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,E为B1D1的中点,过A1,D,E的平面交CD1于F.(1)证明:EFB1C;(2)求二面角E-A1D-B1的余弦值.解析(1)证明:由正方形的性质可知A1B1ABDC,且A1B1=AB=DC,所以四边形A1B1CD为平行四边形,从而B1CA1D,又A1D面A1DE,B1C面A1DE,于是B1C面A1DE.又B1C面B1CD1,面A1DE面B1CD1=EF,所以EFB1C.(2)因为四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,所以AA1AB,
14、AA1AD,ABAD且AA1=AB=AD,以A为原点,分别以,为x轴,y轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系,可得点的坐标A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1(0,1,1),而E点为B1D1的中点,所以E点的坐标为(0.5,0.5,1).设面A1DE的法向量n1=(r1,s1,t1),而该面上向量=(0.5,0.5,0),=(0,1,-1),由n1,n1得r1,s1,t1应满足的方程组(-1,1,1)为其一组解,所以可取n1=(-1,1,1).设面A1B1CD的法向量n2=(r2,s2,t2),而该面上向量=(1,0,0)
15、,=(0,1,-1),由此同理可得n2=(0,1,1).所以结合图形知二面角E-A1D-B1的余弦值为=.评析本题考查直线与直线的平行关系以及二面角的求解,考查空间想象能力、逻辑推理能力以及运算求解能力.正确求解各点坐标以及平面法向量是解决问题的关键.9.(2015江苏,16,14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知ACBC,BC=CC1,设AB1的中点为D,B1CBC1=E.求证:(1)DE平面AA1C1C;(2)BC1AB1.证明(1)由题意知,E为B1C的中点,又D为AB1的中点,因此DEAC.又因为DE平面AA1C1C,AC平面AA1C1C,所以DE平面AA1C1C.(2)
16、因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1平面ABC.因为AC平面ABC,所以ACCC1.又因为ACBC,CC1平面BCC1B1,BC平面BCC1B1,BCCC1=C,所以AC平面BCC1B1.又因为BC1平面BCC1B1,所以BC1AC.因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,因此BC1B1C.因为AC,B1C平面B1AC,ACB1C=C,所以BC1平面B1AC.又因为AB1平面B1AC,所以BC1AB1.10.(2015天津,17,13分)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A底面ABCD,ABAC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=,且点M和N分别为
17、B1C和D1D的中点.(1)求证:MN平面ABCD;(2)求二面角D1-AC-B1的正弦值;(3)设E为棱A1B1上的点.若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为,求线段A1E的长.解析如图,以A为原点建立空间直角坐标系,依题意可得A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D1(1,-2,2).又因为M,N分别为B1C和D1D的中点,得M,N(1,-2,1).(1)证明:依题意,可得n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量.=.由此可得n=0,又因为直线MN平面ABCD,所以MN平面ABCD.(2)
18、=(1,-2,2),=(2,0,0).设n1=(x,y,z)为平面ACD1的法向量,则即不妨设z=1,可得n1=(0,1,1).设n2=(x,y,z)为平面ACB1的法向量,则又=(0,1,2),得不妨设z=1,可得n2=(0,-2,1).因此有cos=-,于是sin=.所以,二面角D1-AC-B1的正弦值为.(3)依题意,可设=,其中0,1,则E(0,2),从而=(-1,+2,1).又n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量,由已知,得cos=,整理得2+4-3=0,又因为0,1,解得=-2.所以,线段A1E的长为-2.11.(2014课标,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面
