1、第2课时 导数的应用(一)单调性1函数yx2(x3)的单调递减区间是()A(，0)B(2，)C(0，2) D(2，2)答案C解析y3x26x，由y0，得0x2.2函数f(x)1xsinx在(0，2)上是()A增函数B减函数C在(0，)上增，在(，2)上减D在(0，)上减，在(，2)上增答案A解析f(x)1cosx0，f(x)在(0，2)上递增3已知e为自然对数的底数，则函数yxex的单调递增区间是()A1，) B(，1C1，) D(，1答案A解析令y(1x)ex0.ex0，1x0，x1，选A.4(2017湖北八校联考)函数f(x)lnxax(a0)的单调递增区间为()A(0，) B(，)C(，
2、) D(，a)答案A解析由f(x)a0，得0x0得x3.因为二次函数yx2x6的图像开口向上，对称轴为直线x，所以函数ylog2(x2x6)的单调递减区间为(，2)故选A.6若函数ya(x3x)的递减区间为(，)，则a的取值范围是()Aa0 B1a0Ca1 D0a1答案A解析ya(3x21)，解3x210，得x.f(x)x3x在(，)上为减函数又ya(x3x)的递减区间为(，)a0.7如果函数f(x)的导函数f(x)的图像如图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是()答案A8(2018四川双流中学)若f(x)x3ax21在(1，3)上单调递减，则实数a的取值范围是()A(，3 B，)C(3，
3、) D(0，3)答案B解析因为函数f(x)x3ax21在(1，3)上单调递减，所以f(x)3x22ax0在(1，3)上恒成立，即ax在(1，3)上恒成立因为，所以a.故选B.9(2018合肥一中模拟)函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)f(2x)，且当x(，1)时，(x1)f(x)0，设af(0)，bf()，cf(3)，则()Aabc BcabCcba Dbca答案B解析由f(x)f(2x)可得对称轴为x1，故f(3)f(12)f(12)f(1)又x(，1)时，(x1)f(x)0.即f(x)在(，1)上单调递增，f(1)f(0)f()，即caf(x3)成立的x的取值范围是()A(1，3)
4、B(，3)(3，)C(3，3) D(，1)(3，)答案D解析因为f(x)ln(exex)(x)2ln(exex)x2f(x)，所以函数f(x)是偶函数通过导函数可知函数yexex在(0，)上是增函数，所以函数f(x)ln(exex)x2在(0，)上也是增函数，所以不等式f(2x)f(x3)等价于|2x|x3|，解得x3.故选D.11已知f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0.对任意正数a，b，若ab，则必有()Aaf(b)bf(a) Bbf(a)af(b)Caf(a)f(b) Dbf(b)f(a)答案A解析xf(x)f(x)0，f(x)0，xf(x)f(x)0.设
5、y，则y0，故y为减函数或常数函数又a0，af(b)bf(a)12(2018福建南平质检)已知函数f(x)(xR)图像上任一点(x0，y0)处的切线方程为yy0(x02)(x021)(xx0)，那么函数f(x)的单调减区间是()A1，) B(，2C(，1)和(1，2) D2，)答案C解析因为函数f(x)(xR)图像上任一点(x0，y0)处的切线方程为yy0(x02)(x021)(xx0)，所以函数f(x)的图像在点(x0，y0)处的切线的斜率k(x02)(x021)，函数f(x)的导函数为f(x)(x2)(x21)由f(x)(x2)(x21)0，得x1或1x0得可解0x0解析yx2a，yx3a
6、x有三个单调区间，则方程x2a0应有两个不等实根，故a0.15已知函数f(x)kx33(k1)x2k21(k0)的单调递减区间是(0，4)(1)实数k的值为_；(2)若在(0，4)上为减函数，则实数k的取值范围是_答案(1)(2)00，故0k.16设函数f(x)x(ex1)ax2.(1)若a，求f(x)的单调区间；(2)若当x0时f(x)0，求a的取值范围答案(1)增区间(，1，0，)，减区间1，0(2)(，1解析(1)当a时，f(x)x(ex1)x2，f(x)ex1xexx(ex1)(x1)当x(，1)时，f(x)0；当x(1，0)时，f(x)0；当x(0，)时，f(x)0.故f(x)在(，
