1、考点规范练14导数的概念及运算考点规范练B册第8页基础巩固1.已知函数f(x)=3x+1,则limx0f(1-x)-f(1)x的值为()A.-13B.13C.23D.0答案A解析limx0f(1-x)-f(1)x=-limx0f(1-x)-f(1)-x=-f(1)=-131-23=-13.2.已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率为()A.eB.-eC.1eD.-1e答案C解析由题意可得y=ln x的定义域为(0,+),且y=1x.设切点为(x0,ln x0),则切线方程为y-ln x0=1x0(x-x0).因为切线过点(0,0),所以-ln x0=-1,解得x0=e,故此切线的斜率
2、为1e.3.已知奇函数y=f(x)在区间(-,0上的解析式为f(x)=x2+x,则切点横坐标为1的切线方程是()A.x+y+1=0B.x+y-1=0C.3x-y-1=0D.3x-y+1=0答案B解析由函数y=f(x)为奇函数,可得f(x)在0,+)上的解析式为f(x)=-x2+x,故切点为(1,0).因为y=-2x+1,所以y|x=1=-1,故切线方程为y=-(x-1),即x+y-1=0.4.已知y=f(x)是可导函数,如图,直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g(x)是g(x)的导函数,则g(3)=()A.-1B.0C.2D.4答案B解析由题图可知曲线
3、y=f(x)在x=3处切线的斜率等于-13,故f(3)=-13.g(x)=xf(x),g(x)=f(x)+xf(x),g(3)=f(3)+3f(3).又由题图可知f(3)=1,g(3)=1+3-13=0.5.(2016河南郑州二模)曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则P点的坐标为()A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,3)和(-1,3)D.(1,-3)答案C解析f(x)=x3-x+3,f(x)=3x2-1.设点P(x,y),则f(x)=2,即3x2-1=2,解得x=1或x=-1,故P(1,3)或(-1,3).经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x
4、-1上,符合题意.故选C.6.已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,2),则ab等于()A.-8B.-6C.-1D.5答案A解析由题意得y=kx+1过点A(1,2),故2=k+1,即k=1.y=3x2+a,且直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,2),k=3+a,即1=3+a,a=-2.将点A(1,2)代入曲线方程y=x3+ax+b,可解得b=3,即ab=(-2)3=-8.故选A.7.(2016山东,文10)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sin
5、xB.y=ln xC.y=exD.y=x3答案A解析设曲线上两点P(x1,y1),Q(x2,y2).则由导数几何意义可知,两条切线的斜率分别为k1=f(x1),k2=f(x2),若函数具有T性质,则k1k2=f(x1)f(x2)=-1.A项,f(x)=cos x,显然k1k2=cos x1cos x2=-1有无数组解,所以该函数具有性质T;B项,f(x)=1x(x0),显然k1k2=1x11x2=-1无解,故该函数不具有性质T;C项,f(x)=ex0,显然k1k2=ex1ex2=-1无解,故该函数不具有性质T;D项,f(x)=3x20,显然k1k2=3x123x22=-1无解,故该函数不具有性
6、质T.综上,选A.8.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+154x-9都相切,则a等于()A.-1或-2564B.-1或214C.-74或-2564D.-74或7答案A解析因为y=x3,所以y=3x2.设过点(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,x03),则在该点处的切线斜率为k=3x02,所以切线方程为y-x03=3x02(x-x0),即y=3x02x-2x03.又点(1,0)在切线上,则x0=0或x0=32.当x0=0时,由y=0与y=ax2+154x-9相切,可得a=-2564;当x0=32时,由y=274x-274与y=ax2+154x-9相切,可得a=-1.9.
7、已知函数f(x)=(x+1)2+sinxx2+1,其导函数记为f(x),则f(2 016)+f(2 016)+f(-2 016)-f(-2 016)=.导学号74920448答案2解析f(x)=1+2x+sinxx2+1,f(x)=2x2+2+x2cosx+cosx-4x2-2xsinx(x2+1)2,可知f(x)是偶函数,f(2 016)-f(-2 016)=0.又f(2 016)+f(-2 016)=(2 016+1)2+sin2 0162 0162+1+(1-2 016)2+sin(-2 016)(-2 016)2+1=2(2 0162+1)2 0162+1=2,f(2 016)+f(2
8、 016)+f(-2 016)-f(-2 016)=2.10.已知直线ax-by-3=0与f(x)=xex在点P(1,e)处的切线互相垂直,则ab=.答案-12e解析对函数f(x)=xex求导可得f(x)=xex+x(ex)=ex(x+1),则函数f(x)=xex在点P(1,e)处的切线的斜率为k=f(1)=e1(1+1)=2e.又直线ax-by-3=0与切线垂直,则有ab=-12e.11.曲线y=log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于.答案12log2e解析y=1xln2,k=1ln2,切线方程为y=1ln2(x-1),所围三角形的面积为S=1211ln2=12ln2=
9、12log2e.12.若函数f(x)=12x2-ax+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是.答案2,+)解析f(x)=12x2-ax+ln x,f(x)=x-a+1x.f(x)存在垂直于y轴的切线,f(x)存在零点,x+1x-a=0有解,a=x+1x2(x0).能力提升13.函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图所示,则y=f(x),y=g(x)的图象可能是()答案D解析由y=f(x)的图象知y=f(x)在(0,+)上单调递减,说明函数y=f(x)的切线的斜率在(0,+)上也单调递减,故可排除A,C.又由图象知y=f(x)与y=g(x)的图象在x=x0处相交,说明y=f
10、(x)与y=g(x)的图象在x=x0处的切线的斜率相同,故可排除B.故选D.14.下面四个图象中,有一个是函数f(x)=13x3+ax2+(a2-1)x+1(aR)的导函数y=f(x)的图象,则f(-1)=()A.13B.-23C.73D.-13或53答案D解析f(x)=x2+2ax+a2-1,f(x)的图象开口向上,故排除.若f(x)的图象为,则a=0,f(-1)=53;若f(x)的图象为,则a2-1=0.又对称轴x=-a0,a=-1,f(-1)=-13.15.(2016四川,文10)设直线l1,l2分别是函数f(x)=-lnx,0x1图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且
11、l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则PAB的面积的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+)D.(1,+)导学号74920449答案A解析由题意得P1,P2分别位于两段函数的图象上.设P1(x1,ln x1),P2(x2,-ln x2)(不妨设x11,0x21,SPAB=12|yA-yB|xP|=2x11+x121+x121+x12=1.0SPAB1,故选A.16.(2016河南中原名校4月仿真)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=ex+x2+1,则函数h(x)=2f(x)-g(x)在点(0,h(0)处的切线方程是.导学号7492045
12、0答案x-y+4=0解析f(x)-g(x)=ex+x2+1,且f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,f(-x)-g(-x)=f(x)+g(x)=e-x+x2+1.f(x)=ex+e-x+2x2+22,g(x)=e-x-ex2.h(x)=2f(x)-g(x)=ex+e-x+2x2+2-e-x-ex2=32ex+12e-x+2x2+2.h(x)=32ex-12e-x+4x,即h(0)=32-12=1.又h(0)=4,切线方程为x-y+4=0.高考预测17.若函数f(x)=ln x-f(1)x2+5x-4,则f12=.答案5解析f(x)=1x-2f(1)x+5,f(1)=1-2f(1)+5,解得f(1)=2,f12=2-2+5=5.7
