1、第 卷第期 年月太 原 师 范 学 院 学 报(自然科学版)J OUR NA LO FT A I YUANN O RMA LUN I V E R S I T Y(N a t u r a lS c i e n c eE d i t i o n)V o l N o J u n 收稿日期:作者简介:常帅(),男,山西大同人,硕士,讲师,主要从事统计分布与极值统计的研究通信作者:常帅,讲师,E m a i l:q q c o m定数截尾样本下对数艾拉姆咖分布的参数估计常帅(太原师范学院 数学与统计学院,山西 晋中 )摘要针对对数艾拉姆咖分布,在定数截尾样本情形下,讨论了该分布参数的估计问题利用极大似然
2、估计法与逆矩估计法,分别得到参数的极大似然估计与逆矩估计,并借助M o n t e C a r l o模拟进行比较,得出这两种点估计的精度相当同时,基于逆矩估计的推导过程,给出参数的一种区间估计最后,通过实例分析得出本文的估计方法是可行的 关键词对数艾拉姆咖分布;定数截尾样本;极大似然估计;逆矩估计 文章编号 ()中图分类号O 文献标识码A 引言基于艾拉姆咖分布,文献 提出了一类新的分布,称为对数艾拉姆咖分布,讨论了对数艾拉姆咖分布的若干性质,并且在全样本情形下研究了对数艾拉姆咖分布的参数估计问题然而,在产品寿命试验中,受试验时间、试验设备、观测手段、费用等因素的限制,造成试验数据丢失,只能得
3、到一组不完全样本因此,对不完全数据的处理是统计分析的一个重要领域,其中定数截尾是不完全数据的一种基本类型在此基础上,本文研究了对数艾拉姆咖分布的参数估计问题假设随机变量X服从于对数艾拉姆咖分布,其分布函数与密度函数分别为F(x)(l nx)x,x,;p(x)l nxx,x,定数截尾样本下对数艾拉姆咖分布的参数点估计假设总体X服从于对数艾拉姆咖分布,X,Xn是来自总体X的一个样本容量为n简单随机样本,通过定数截尾试验,得到截尾数为rn的定数截尾样本X()X(r),该样本的一组观测值为x()x(r)参数的极大似然估计给定定数截尾样本的一组观测值x()x(r),可得似然函数L()n!(nr)!Cri
4、(l nx(i)x(i)(l nx(r)x(r)nr两边取对数运算,得到对数似然函数l nL()l nn!(nr)!rl nril n l nx(i)()l nx(i)(nr)l n(l nx(r)(nr)l nx(r)令dl nL()d rril nx(i)(nr)(l nx(r)l nx(r),整理得 (nr)(l nx(r)l nx(r)ril nx(i)ril nx(i)rl nx(r)()r()由此可得,参数的极大似然估计为方程()的正实根下面讨论方程()的根的情况令g()A B C其中,A(nr)(l nx(r)l nx(r)ril nx(i),Bril nx(i)rl nx(r)
5、,Cr,因为BA C,所以方程g()有两个实根又因为l i mg()C,且A,所以方程g()必有唯一正实根因此,参数的极大似然估计为MBA特别地,当rn时,Mnnil nXi为全样本下参数的极大似然估计,这与文献 的结果一致 参数的逆矩估计给定来自对数艾拉姆咖分布F(x)截尾数为r的定数截尾样本X()X(r),令Eil nF(Xi)l nXi l n(l nXi),i,r,则Ei,i,r独立同分布于标准指数分布E x p(),于是E(i)l nX(i)l n(l nX(i),i,r可以看作是来自服从标准指数分布总体的样本容量为n的前r个次序统计量注意到E(i)ijEjnj,于是有E(i)E(i
6、)Eini,i,r,E(),从而Ei(ni)(E(i)E(i),i,r,E()由逆矩估计思想可以建立如下方程rri(ni)(E(i)E(i),即ri(ni)(E(i)E(i)r为了提高估计的精度,正如文献 所述,对于上述方程进行如下修正ri(ni)(E(i)E(i)r,即ri(ni)l nX(i)X(i)l nl nX(i)l nX(i)r()由此可知,参数的逆矩估计I M为方程()的正实根为了解决方程()根的问题,需引入以下引理引理对任意正常数与a,方程ri(ni)l nX(i)X(i)l nl nX(i)l nX(i)a有唯一正实根证明令g()ri(ni)l nX(i)X(i)l nl n
7、X(i)l nX(i),则g()ri(ni)l nX(i)X(i)(l nX(i)(l nX(i)因此,g()是严格递增函数因为l i mg(),l i mg(),所以g()故对任意正常数与a,方程g()a有唯一正实根由引理可知,对数艾拉姆咖分布参数的逆矩估计量是方程()的根为了考察参数点估计的精度,取参数真值,样本容量为n,截尾数为r,通过M o n t e C a r l o模拟产生服从对数艾拉姆咖分布的定数截尾样本,计算N 次M o n t e C a r l o模拟中参数点估计的均值(E)与均方误差(M S E)计算公式如下:E()NNii,M S E()NNi(i)太 原 师 范 学