7、1，0，)上单调递增，在1，0上单调递减(2)f(x)x(ex1ax)令g(x)ex1ax，则g(x)exa.若a1，则当x(0，)时，g(x)0，g(x)为增函数，而g(0)0，从而当x0时g(x)0，即f(x)0.若a1，则当x(0，ln a)时，g(x)0，g(x)为减函数，而g(0)0，从而当x(0，lna)时g(x)0，即f(x)0，F(x)在(0，)上单调递增F(1)0，x01，代入式得a4.18设函数f(x)xekx(k0)(1)若k0，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(1，1)内单调递增，求k的取值范围答案(1)增区间为(，)，减区间为(，)(2)1，0)(
8、0，1解析(1)f(x)(1kx)ekx，若k0，令f(x)0，得x，所以函数f(x)的单调递增区间是(，)，单调递减区间是(，)(2)f(x)在区间(1，1)内单调递增，f(x)(1kx)ekx0在(1，1)内恒成立，1kx0在(1，1)内恒成立，即解得1k1.因为k0，所以k的取值范围是1，0)(0，11函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()A(，2) B(0，3)C(1，4) D(2，)答案D解析f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex，令f(x)0，解得x2，故选D.2.在R上可导的函数f(x)的图像如图所示，则关于x的不等式xf(x)0，使xf(x)0的范围为(，1)；
9、在(1，1)上，f(x)递减，所以f(x)0，使xf(x)0的范围为(0，1)综上，关于x的不等式xf(x)0，得x.单调递增区间为(，)由y0，得0x2，则f(x)2x4的解集为_答案(1，)解析令g(x)f(x)2x4，则g(x)f(x)20，g(x)在R上为增函数，且g(1)f(1)2(1)40.原不等式可转化为g(x)g(1)，解得x1，故原不等式的解集为(1，)5已知f(x)exax1，求f(x)的单调递增区间答案a0时，f(x)在R上单调递增；a0时，f(x)增区间为(lna，)6已知函数f(x)mln(x1)(x1)，讨论f(x)的单调性解析f(x)(x1)当m0时，f(x)0时
10、，令f(x)0，得x0，得x1，函数f(x)在(1，)上单调递增综上所述，当m0时，f(x)在(1，)上单调递减；当m0时，f(x)在(1，1)上单调递减，在(1，)上单调递增7已知函数g(x)x3x22x1，若g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围答案(，2)解析g(x)x2ax2，依题意，存在x(2，1)，使不等式g(x)x2ax20成立当x(2，1)时，a0.(1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；(2)证明：存在a(0，1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)0在区间(1，)内有唯一解答案(1)当x(0，1)时，g(x)0，g(x)单调递增(2)
11、略解析(1)由已知，函数f(x)的定义域为(0，)，g(x)f(x)2(x1lnxa)，所以g(x)2.当x(0，1)时，g(x)0，g(x)单调递增(2)由f(x)2(x1lnxa)0，解得ax1lnx.令(x)2xlnxx22x(x1lnx)(x1lnx)2(1lnx)22xlnx，则(1)10，(e)2(2e)0.于是存在x0(1，e)，使得(x0)0.令a0x01lnx0u(x0)，其中u(x)x1lnx(x1)由u(x)10知，函数u(x)在区间(1，)上单调递增，故0u(1)a0u(x0)u(e)e21，即a0(0，1)当aa0时，有f(x0)0，f(x0)(x0)0.再由(1)知，f(x)在区间(1，)上单调递增，当x(1，x0)时，f(x)f(x0)0；当x(x0，)时，f(x)0，从而f(x)f(x0)0；又当x(0，1时，f(x)(xa0)22xlnx0.故x(0，)时，f(x)0.综上所述，存在a(0，1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)0在区间(1，)内有唯一解8
