1、分层限时跟踪练(二十三)(限时40分钟)一、选择题图37121如图3712，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10B北偏西10C南偏东80D南偏西80【解析】由条件及图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B南偏西80.【答案】D2如图3713所示，长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为，则坡度值tan 等于() 图3713A. B.C. D.【解析】由题意，可得在ABC
2、中，AB3.5 m，AC1.4 m，BC2.8 m，且ACB.由余弦定理，可得AB2AC2BC22ACBCcosACB，即3.521.422.8221.42.8cos()，解得cos ，所以sin ，所以tan .故选A.【答案】A3如图3714，一条河的两岸平行，河的宽度d0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为() 图3714A8 km/hB6 km/hC2 km/hD10 km/h【解析】设AB与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知
3、，sin ，从而cos ，所以由余弦定理得2212221，解得v6.选B.【答案】B4(2015丹东模拟)如图3715所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45，若CD50 m，山坡对于地平面的坡度为，则cos 等于()图3715A.B2C.1 D.【解析】在ABC中，由正弦定理可知，BC50()在BCD中，sinBDC1.由题图知，cos sinADEsinBDC1.【答案】C5甲船在岛A的正南B处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB10千米，同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方
4、向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为()A.分钟 B.小时C21.5分钟D2.15小时【解析】如图，设t小时后甲行驶到D处，则AD104t，乙行驶到C处，则AC6t.BAC120，DC2AD2AC22ADACcos 120(104t)2(6t)22(104t)6tcos 12028t220t100.当t时，DC2最小，DC最小，此时它们所航行的时间为60分钟【答案】A二、填空题6为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)如图3716所示，且BD180，则AC的长为 km.图3716【解析】在ABC中，由余弦定理得AC28252
5、285cos B，在ACD中，由余弦定理得AC23252235cos D，由cos Dcos B并消去AC2得cos B，所以AC7.【答案】7 7某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45，沿倾斜角为30的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为60，则山的高度BC为 m.图3717【解析】过点D作DEAC交BC于E，因为DAC30，故ADE150.于是ADB36015060150.又BAD453015，故ABD15，由正弦定理得AB500()(m)所以在RtABC中，BCABsin 45500(1)(m)【答案】500(1)8如图3718，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面
6、内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15，经过420 s后看山顶的俯角为45，则山顶的海拔高度为 m(取1.4，1.7)图3718【解析】如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知A15，DBC45，ACB30，AB5042021 000(m)又在ABC中，BCsin 1510 500()CDAD，CDBCsinDBC10 500()10 500(1)7 350.故山顶的海拔高度h10 0007 3502 650(m)【答案】2 650三、解答题9(2015石家庄模拟)如图3719所示，有两座建筑物AB和CD都在河的对岸(不知道它们的高度
7、，且不能到达对岸)，某人想测量两座建筑物尖顶A、C之间的距离，但只有卷尺和测量仪两种工具若此人在地面上选一条基线EF，用卷尺测得EF的长度为a，并用测角仪测量了一些角度：AEF，AFE，CEF，CFE，AEC.图3719请你用文字和公式写出计算A、C之间距离的步骤和结果【解】第一步：在AEF中，利用正弦定理，得，解得AE.第二步：在CEF中，同理可得CE.第三步：在ACE中，利用余弦定理，得AC.10(2015郑州质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，BAC60，在
8、A地听到弹射声音的时间比B地晚秒在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)【解】由题意，设|AC|x，则|BC|x340x40，在ABC中，由余弦定理得|BC|2|BA|2|CA|22|BA|CA|cosBAC，即(x40)2x210 000100x，解得x420.在ACH中，|AC|420，CAH30，ACH90，所以|CH|AC|tanCAH140.即该仪器的垂直弹射高度CH为140米1如图3720，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的视角为()图37
9、20A30B45C60D75【解析】依题意可得AD20 m，AC30m，又CD50 m，所以在ACD中，由余弦定理，得cosCAD，又0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的视角为45.【答案】B2如图3721，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30，测得湖中之影的俯角为45，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)() 图3721A2.7 mB17.3 mC37.3 mD373 m【解析】在ACE中，tan 30.AE(m)在AED中，tan 45，AE(m)，CM10(2)37.3(m)【答案】C3江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面
10、上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距 m.【解析】如图，OMAOtan 4530(m)，ONAOtan 303010(m)，在MON中，由余弦定理得，MN10(m)【答案】104(2014浙江高考)如图3722，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小若AB15 m，AC25 m，BCM30，则tan 的最大值是 (仰角为直线AP与平面ABC所成角) 图3722【解析】如图，过点P作POBC于点O，连接AO，则P
11、AO.设COx m，则OPx m.在RtABC中，AB15 m，AC25 m，所以BC20 m，所以cosBCA.所以AO(m)所以tan .当，即x时，tan 取得最大值为.【答案】5(2016银川模拟)如图3723所示，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30，俯角为30的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60，俯角为60的C处图3723(1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？【解】(1)在RtPAB中，APB60，PA1，AB(千米)，在RtPAC中，APC30
12、，AC(千米)，在ACB中，CAB306090.BC.2.(2)DAC906030，sinDCAsin(180ACB)sinACB.sinCDAsin(ACB30)sinACBcos 30cosACBsin 30.，在ACD中，据正弦定理得，此时船距岛A为千米6(2013江苏高考)如图3724，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动
13、的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A，cos C.图3724(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【解】(1)在ABC中，因为cos A，cos C，所以sin A，sin C.从而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理，得ABsin C1 040(m)所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)由于0t，即0t8，故当t(min)时，甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理，得BCsin A500(m)乙从B出发时，甲已走了50(281)550(m)，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内12
