1、考点规范练28数列的概念与表示考点规范练B册第18页基础巩固1.数列1,23,35,47,59,的一个通项公式an=()A.n2n+1B.n2n-1C.n2n-3D.n2n+3答案B2.若Sn为数列an的前n项和,且Sn=nn+1,则1a5等于()A.56B.65C.130D.30答案D解析当n2时,an=Sn-Sn-1=nn+1-n-1n=1n(n+1),1a5=5(5+1)=30.3.若数列an的前n项积为n2,则当n2时,an=()A.2n-1B.n2C.(n+1)2n2D.n2(n-1)2答案D解析设数列an的前n项积为Tn,则Tn=n2,当n2时,an=TnTn-1=n2(n-1)2
2、.4.(2016河南名校联盟4月模拟)若数列an满足1an+1-1an=d(nN*,d为常数),则称数列an为调和数列.已知数列1xn为调和数列,且x1+x2+x20=200,则x5+x16=()A.10B.20C.30D.40答案B解析数列1xn为调和数列,11xn+1-11xn=xn+1-xn=d.xn是等差数列.又x1+x2+x20=200=20(x1+x20)2,x1+x20=20.又x1+x20=x5+x16,x5+x16=20.5.(2016石家庄二模)已知数列an满足an+2=an+1-an,且a1=2,a2=3,Sn为数列an的前n项和,则S2 016的值为()A.0B.2C.
3、5D.6答案A解析an+2=an+1-an,a1=2,a2=3,a3=a2-a1=1,a4=a3-a2=-2,a5=a4-a3=-3,a6=a5-a4=-1,a7=a6-a5=2,a8=a7-a6=3.数列an是周期为6的周期数列.又2 016=6336,S2 016=336(2+3+1-2-3-1)=0,故选A.6.已知数列an的前4项分别是32,1,710,917,则这个数列的一个通项公式是an=.答案2n+1n2+1解析数列an的前4项可分别变形为21+112+1,22+122+1,23+132+1,24+142+1,故an=2n+1n2+1.7.已知数列an满足:a1+3a2+5a3+
4、(2n-1)an=(n-1)3n+1+3(nN*),则数列an的通项公式an=.导学号74920483答案3n解析a1+3a2+5a3+(2n-3)an-1+(2n-1)an=(n-1)3n+1+3,把n换成n-1,得a1+3a2+5a3+(2n-3)an-1=(n-2)3n+3,两式相减得an=3n.8.已知数列an的通项公式为an=(n+2)78n,则当an取得最大值时,n=.答案5或6解析由题意令anan-1,anan+1,(n+2)78n(n+1)78n-1,(n+2)78n(n+3)78n+1,解得n6,n5.n=5或n=6.9.(2016河南中原学术联盟仿真)若数列an的通项为an
5、=(-1)n(2n+1)sinn2+1,前n项和为Sn,则S100=.导学号74920484答案200解析当n为偶数时,则sinn2=0,即an=(2n+1)sinn2+1=1(n为偶数).当n为奇数时,若n=4k+1,kZ,则sinn2=sin2k+2=1,即an=-2n;若n=4k+3,kZ,则sinn2=sin2k+32=-1,即an=2n+2.故a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4=-2(4k+1)+1+2+2(4k+3)+1=8,因此S100=10048=200.10.已知数列an的前n项和为Sn.(1)若Sn=(-1)n+1n,求a5+a6及an;(2)若Sn=3n+2n
6、+1,求an.解(1)因为Sn=(-1)n+1n,所以a5+a6=S6-S4=(-6)-(-4)=-2.当n=1时,a1=S1=1;当n2时,an=Sn-Sn-1=(-1)n+1n-(-1)n(n-1)=(-1)n+1n+(n-1)=(-1)n+1(2n-1).又a1也适合于此式,所以an=(-1)n+1(2n-1).(2)当n=1时,a1=S1=6;当n2时,an=Sn-Sn-1=(3n+2n+1)-3n-1+2(n-1)+1=23n-1+2.由于a1不适合式,所以an=6,n=1,23n-1+2,n2.能力提升11.(2016郑州二模)设数列an满足a1=1,a2=3,且2nan=(n-1
7、)an-1+(n+1)an+1,则a20的值是()A.415B.425C.435D.445导学号74920485答案D解析由2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,得nan-(n-1)an-1=(n+1)an+1-nan=2a2-a1=5.令bn=nan,则数列bn是公差为5的等差数列,故bn=1+(n-1)5=5n-4.所以b20=20a20=520-4=96,所以a20=9620=445.12.已知函数f(x)是定义在(0,+)上的单调函数,且对任意的正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y).若数列an的前n项和为Sn,且满足f(Sn+2)-f(an)=f(3)(nN*),则
8、an等于()A.2n-1B.nC.2n-1D.32n-1导学号74920486答案D解析由题意知f(Sn+2)=f(an)+f(3)=f(3an)(nN*),Sn+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n2),两式相减得,2an=3an-1(n2).又n=1时,S1+2=3a1=a1+2,a1=1.数列an是首项为1,公比为32的等比数列.an=32n-1.13.已知数列an的前n项和为Sn,Sn=2an-n,则an=.答案2n-1解析当n2时,an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1),即an=2an-1+1,an+1=2(an-1+1).又S1=2a1-1,a1=1.数列an
9、+1是以首项为a1+1=2,公比为2的等比数列,an+1=22n-1=2n,an=2n-1.14.设数列an的前n项和为Sn.已知a1=a(a3),an+1=Sn+3n,nN*.(1)设bn=Sn-3n,求数列bn的通项公式;(2)若an+1an,求a的取值范围.解(1)因为an+1=Sn+3n,所以Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,即Sn+1=2Sn+3n,由此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n),即bn+1=2bn.又b1=S1-3=a-3,故bn的通项公式为bn=(a-3)2n-1.(2)由题意可知,a2a1对任意的a都成立.由(1)知Sn=3n+(a-3)2n-1.于是,当n2时
10、,an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2=23n-1+(a-3)2n-2,故an+1-an=43n-1+(a-3)2n-2=2n-21232n-2+a-3.当n2时,由an+1an,可知1232n-2+a-30,即a-9.又a3,故所求的a的取值范围是-9,3)(3,+).高考预测15.已知数列an的通项公式是an=-n2+12n-32,其前n项和是Sn,则对任意的nm(其中m,nN*),Sn-Sm的最大值是.导学号74920487答案10解析由an=-n2+12n-32=-(n-4)(n-8)0得4n8,即在数列an中,前三项以及从第9项起后的各项均为负且a4=a8=0,因此Sn-Sm的最大值是a5+a6+a7=3+4+3=10.5
