1、1 荆州中学、宜昌一中2019 年秋季学期高二期末联考数 学 试 题一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1 复数231izi（i为虚数单位）的虚部为（）A12B12iC52D52i2)0,2(ma，)1,3,1(nb，若a/b,则nm（）A 6 B 7 C 8 D 9 3 椭圆2218xym的焦距为4，则m的值为（）A12 B4 C12 或 4 D10 或 6 4 曲线32313xxy在点（1，34）处的切线的倾斜角为（）A4B3C32D435 已知,是两相异平面，,m n是两相异直线，则下列结论错误的是（）A若mn
2、，m，则nB若m，m，则C若m，m，则D若m，n，则mn6 数 列na满 足112nnnaaa，nS是 数 列na的 前n项 和，20192,aa是 函 数56)(2xxxf的两个零点，则2020S的值为（）A6 B12 C2020 D6060 7平面直角坐标系内，到点(2,3)A和直线:280lxy距离相等的点的轨迹是（）A直线B椭圆C双曲线D抛物线8过点(4,2)P作圆224xy的两条切线，切点分别BA,O为坐标原点，则OAB的外接圆方程为（）2 CADBA222+1=5xy（）（）B22+2+1=20 xy（）（）C224+2=5xy（）（）D22+4+2=2xy（）（）9 已知抛物线2
3、:2(0)Cypx p的焦点为F,准线为l，点0(2,)My在抛物线C上，M与直线l相切于点E，且3EMF，则M的半径为()A23B43C83D16310如图，正方形ABCD沿对角线AC折叠之后，使得平面BAC平面DAC，则二面角BCDA的余弦值为()A2 B12C33D5511 在ABC中，角,A B C所 对 的 边 分 别 为cba,，满 足CBacbc o sc o s，8sin Abc，则ABC的周长的最小值为()A 3 B33 2C 4 D44 212已知双曲线2222:10,0 xyCabab的左右焦点分别为12,FF，P为双曲线C上一点，Q为双曲线C渐近线上一点，,P Q均位于
4、第一象限，且2QPPF，120QF QF，则双曲线C的离心率为（）A15B15C110D110二、填空题（本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分;把答案填在对应题号的横线上.）13.如图，已知平行四边形ABCD中，060,3,4DCDAD,PA平面ABCD，且6PA，则PC.14.各项 均为 正数 的数列na满 足21nnnaaa，且55a，则2123aa的 最 小值为.15.已知A、B为圆C:22(1)(1)5xy上的两个动点，且4AB，点D为线段AB的中点，对于直线l:)1(xky上任-点P，都有1PD，则实数k的取值范围是3 _.16.若点P是椭圆22:12516xyC上任意一点
5、，点,A B分别为椭圆C的上下顶点，若直线PA、PB的倾斜角分别为、，则)cos()cos(.三、解答题(本大题共 6 小题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17（本小题满分12 分）若圆M的方程为4)4()1(22yx，ABC中，已知)2,7(A,)6,4(B,点C为圆M上的动点（）求AC中点D的轨迹方程；（）求ABC面积的最小值18.（本小题满分12 分）设向量2,sina，(1,cos)b，其中为锐角.（）若94a b，求sincos的值；（）若ab，求22coscossinsin的值.19.（本小题满分12 分）已知椭圆C:)0(12222babyax的左右焦点分
6、别是21,FF,点P在椭圆C上，421PFPF，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线32xy相切.（）求椭圆C的方程；（）若直线2:kxyl与椭圆C相交于A、B两点，求实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点O20.（本小题满分12 分）如图，在四棱锥ABCDP中，平面PAD平面ABCD，PDPA，ADAB,PDPA，CDAD，060BAD，NM,分别为PAAD,的中点.（）证明：平面BMN平面PCD；（）若3,4 CDAD，（1）求平面BMN与平面BCP所成锐二面角的余弦值；（2）求点M到平面BCP的距离.21.（本小题满分12分）已知数列na的前n项和为nS，*,292NnaS
