1、空间中的点、直线与空间向量导学案 学习目标1理解位置向量、方向向量的概念2能利用直线的方向向量解决两条直线所成的角问题3初步了解两条异面直线的距离的定义 重点难点重点：点的位置向量与直线的方向向量的概念及其应用难点：用直线的方向向量解决两条直线所成的角，判断两直线平行与垂直 知识梳理 1点的位置向量、直线的方向向量 位置向量一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯一确定，此时，通常称为点P的位置向量方向向量一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量此时，也称向量v与直线l
2、平行，记作vl 学习过程一、情境导学 在交通繁忙的路口，交警常常借助专用的手势，作为 “语言” 来指挥交通在不同领域有不同的“语言”，研究空间中的直线及其夹角也可以先提炼出与之有关联的“向量语言”来进行同学们，你们知道是如何提炼的吗？提炼出来后又将如何运用呢？ 二、探究新知问题1：（1）如图所示的，四面体ABCD中，怎样借助空间向量来描述A，B，C在空间中是不同的点？（2）一般地，怎样借助空间向量来刻画空间中点的位置？ 问题2：（1）如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1中，设AB = v，如果只借助v，能不能确定直线AB在空间中的位置？（2）一般地，怎样借助空间向量来刻画空间中直线的位置？
3、1点的位置向量、直线的方向向量 位置向量一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯一确定，此时，通常称为点P的位置向量方向向量一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量此时，也称向量v与直线l平行，记作vl思考：空间一条直线的方向向量唯一吗？2空间中两条直线所成的角设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为则=或=特别地，sin =sin，cos =|cos|；l1l2= 2 v1v2=0 1已知直线a，b的方向向量分别是m=（1，k，1）
4、，n=（k，k+2，2），若ab则k=3两条异面直线的距离 一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，Al1，Bl2，ABl1，ABl2，则称AB为l1与l2的公垂线段并且空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离思考：怎样在空间直角坐标系中求两条异面直线的公垂线段的长度？提示：利用向量共线、向量垂直的条件建立方程组，求出公垂线段对应的向量，准确找出公垂线段在图中的位置，运用向量求出公垂线段的长度例1已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点求证：直线BD1与直线CE不平行 解决直线的位置关系，可用直线对应的方向向量的
5、坐标来刻画，对于此类问题应注意先要进行宏观判断，再合理地选取坐标公式若直线l1的方向向量u1=（a1，b1，c1），直线l2的方向向量为u2=（a2，b2，c2）（注：下面的，kR）1如果l1l2，那么u1u2u1=u2（a1，b1，c1）=（a2，b2，c2）；2如果l1l2，那么u1u2u1u2=0a1a2+b1b2+c1c2=0跟踪训练1已知a=（2，3，1），b=（2，0，4），c=（4，6，2），则下列结论正确的是（）Aac， bc Bab， acCac， ab D以上都不对例2 如图，在三棱锥OABC中，OA， OB，OC两两垂直，E为OC的中点，且OB=OC=2OA=2， 求直线
6、AE与BC所成角的余弦值的大小 求解异面直线夹角方法，常用的就是建系后利用向量的坐标处理，除此之外还要注意其他方法的要领（1）传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解这种方法灵活技巧性强，强调对夹角定义的挖掘（2）向量法：在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则AB与CD可分别为a，b的方向向量，则cos =|ABCD|AB|CD|这一方法思路简单，不需构造，但计算量一般较大运用向量法常用两种途径：基底法在一些不适合建立坐标系的题型中，我们经常采用取定基底的方法，这是小技巧在由公式cos=ab|a|b|求向量a，b的夹角时，关键是求出ab及|a|与|b|，一般是把a，
7、b用基向量表示出来，再求有关的量坐标法根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单跟踪训练2 如图，在三棱柱OABO1A1B1中，平面OBB1O1平面OAB，O1OB=60，AOB=90，且OB=OO1=2，OA= 3 ，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小例3 如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2，ABC=DBC=120E，F分别为AC，DC的中点求证：EFBC 证明两直线垂直的基本步骤 建立空间直角坐标系写出点的坐标求直线的方向向量证明向量垂直得到两直线垂直对于几何体为三棱锥的情况一
8、定要注意建系的重要性，要使已知数据和所用的点更多地落在坐标平面或坐标轴上为标准本例中要充分抓住平面ABC和平面BCD互相垂直这一条件跟踪训练3 已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN= 14 CC1求证：AB1MN金题典例： 如图，已知ABCD中，AB=AC=1，ACD=90，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求B，D间的距离 达标检测1若A（1，0，1），B（2，1，2）在直线l上，则直线l的一个方向向量是（）A（2，2，6） B（1，1，3） C（3，1，1） D（3，0，1）2设直线l1，l2的方向向量分别为a=（2，
