1、第3课时 导数的应用(二)极值与最值1函数yx33x29x(2x2)有()A极大值为5，极小值为27B极大值为5，极小值为11C极大值为5，无极小值D极大值为27，无极小值答案C解析y3x26x93(x22x3)3(x3)(x1)，y0时，x3或x1.2x0.当x2时， f(x)0，这时f(x)为增函数；当0x2时，f(x)0，得x0，令f(x)0，得x0，则函数f(x)在(1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，f(1)e11，f(1)e1，f(1)f(1)2e2ef(1)故选D.6若函数yax3bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和，则()Aa2b0 B2ab0C2ab0 Da2
2、b0答案D解析y3ax22bx，据题意，0，是方程3ax22bx0的两根，a2b0.7已知f(x)2x36x2m(m为常数)在2，2上有最大值3，那么此函数在2，2上的最小值是()A37 B29C5 D以上都不对答案A解析f(x)6x212x6x(x2)，f(x)在(2，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减x0为极大值点，也为最大值点f(0)m3，m3.f(2)37，f(2)5，最小值是37，选A.8若函数f(x)x33bx3b在(0，1)内有极小值，则()A0b1 Bb1Cb0 Db答案A解析f(x)在(0，1)内有极小值，则f(x)3x23b在(0，1)上先负后正，f(0)3b0.b0.
3、f(1)33b0，b1.综上，b的取值范围为0b1.9设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图像可能是()答案C解析由f(x)在x2处取得极小值可知，当x2时，f(x)0；当2x0，则xf(x)0时，xf(x)0.10已知f(x)x3px2qx的图像与x轴相切于非原点的一点，且f(x)极小值4，那么p，q值分别为()A6，9 B9，6C4，2 D8，6答案A解析设图像与x轴的切点为(t，0)(t0)，设注意t0，可得出p2t，qt2.p24q，只有A满足这个等式(亦可直接计算出t3)11若函数f(x)ax33x1对于x1，1总有f(
4、x)0成立，则实数a的取值范围为()A2，) B4，)C4 D2，4答案C解析f(x)3ax23，当a0时，f(x)minf(1)a20，a2，不合题意；当01时，f(1)a40，且f()10，解得a4.综上所述，a4.12若f(x)x(xc)2在x2处有极大值，则常数c的值为_答案6解析f(x)3x24cxc2，f(x)在x2处有极大值，解得c6.13(2018河南信阳调研)已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处取得极值10，则f(2)的值为_答案18解析f(x)3x22axb，由题意得即解得或当a3，b3时，f(x)3(x1)20，f(x)无极值当a4，b11时，令f(x)0，得x11
5、，x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，)(，1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值f(x)x34x211x16，f(2)18.14(2018北京市昌平区一模)若函数f(x)在x1处取得极值，则a_答案3解析f(x)，由f(x)在x1处取得极值知f(1)0，a3.15已知函数f(x)lnx，g(x)x3x2x.(1)若m3，求f(x)的极值；(2)若对于任意的s，t，2，都有f(s)g(t)，求实数m的取值范围答案(1)f(x)有极小值f(3)1ln3，没有极大值(2)1，)解析(1)f(x)的定义域为(0，)，当m3时，f(x)lnx.f(x)，f(3)0，当x
6、3时，f(x)0，f(x)是增函数，当0x3时，f(x)0，g(x)在，2上是单调递增函数，g(2)10最大对于任意的s，t，2，f(s)g(t)恒成立，即对任意x，2，f(x)lnx1恒成立，mxxlnx.令h(x)xxlnx，则h(x)1lnx1lnx.当x1时，h(x)0，当0x0，h(x)在(0，1上是增函数，在1，)上是减函数，当x，2时，h(x)最大值为h(1)1，m1，即m1，)16(2018贵州遵义联考)已知函数f(x)x3ax210.(1)当a1时，求函数yf(x)的单调递增区间；(2)在区间1，2内至少存在一个实数x，使得f(x)0，得x，所以函数yf(x)在(，0)与(，
7、)上为增函数，即函数yf(x)的单调增区间是(，0)和(，)(2)f(x)3x22ax3x(xa)，当a1，即a时，f(x)0在1，2恒成立，f(x)在1，2上为增函数，故f(x)minf(1)11a，所以11a11，这与a矛盾当1a2，即a3时，若1xa，则f(x)0；若a0.所以当xa时，f(x)取得最小值，因此f(a)0，即a3a310a3103，这与a3矛盾当a2，即a3时，f(x)0在1，2恒成立，f(x)在1，2上为减函数，所以f(x)minf(2)184a，所以184a，满足a3.综上所述，实数a的取值范围为(，)17已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2