19、ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB平面AEC;(2)设二面角D-AE-C为60,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积.解析(1)证明:连接BD交AC于点O,连接EO.因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EOPB.又EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.(2)因为PA平面ABCD,ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.如图,以A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,|为单位长,建立空间直角坐标系A-xyz,则D(0,0),E,=.设B(m,0,0)(m0),则C(m,0),=(m,0).设n1=(x,y,z)为平面
20、ACE的法向量,则即可取n1=.又n2=(1,0,0)为平面DAE的法向量,由题设得|cos|=,即=,解得m=.因为E为PD的中点,所以三棱锥E-ACD的高为.三棱锥E-ACD的体积V=.12.(2014湖北,19,12分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=(02).(1)当=1时,证明:直线BC1平面EFPQ;(2)是否存在,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.解析解法一:(几何方法)(1)证明:如图1,连接A
21、D1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知BC1AD1.当=1时,P是DD1的中点,又F是AD的中点,所以FPAD1.所以BC1FP.而FP平面EFPQ,且BC1平面EFPQ,故直线BC1平面EFPQ.(2)如图2,连接BD.因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EFBD,且EF=BD.又DP=BQ,DPBQ,所以四边形PQBD是平行四边形,故PQBD,且PQ=BD,从而EFPQ,且EF=PQ.在RtEBQ和RtFDP中,因为BQ=DP=,BE=DF=1,于是EQ=FP=,所以四边形EFPQ是等腰梯形.同理可证四边形PQMN是等腰梯形.分别取EF,PQ,MN的中点,记为H,O,G,连接OH
22、,OG,则GOPQ,HOPQ,而GOHO=O,故GOH是面EFPQ与面PQMN所成的二面角的平面角.若存在,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角,则GOH=90.连接EM,FN,则由EFMN,且EF=MN,知四边形EFNM是平行四边形.连接GH,因为H,G是EF,MN的中点,所以GH=ME=2.在GOH中,GH2=4,OH2=1+2-=2+,OG2=1+(2-)2-=(2-)2+,由OG2+OH2=GH2,得(2-)2+2+=4,解得=1,故存在=1,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.解法二:(向量方法)以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴建立如
23、图3所示的空间直角坐标系D-xyz.由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,).=(-2,0,2),=(-1,0,),=(1,1,0).(1)证明:当=1时,=(-1,0,1),因为=(-2,0,2),所以=2,即BC1FP.而FP平面EFPQ,且BC1平面EFPQ,故直线BC1平面EFPQ.(2)设平面EFPQ的法向量为n=(x,y,z),则由可得于是可取n=(,-,1).同理可得平面MNPQ的法向量为m=(-2,2-,1).若存在,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角,则mn=(-2,2-,1)(,-,1)=0,即(-2)-(
24、2-)+1=0,解得=1.故存在=1,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.13.(2013山东,18,12分)如图所示,在三棱锥P-ABQ中,PB平面ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,AQ=2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连接GH.(1)求证:ABGH;(2)求二面角D-GH-E的余弦值.解析(1)证明:因为D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,所以EFAB,DCAB.所以EFDC.又EF平面PCD,DC平面PCD,所以EF平面PCD.又EF平面EFQ,平面EFQ平面PCD=GH,所以EFGH.又EFAB,所以A