8、 院 学 报(自然科学版)第 卷其中代表参数的点估计,i表示第i次M o n t e C a r l o模拟得到的估计当n与r分别取不同值时,模拟结果见表从表可以看出:给定参数,随着样本容量n的增大,极大似然估计与逆矩估计的均方误差越来越小,表明估计的精度越来越高;对于固定的n,随着截尾数r的增大,极大似然估计与逆矩估计的均方误差都逐渐减小总体来看,同等条件下,逆矩估计的均方误差要比极大似然估计的均方误差略小,表明逆矩估计略优于极大似然估计,但两者相差不大表参数点估计的模拟比较nr极大似然估计逆矩估计均值均方误差均值均方误差 定数截尾样本下对数艾拉姆咖分布参数的区间估计利用参数的逆矩估计,提出
9、参数的精确区间估计根据参数逆矩估计的推导过程,注意到Ei(),可以构造如下枢轴量ri(ni)l nX(i)X(i)l nl nX(i)l nX(i)(r),由区间估计的定义可知,参数置信水平为的区间估计的上下限分别为以下方程的根ri(ni)l nX(i)X(i)l nl nX(i)l nX(i)(r),ri(ni)l nX(i)X(i)l nl nX(i)l nX(i)(r)由引理可知,以上两方程都有唯一的正实根为了考察参数区间估计的精度,取参数真值,样本容量为n,截尾数为r,通过M o n t e C a r l o模拟产生服从对数艾拉姆咖分布的定数截尾样本,在显著性水平 下,通过 次M o
10、 n t e C a r l o模拟,得到参数的置信水平为的区间估计的平均下限、平均上限、区间平均长度和区间包含参数真值的个数,结果见表从表可以看出:给定,固定样本容量,随着截尾数的增大,区间平均长度越来越短,表明区间估计精度越来越高表参数区间估计的模拟结果nr区间估计平均下限平均上限平均长度次数 第期常帅:定数截尾样本下对数艾拉姆咖分布的参数估计续表nr区间估计平均下限平均上限平均长度次数 实例分析例以下 个数据来自文献,指出此数据可以看作来自于对数艾拉姆咖分布的一组样本观测值 ,通过选取不同的定数截尾数r,利用本文提出的方法来估计分布的参数,结果见表所示表不同定数截尾数的参数估计结果(例)
11、r极大似然估计逆矩估计区间估计 (,)(,)(,)(,)(,)(,)例取样本容量n,参数真值,通过M o n t e C a r l o模拟产生一组来自对数艾拉姆咖分布的随机样本,按从小到大排列如下:,通过选取不同的定数截尾数,利用本文的方法计算,结果见表从表可以看出,对于不同的定数截尾数,逆矩估计略优于极大似然估计,但两者相差不大因此,在实际应用中,两种估计方法都是可行的表不同定数截尾数的参数估计结果(例)r极大似然估计逆矩估计区间估计 (,)(,)(,)(,)结论在定数截尾样本情形下,研究了对数艾拉姆咖分布参数的估计问题,提出了两种参数点估计和一种区间估计,并借助M o n t e C a
12、 r l o模拟考察了估计的精度最后通过实例分析,表明所提出的估计方法是可行的太 原 师 范 学 院 学 报(自然科学版)第 卷参考文献:常帅,关晋瑞对数艾拉姆咖分布的统计分析J中央民族大学学报(自然科学版),():马小兵,杨军可靠性统计分析M北京:北京航空航天大学出版社,王炳兴 WE I B U L L分布的统计推断J应用概率统计,():魏宗舒概率论与数理统计教程M 版北京:高等教育出版社,P a r a m e t e rE s t i m a t i o no fL o g D i s t r i b u t i o nU n d e rT y p e I IC e n s o r e
13、dS a m p l eC H A N GS h u a i(S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s,T a i y u a nN o r m a lU n i v e r s i t y,S h a n x i J i n z h o n g ,C h i n a)A b s t r a c tT h ep a r a m e t e r e s t i m a t i o no fL o g d i s t r i b u t i o n i sd i s c u s s e du n d e r t y p