8、)求f(x)在区间0，1上的最小值答案(1)减区间(，k1)，增区间(k1，)(2)k1时，最小值f(0)k；1k2时，最小值f(k1)ek1；k2时，最小值f(1)(1k)e解析(1)f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1.f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以f(x)的单调递减区间是(，k1)，单调递增区间是(k1，)(2)当k10，即k1时，函数f(x)在0，1上单调递增，所以f(x)在区间0，1上的最小值为f(0)k；当0k11，即1k0，则下列结论中正确的是()Ax1一定是函数f(x)的极大值点Bx1一定是函数f(x)的极小
9、值点Cx1不是函数f(x)的极值点Dx1不一定是函数f(x)的极值点答案B解析x1时，f(x)0，x1时，f(x)0 Bm1 Dm1答案B解析yexm，则exm0必有根，mex0.3函数f(x)，x0，4的最大值是()A0 B.C. D.答案B4函数f(x)x3ax23x9，已知f(x)在x3时取得极值，则a()A2 B3C4 D5答案D解析f(x)3x22ax3，令f(3)0，得a5.5设aR，若函数yeax3x，xR有大于零的极值点，则()AaCa3答案C解析yaeax3，由y0，得xln()0，a0.又yaeax3x有正根，必有得a3.故选C.6已知e为自然对数的底数，设函数f(x)(e
10、x1)(x1)k(k1，2)，则()A当k1时，f(x)在x1处取到极小值B当k1时，f(x)在x1处取到极大值C当k2时，f(x)在x1处取到极小值D当k2时，f(x)在x1处取到极大值答案C解析当k1时，f(x)ex(x1)ex1，此时f(1)0，故排除A、B项；当k2时，f(x)ex(x1)2(ex1)(2x2)，此时f(1)0，在x1附近左侧，f(x)0，所以x1是f(x)的极小值点7函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，则a，b的值为()Aa3，b3，或a4，b11Ba4，b1，或a4，b11Ca1，b5D以上都不正确答案D解析f(x)3x22axb，依题意有即解得或当a
11、3且b3时，f(x)3x26x30，函数f(x)无极值点，故符合题意的只有故选D.8若函数f(x)x33x在(a，6a2)上有最小值，则实数a的取值范围是()A(，1) B，1)C2，1) D(，2答案C解析f(x)3x230，解得x1，且x1为函数的极小值点，x1为函数的极大值点因为函数f(x)在区间(a，6a2)上有最小值，所以函数f(x)的极小值点必在区间(a，6a2)内，即实数a满足a16a2，且f(a)a33af(1)2.由a16a2，解得a1.不等式a33af(1)2，所以a33a20，所以a313(a1)0，所以(a1)(a2a2)0，所以(a1)2(a2)0，即a2.故实数a的
12、取值范围是2，1)故选C.9.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)答案D解析(1)当x0.(1x)f(x)0，f(x)0，即f(x)在(，2)上是增函数(2)当2x0.(1x)f(x)0，f(x)0，即f(x)在(2，1)上是减函数(3)当1x2时，1x0，f(x)2时，1x0.(1x)f(x)0，即f(x)在(2，)上是增函数综上，f
13、(2)是极大值，f(2)是极小值10下列关于函数f(x)(2xx2)ex的判断正确的是_f(x)0的解集是x|0x0，则0x2，正确；f(x)ex(x)(x)，f(x)在(，)和(，)上单调递减，在(，)上单调递增f()是极小值，f()是极大值，正确；易知也正确11(2015重庆)已知函数f(x)ax3x2(aR)在x处取得极值(1)确定a的值；(2)若g(x)f(x)ex，讨论g(x)的单调性答案(1)a(2)g(x)在(，4和1，0上为减函数，在4，1和0，)上为增函数解析(1)对f(x)求导得f(x)3ax22x，因为f(x)在x处取得极值，所以f()0，即3a2()0，解得a.(2)由
14、(1)得g(x)(x3x2)ex.g(x)(x3x22x)exx(x1)(x4)ex.令g(x)0，解得x0，x1或x4.当x4时，g(x)0，故g(x)为减函数；当4x0，故g(x)为增函数；当1x0时，g(x)0时，g(x)0，故g(x)为增函数综上，知g(x)在(，4和1，0上为减函数，在4，1和0，)上为增函数12已知函数f(x).(1)若函数f(x)在区间(a，a)(其中a0)上存在极值，求实数a的取值范围；(2)如果当x1时，不等式f(x)恒成立，求实数m的取值范围答案(1)a0，所以f(x).当0x0；当x1时，f(x)0)上存在极值，解得a0，从而g(x)0，故g(x)在1，)上也是单调递增，g(x)ming(1)2，m2.10