25、BGH.(2)解法一:在ABQ中,AQ=2BD,AD=DQ,所以ABQ=90,即ABBQ.因为PB平面ABQ,所以ABPB.又BPBQ=B,所以AB平面PBQ.由(1)知,ABGH,所以GH平面PBQ.又FH平面PBQ,所以GHFH.同理可得GHHC,所以FHC为二面角D-GH-E的平面角.设BA=BQ=BP=2,连接FC,在RtFBC中,由勾股定理得FC=,在RtPBC中,由勾股定理得PC=.又H为PBQ的重心,所以HC=PC=.同理,FH=.在FHC中,由余弦定理得cosFHC=-.即二面角D-GH-E的余弦值为-.解法二:在ABQ中,AQ=2BD,AD=DQ,所以ABQ=90.又PB平面
26、ABQ,所以BA,BQ,BP两两垂直.以B为坐标原点,分别以BA,BQ,BP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设BA=BQ=BP=2,则E(1,0,1),F(0,0,1),Q(0,2,0),D(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,2).所以=(-1,2,-1),=(0,2,-1),=(-1,-1,2),=(0,-1,2).设平面EFQ的法向量为m=(x1,y1,z1),由m=0,m=0,得取y1=1,得m=(0,1,2).设平面PDC的法向量为n=(x2,y2,z2),由n=0,n=0,得取z2=1,得n=(0,2,1),所以cos=.因为二面角D-GH-E为钝
27、角,所以二面角D-GH-E的余弦值为-.考点二平面与平面平行的判定与性质1.(2016课标全国,14,5分),是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:如果mn,m,n,那么.如果m,n,那么mn.如果,m,那么m.如果mn,那么m与所成的角和n与所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)答案2.(2013江苏,16,14分)如图,在三棱锥S-ABC中,平面SAB平面SBC,ABBC,AS=AB.过A作AFSB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:(1)平面EFG平面ABC;(2)BCSA.证明(1)因为AS=AB,AFSB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因
28、为E是SA的中点,所以EFAB.因为EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.同理EG平面ABC.又EFEG=E,所以平面EFG平面ABC.(2)因为平面SAB平面SBC,且交线为SB,又AF平面SAB,AFSB,所以AF平面SBC,因为BC平面SBC,所以AFBC.又因为ABBC,AFAB=A,AF,AB平面SAB,所以BC平面SAB.因为SA平面SAB,所以BCSA.三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点一直线与平面平行的判定与性质1.(人教A必2,二,2-2A,3,变式)如图,在四面体ABCD中,若截面PQMN是正方形,则在下列命题中,错误的为() A.ACBDB.AC
29、=BDC.AC截面PQMND.异面直线PM与BD所成的角为45答案B2.(2018江苏无锡模拟,18)如图,在四面体PABC中,已知PA平面ABC,PA=AC,ACB=90,D为PC的中点.(1)求证:ADBD;(2)若M为PB的中点,点N在直线AB上,且ANNB=12,求证:直线AD平面CMN.证明(1)PA=AC,D为PC的中点,ADPC.PA平面ABC,BC平面ABC,PABC.ACB=90,BCAC,又PAAC=A,PA,AC平面PAC,BC平面PAC.AD平面PAC,BCAD.又ADPC,BCPC=C,PC,BC平面PBC,AD平面PBC.BD平面PBC,ADBD.(2)连接DM,设
30、BD与CM交于点G,连接NG.D、M分别为PC和PB的中点,DMBC且DM=BC,DGGB=DMBC=12.ANNB=12,ANNB=DGGB.BNGBAD,ADNG.AD平面CMN,NG平面CMN,直线AD平面CMN.3.(2017广东六校联盟联考,19)如图,在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,底面ABC是直角三角形,PA=AB=BC=4,O是棱AC的中点,G是AOB的重心,D是PA的中点.(1)求证:BC平面PAB;(2)求证:DG平面PBC;(3)求二面角A-PC-B的大小.解析(1)证明:PA平面ABC,PABC,底面ABC是直角三角形,AB=BC,BCAB,又PAAB=A,BC平