9、2，1），b=（3，2，m），若l1l2，则m等于（）A2B2C10 D63已知a，b是异面直线，A，Ba，C，Db，ACb，BDb，且AB=2，CD=1，则a，b所成的角是4已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱CC1上的动点，求证：A1EBD 课堂小结参考答案：知识梳理学习过程问题1： 一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以有向量OP 唯一确定，此时，OP通常称为点P的位置向量特别地，空间直角坐标系中的任意一点都有它的位置向量唯一确定，从而也就有它的坐标唯一确定问题2：一般地如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与
10、 l平行或重合，则称 v为直线L的一个方向向量，此时也称 v与直线 l平行，记作vl1解析：ab，mn，即mn=0k+k2+2k+2=0即k2+3k+2=0，k=2或k=1答案：1或2例1 证明：以D为原点，DA，DC，DD1的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则B1，1，0，D1（0，0，1）， C0，1，0，E0，12，1，所以BD1= 1，1，1， CE =0，12，1，又因为01121，所以BD1与CE不平行因为BD1为直线BD1的一个方向，CE向量为直线CE的一个方向，向量，当时BD1 CE必有BD1 CE由上可知直线与直线不平行
11、 跟踪训练1 答案：C例2 解：（方法一） 根据已知可得OA，OB， OC不共面且OA=1， OB=OC=2OAOB=OB OC=OC OA=0又因为AE=OEOA =12OCOA， BC=OCOB所以AE2=（12OCOA）（12OCOA）=2， BC2=（OCOB）（OCOB）=8所以cos=AEBCAEBBC=12因此直线AE与BC所成角的余弦值的大小为3解：（方法二）因为OA，OB，OC两两互相垂直所以能以O为原点， OA，OB，OC的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示直角坐标系，由OB=OC=2OA=2可知A1，0，0，B0，2，0，E（0，0，1）， C0，0，2，所以
12、AE=（1，0，1），OE =（0，0，1） ， 因此所以cos=AEBCAEBBC=122（2）2+22=12因此直线AE与BC所成角的余弦值的大小为3解：（方法三）设OB的中点为F，连接EF，AF由E，F分别为OC，OB中点可知EF为OBC的中位线，从而EF BC因此直线AE与BC所成角的大小等于直线AE与EF所成角的大小又易知OA=OE=OF=1，而且OA，OE，OF两两垂直因此AE=EF=AF= 2所以AEF是等边三角形，从而AEF=3因此直线AE与BC所成角的大小为3 跟踪训练2 解：以O为坐标原点，OA，OB的方向为x轴，y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系则O（0，0，0），
13、O1（0，1，3），A（3，0，0），A1（3，1，3），B（0，2，0）A1B=（3，1，3），O1A=（3，1，3）|cos|=|A1BO1A|A1B|O1A|=|（3，1，3）（3，1，3）|77=17异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为17例3 证明：由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系易得B（0，0，0），A0，1，3，D（3，1，0），C（0，2，0）因而E0，12，32，F32，12，0所以EF=32，0，32，BC=（0，2，0）则EFBC=0，所以E
14、FBC，即EFBC跟踪训练3 证明：设AB中点为O，作OO1AA1以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz由已知得A12，0，0，B12，0，0，C0，32，0N0，32，14，B112，0，1M为BC中点，M14，34，0MN=14，34，14，AB1=（1，0，1），MNAB1=14+0+14=0MNAB1，即AB1MN金题典例：错解： 如图，因为ACD=90所以ACCD=0，同理ACBA=0因为AB与CD的夹角为60所以AB与CD的夹角为60因为BD=BA+AC+CD所以|BD|2=|BA|2+|AC|2+|CD|2
15、+2BAAC+2BACD+2ACCD=3+2cos=4所以|BD|=2，即B，D间的距离为2错因分析： 由异面直线AB与CD成60角得到BA，CD所成的角为60，这是错误的混淆了异面直线所成的角与向量的夹角的定义，从而致误向量的夹角与向量的方向有关系，且向量的夹角的范围为0；异面直线的夹角与直线的方向没有关系，异面直线的夹角的范围是02，两者的范围不一样正解：因为ACD=90所以ACCD=0，同理ACBA=0因为AB与CD的夹角为60所以BA与CD的夹角为60或120因为BD=BA+AC+CD所以|BD|2=|BA|2+|AC|2+|CD|2+2BAAC+2BACD+2ACCD=3+2cos当
16、BA与CD所成的角为60时，|BD|2=3+2cos=4，所以|BD|=2，即B、D间的距离为2；当BA与CD所成的角为120时，|BD|2=3+2cos=2，所以|BD|=2综上可得，B，D间的距离为2或2达标检测1解析：A，B在直线l上，AB=（1，1，3），与AB共线的向量（2，2，6）可以是直线l的一个方向向量答案：A2解析：因为ab，故ab=0即23+2（2）+m=0，解得m=10答案：C3解析：ABCD=（AC+CD+DB）CD=|CD|2=1cos=ABCD|AB|CD|=12所以=3答案：34证明：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设正方体棱长为a，则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），A1（a，0，a），C1（0，a，a）设E（0，a，b）（0ba），A1E=（a，a，ba）BD=（a，a，0），A1EBD=a2a2+（ba）0=0A1EBD，即A1EBD 12 / 12