7、nnn,nnnab23.（）求证：数列nb为等比数列，并求出数列na的通项公式；（）是否存在实数，对任意,m nN，不等式mnSb恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由22（本小题满分12 分）如图，已知抛物线22yx，过点(1,1)P分别作斜率为1k、2k的抛物线的动弦AB、CD，设M、N分别为线段AB、CD的中点（）若P为线段AB的中点，求直线AB的方程；（）若121kk，求证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标5 2018级高二上学期期末考试数学试卷答案一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案C B C D D D A A C CD A 二、填空
8、题137 14524 1543k 16419三、解答题17.解：（）设00(,),(,)D x yC xy有000072722222xxxxyyyy，由2200(1)(4)4xy得22(271)(224)4xy，即D点的轨迹方程为22(4)(3)1xy.（）计算得5AB,直线AB为03434yx,点(1,4)到直线 AB 的距离412341855d,118()min5(2)425ABCS.18.解：（）由92sincos4a b,得1sincos4,213(sincos)12sincos122,6sincos2.（）由/ab 得 2cossin0，即 tan2,原式=222222sinsin
9、coscostantan1sincostan12222 1121.19.解（）点(0,0)到直线230 xy的距离为3321d,得3b，6 由1242PFPFa得2a,椭圆 C的方程为22143xy.（）联立221432xyykx，设1122(,)(,)A xy B xy,得22(43)8 240kxkx,1228 243xxkk,122443x xk,由题意可知：0OA OB，即12120 x xy y,即1212(23)(23)0 x xxx,得121233 2()90 x xxx,代入解得216,66kk即为所求.20.（1）连接,60,BDABADBADABD为等边三角形，M为AD的中
10、点，BMAD,ADCD CD BM平面ABCD，BMCD,又BM平面PCD，CD平面PCD，BM平面PCD,M N分别为,AD PA的中点，MNPD,又MN平面,PCD PD平面PCD，MN平面PCD.又,BM MN平面,BMN BMMNM，平面BMN平面PCD.（2）连接PM，平面PAD平面ABCD，平面ABCD平面PADAD，PM平面PAD，,PMADPM平面ABCD.又,BMADMB MD MP两两互相垂直.以M为坐标原点，,MB MD MP分别为x轴，y轴,z轴的正方向，7 建立如图所示的空间直角坐标系Mxyz.4,3ADCD，则(0,0,0),(0,0,2),(0,2,0),(0,1
11、,1),(23,0,0),(3,2,0)MPANBC，设平面BMN的一个法向量为111(,)mx y z，平面BCP的一个法向量为222(,)nxyz，(23,0,0),(0,1,1)MBMN由00m MBm MN，得1112 300 xyz，取(0,1,1)m,(3,2,0),(2 3,0,2)BCBP，由00n BCn BP，得22223202 320 xyxz，取(2,3,23)n，32 33 114cos38219m nm nm n平面BMN与平面BCP成锐二的余弦值为3 11438.（）（2）面BCP的法向量为(2,3,23)n,(0,0,2)MP,24 34 57192312MP
12、ndn.21.解：（）当2n时,111992(2)22nnnnnnnaSSaa,1922nnnaa，11111393222223622nnnnnnnnnnnaabbaa.数列nb为公比为2 的等比数列.当1n时，111992,22saa，11332ba,133 22nnnnba,133 22nnna.（）011121113()3(222)222mmmS8 011(1)2(12)322333 2112212mmmm,假设存在实数，对任意*,mnm nNSb函数33 22mmmS，有min19()2mSS，13 2nnb,min1()3nbb，min27()2mnSb即为所求22.解：（）设112
13、2(,),(,)A xyB xy，则2112yx，2222yx即有121212()()2()yyyyxx，又(1,1)P是线段AB中点，得122yy，12121221AByyKxxyy，直线AB为11(1)yx，即yx.（）设(,)MMM xy，直线AB为11(1)yk x,即1111yk xk，又121kk，直线AB为12yk xk，代入22yx有2221122(22)0k xk kxk，得1221111(,)k kMkk，同理1222211(,)k kNkk，易知120k k，直线MN斜率为12121MNMNyyk kkxxk k，直线MN为12122112111()1k kk kyxkk kk，化简得1 21211k kyxk k,直线过定点（0，1）即为所求.9