31、面PAB.(2)证明:如图,连接OG并延长交AB于点E,连接DO,DE,G是AOB的重心,OE为AB边上的中线,E为AB的中点,又D为PA的中点,DEPB,同理可得DOPC,又DEDO=D,PBPC=P,平面DOE平面PBC,又DG平面DOE,DG平面PBC.(3)过点O作OQPC于点Q,连接BQ,AB=BC且O是棱AC的中点,BOAC.PA平面ABC,平面PAC平面ABC.又平面PAC平面ABC=AC,且BO平面ABC,BO平面PAC,BOPC,又OQPC,BOOQ=O,PC平面BOQ,BQPC,OQB为二面角A-PC-B的平面角.由已知得OB=OC=2,PC=4,PACOQC,=,即=,O
32、Q=,tanOQB=,OQB=60,即二面角A-PC-B的大小为60.考点二平面与平面平行的判定与性质4.(2017豫西五校4月联考,6)已知m,n,l1,l2表示不同直线,、表示不同平面,若m,n,l1,l2,l1l2=M,则的一个充分条件是()A.m且l1B.m且nC.m且nl2D.ml1且nl2答案D5.(2017江西九江模拟,19)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1底面ABC,ABAC,AC=AA1,E、F分别是棱BC、CC1的中点.(1)若线段AC上的点D满足平面DEF平面ABC1,试确定点D的位置,并说明理由;(2)证明:EFA1C.解析(1)面DEF面ABC1,面ABC
33、面DEF=DE,面ABC面ABC1=AB,ABDE,(4分)在ABC中,E是BC的中点,D是线段AC的中点.(6分)(2)证明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=AA1,侧面A1ACC1是菱形,A1CAC1,(7分)又易得ABA1C,ABAC1=A,A1C面ABC1,(9分)A1CBC1.(10分)又E、F分别为棱BC、CC1的中点,EFBC1,(11分)EFA1C.(12分)B组20162018年模拟提升题组(满分:60分时间:60分钟)一、选择题(共5分)1.(2016浙江金华十校联考,8)如图,在四面体ABCD中,AB=CD=2,AD=BD=3,AC=BC=4,点E,F,G,H分别在
34、棱AD,BD,BC,AC上,若直线AB,CD都平行于平面EFGH,则四边形EFGH面积的最大值是() A.B.C.1D.2答案C二、填空题(共5分)2.(2017山西太原五中月考,14)过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有_条.答案6三、解答题(共50分)3.(2018江苏无锡检测,18)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,ADBC,AD=2AB=2BC,M为AD的中点,CB1底面ABCD.求证:(1)C1M平面A1ABB1;(2)平面B1BM平面ACB1.证明(1)因为ABCD-A1B1C1D1为四棱柱,所
35、以B1C1BC且B1C1=BC.又M为AD的中点,所以BCAM,所以B1C1AM,又AD=2BC,所以BC=AM,所以B1C1=AM,所以四边形B1C1MA为平行四边形,所以C1MB1A,又B1A平面A1ABB1,C1M平面A1ABB1,所以C1M平面A1ABB1.(2)连接CM.由(1)知四边形BCMA为平行四边形,又BC=AB,所以AM=AB,所以四边形BCMA为菱形,所以BMAC,又CB1底面ABCD,所以CB1BM.因为ACCB1=C,所以BM平面ACB1.又BM平面B1BM,所以平面B1BM平面ACB1.4.(2018安徽合肥一中模拟,18)如图,四棱锥P-ABCD中,E为AD的中点
36、,PE平面ABCD,底面ABCD为梯形,ABCD,AB=2DC=2,ACBD=F,且PAD与ABD均为正三角形,G为PAD的重心.(1)求证:GF平面PDC;(2)求三棱锥G-PCD的体积.解析(1)证明:连接AG交PD于H,连接CH.在梯形ABCD中,ABCD,且AB=2DC,可得=.又正PAD中,G为PAD的重心,=.在AHC中,=,故GFHC.又HC平面PCD,GF平面PCD,GF平面PDC.(2)PE平面ABCD,且易求PE=3,又由(1)知GF平面PDC,VG-PCD=VF-PCD=VP-CDF=PESCDF.又由ABCD,且AB=2DC=2,ABD为正三角形,知DF=BD=.又CD