14、 e I Ic e n s o r e ds a m p l e M a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t i o nm e t h o da n di n v e r s em o m e n te s t i m a t i o nm e t h o da r eu s e dt oo b t a i nt h em a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t i o na n d i n v e r s em o m e n te s t i m a t i o nr e s p e c t i
15、 v e l y,a n dt h ea c c u r a c yo f t h e t w op o i n t e s t i m a t i o n s i s c o m p a r a b l eb yM o n t e C a r l os i m u l a t i o n A t t h es a m et i m e,b a s e do n t h ed e r i v a t i o np r o c e s so f i n v e r s em o m e n t e s t i m a t i o n,a n i n t e r v a l e s t i m a
16、 t i o no fp a r a m e t e r i sg i v e n F i n a l l y,s o m ee x a m p l ea n a l y s i s s h o wt h a t t h ee s t i m a t i o nm e t h o d s a r e f e a s i b l e K e yw o r d sL o g d i s t r i b u t i o n;t y p eI Ic e n s o r e ds a m p l e;m a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t o r;i
17、n v e r s em o m e n t e s t i m a t o r(上接第 页)T h eC l a s s i f i c a t i o no fF i n i t ep g r o u pw i t hp C o n j u g a c yC l a s s e so fN o n n o r m a l S u b g r o u p sZ H A N GH u i l i n g(T a i y u a nU n i v e r s i t y,T a i y u a n ,C h i n a)A b s t r a c t I t i s a n i m p o r
18、t a n t r e s e a r c h i n t h e f i e l do f f i n i t ep g r o u p s t o s t u d y t h e s t r u c t u r eo ff i n i t ep g r o u p sb yu s i n gt h ec o n j u g a t ec l a s s e so fn o n n o r m a l s u b g r o u p s,w h e r epd e n o t e sap r i m en u m b e r F o r f i n i t ep g r o u pw i t
19、 hpc o n j u g a t ec l a s s e so fn o n n o r m a l s u b g r o u p s,t h em e t h o do fc e n t r a lp r o d u c t a n dc e n t r a l e x t e n s i o n i sd i s c u s s e d a n dw h e r e t h eo r d e r o f t h ed e r i v e dg r o u p i s e q u a lt opa n dp,t h e c o n c r e t e c l a s s i f i c a t i o no f f i n i t ep g r o u pw i t hpc o n j u g a t e c l a s s e s o f n o n n o r m a ls u b g r o u p s i sg i v e n K e yw o r d s f i n i t ep g r o u p;n o n n o r m a l s u b g r o u p s;c o n j u g a c yc l a s s第期常帅:定数截尾样本下对数艾拉姆咖分布的参数估计