37、F=ABD=60,SCDF=CDDFsinBDC=,VP-CDF=PESCDF=,三棱锥G-PCD的体积为.5.(2018山西太原质检,19)如图,四边形ABCD中,ABAD,ADBC,AD=6,BC=2AB=4,E,F分别在BC,AD上,EFAB,现将四边形ABCD沿EF折起,使BEEC.(1)若BE=1,在折叠后的线段AD上是否存在一点P,使得CP平面ABEF?若存在,求出的值;若不存在,说明理由;(2)求三棱锥A-CDF的体积的最大值,并求出此时点F到平面ACD的距离.解析(1)AD上存在一点P,使得CP平面ABEF,此时=.理由如下:当=时,=,过点P作MPFD交AF于点M,连接EM,
38、CP,则有=.BE=1,FD=5,故MP=3.又EC=3,MPFDEC,故有MPEC,故四边形MPCE为平行四边形,CPME.又CP平面ABEF,ME平面ABEF,故CP平面ABEF.(2)设BE=x(0x4),AF=x,FD=6-x,故VA-CDF=2(6-x)x=(-x2+6x),当x=3时,VA-CDF有最大值,且最大值为3,此时EC=1,AF=3,FD=3,DC=2,由BEEC,BEEF,且ECEF=E,得BE平面ECDF,又AFBE,故AF平面ECDF.AFFD,AD=3,同理可求AC=.在ACD中,由余弦定理得cosADC=,sinADC=,SADC=DCDAs
39、inADC=3.设点F到平面ADC的距离为h,VA-CDF=VF-ACD,即3=hSADC,h=,即三棱锥A-CDF的体积最大时,点F到平面ADC的距离为.6.(2017河北石家庄二模,18)如图,在三棱柱ABC-DEF中,侧面ABED是边长为2的菱形,且ABE=,BC=.四棱锥F-ABED的体积为2,点F在平面ABED内的正投影为点G,且点G在AE上,点M在线段CF上,且CM=CF.(1)证明:直线GM平面DEF;(2)求二面角M-AB-F的余弦值.解析(1)证明:因为四棱锥F-ABED的体积为2,所以VF-ABED=22FG=2,所以FG=.又BC=EF=,所以EG=,易知AE=2,则点G
40、是AE的靠近点A的四等分点.(2分)过点G作GKAD交DE于点K,连接FK,则GK=AD=CF.又MF=CF,所以MF=GK,又MFGK,所以四边形MFKG为平行四边形,(4分)所以GMFK,又FK平面DEF,GM平面DEF,所以直线GM平面DEF.(6分)(2)连接BD,设AE,BD的交点为O,以OB所在直线为x轴,OE所在直线为y轴,过点O的平面ABED的垂线为z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则A(0,-1,0),B(,0,0),F,M,=(-,-1,0),=,=.(8分)设平面ABM,平面ABF的法向量分别为m=(x1,y1,z1),n=(x2,y2,z2),则得不妨取x1=x2=1,
41、则m=(1,-,-1),n=,(10分)所以cos=,易知二面角M-AB-F是锐二面角,故二面角M-AB-F的余弦值为.(12分)C组20162018年模拟方法题组方法1证明直线与平面平行的常用方法1.(2018湖北武汉汉阳一中模拟,19)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等边三角形,且AA1平面ABC,D为AB的中点.(1)求证:直线BC1平面A1CD;(2)若AB=BB1=2,E是BB1的中点,求三棱锥A1-CDE的体积.解析(1)证明:连接AC1,交A1C于点F,连接DF,则F为AC1的中点,又D为AB的中点,所以BC1DF.又BC1平面A1CD,DF平面A1CD,所以B
42、C1平面A1CD.(2)三棱锥A1-CDE的体积=h.其中三棱锥C-A1DE的高h等于点C到平面ABB1A1的距离,可知h=CD=.又=22-12-11-12=,所以=h=.2.(2017河南新乡调研,19)如图所示,四边形ABCD为等腰梯形,ADBC,且AD=BC=a,BAD=135,AEBC于点E,F为BE的中点.将ABE沿AE折起至ABE的位置,得到如图所示的四棱锥B-ADCE.(1)求证:AF平面BCD;(2)若平面ABE平面AECD,求二面角B-CD-E的余弦值.解析(1)证明:如图,取BC的中点G,连接FG,DG.F为BE的中点,FGEC,且FG=EC,(2分)题图中四边形ABCD为等腰梯形,ADBC,且AD=BC=a,AEBC,BAD=135,BC=3a,ADEC,AD=EC.ADFG,AD=FG,四边形ADGF为平行四边形,AFDG,(5分)AF平面BCD,DG平面BCD,AF平面BCD.(6分)(2)易证EA,EB,EC两两垂直,故以点E为原点,直线EB为x轴,直线EC为y轴,直线EA为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(a,0,0),D(0,a,a),C(0,2a,0),所以=(-a,2a,0),=(0,-a,a),设平面BCD的法向量为n=(x,y,z),则令
