1、专题:拓扑量子输运和器件狄拉克量子材料中的输运理论进展*王焕文1)付博2)沈顺清2)1)(电子科技大学物理学院,成都611731)2)(香港大学物理学系,香港999077)(2023年 4月 27 日收到;2023年 6月 5 日收到修改稿)狄拉克量子材料具有独特的电子结构,可以用无质量和有质量的狄拉克方程描述.从奇异的量子流体到晶体材料的多种系统均已发现了狄拉克量子材料.由于其拓扑非平庸的能带结构,狄拉克量子材料表现出丰富有趣的输运现象,包括纵向负磁阻、量子干涉效应和螺旋磁效应等.本文介绍狄拉克量子材料输运理论最新进展,总结了基于狄拉克方程的相关量子输运理论和量子反常效应,重点关注有质量的狄
2、拉克费米子和量子反常半金属,介绍了半磁拓扑绝缘体中宇称反常和半整数量子霍尔效应的实现.关键词：狄拉克量子材料,狄拉克方程,负磁阻,量子反常PACS：73.43.Qt,72.15.Rn,05.30.RtDOI:10.7498/aps.72.202306721引言3He-A随着科学技术的快速发展,人们对新型拓扑材料和相关物理现象的研究愈发深入.狄拉克量子材料具有独特的电子结构,其低能激发可由狄拉克方程描述1,2,从奇异的量子流体到晶体材料,狄拉克量子材料已经在各种系统中被发现,例如:相3、石墨烯46、拓扑绝缘体1,710、过渡金属二硫族化合物11,12、拓扑晶体绝缘体13,14及三维狄拉克和外尔半
3、金属15,16等.同时,狄拉克量子材料的研究为拓扑量子计算提供了可能,开启了全新的物理领域,为实现丰富的拓扑相提供了新的平台,如各种新奇的量子霍尔效应和拓扑超导相1720,它们也是将来实现拓扑量子计算最有希望的材料.另一方面,狄拉克材料的出现促进了拓扑能带理论的发展21.此外,由于非平庸的能带结构,狄拉克量子材料表现出一系列丰富有趣的输运现象2227,如负磁阻效应2850、量子干涉效应5176、霍尔效应77110等.目前狄拉克量子材料中的很多输运现象在理论上还未被很好地理解,如弱场下的线性磁阻效应111119、反常霍尔效应9297和三维量子霍尔效应85,86,120等.对这些输运性质的研究有助
4、于加深对狄拉克量子材料性质的进一步了解,对其未来在自旋电子学和量子计算等领域的应用具有重要指导意义.本文基于狄拉克方程,总结和回顾了其中的量子输运理论和量子反常效应等4850,72,75,121,并对我们最近提出的量子反常半金属的输运特性进行了初步综述122125.本文的结构安排如下:1)相关理论模型介绍,包括有质量的狄拉克方程和量子反常半金属的能带结构;2)总结有质量狄拉克费米子的负磁阻效应的相关理论;3)介绍二维和三维体系中量子干涉效应引起的磁阻效应,并应用至相关实验体系;4)讨论狄拉克费米子中的*国家重点研发计划(批准号:2019YFA0308603)、香港特别行政区研究拨款委员会(批准
5、号:C7012-21G,17301220)、电子科技大学科研启动基金(批准号:Y030232059002011)和博士后国际交流计划(批准号:YJ20220059)资助的课题.通信作者.E-mail:通信作者.E-mail:通信作者.E-mail:sshenhku.hk2023中国物理学会ChinesePhysicalSocietyhttp:/物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.17(2023)177303177303-1量子反常效应和螺旋磁效应,探讨了手性反常和螺旋对称性破缺的联系和区别;5)最后,详细介绍了最近发现的量子反常半金属的奇特输运性质,包括半整数量子霍尔电导和
6、1/4 的拓扑磁电效应;6)给出评论和展望.2理论模型 2.1 狄拉克方程有质量的狄拉克方程具有如下形式1:H0=0(jvkj+mv2),(1)0=10j=i2j(j=x,y,z)mv2kjm=0H05=i0123=305,0=2imv22=0H0=k|k,=k|k,|k,=(cos2sin2eik)Tcos=kz/ktank=kx/kyH0其中 和 是伽马矩阵,和 是泡利矩阵,v 是有效速度,是狄拉克质量,是沿着 j 方向的动量.在 时,和手性算子 对易,因而无质量的狄拉克费米子具有手性对称性,但是对有质量的情况,手性对称性被狄拉克质量破坏.不过此时 还具有螺旋对称性,这里螺旋度 被定义为
7、,其中 ,以及 .利用螺旋度的本征态,可以得到 的本征能量和本征波函数为50k=v22k2+m2v4,(2)|u(k)=(cos(/2)sin(/2)|k,(3)cos=vk/k=+1=1其中 .代表导带,代表价带.kjj=kj+eAjA=(By,0,0)kxkz =0 a=(x iy)/2eBa=(x+iy)/2eB在有限磁场下,被替换为运动学动量(kine-maticalmomentum),这里假设磁场沿着 z 方向,并选取相应的规范场为 .因为 A 并没有破坏 x 和 z 方向的动量,因此 和 依然是好量子数.定义了粒子沿着运动方向自旋的投影.在有限磁场下,通过引入升降算符 和 126,
8、得到体系的朗道能级的能谱和本征态50:nn=v22k2z+m2v4+n2,(4)|nn;kxkz=cosnn2sinnn2|nn;kxkz,(5)cosnn=nn2+v22k2z/nn=2v/BB=/eBn=0=sign(eBkz)n0=1|nn;kxkz|nn,kxkz=n2k2z+n2/v2|nn;kxkz其 中,是回旋能量,是磁长度.和 是狄拉克费米子的螺旋度,则是算符 的本征态:.这里除了第零朗道能级外,所有能带均为双重简并.值得注意的是,模型(1)不包含能带拓扑的信息,为了进一步探讨能带拓扑对输运性质的影响,需要引入动量依赖的狄拉克方程,即修正的狄拉克方程1,3:H0=0jvkj+m
9、(k),(6)m(k)=mv2 b2k2b1H0UH0(k)U=(k)0(k)=v22k2+m2(k)U=(k)+0H0(k)/2(k)(k)+m(k)这里 ,具有质量的量纲.通过Foldy-Wouthuysen 变换127,可以将 对角化为,其中 ,.另外,该模型的拓扑不变量为1,128N=12sign(m)+sign(b).(7)mb 0N=1mb 0N=0m=0,b=0当 时,对应了拓扑非平庸的能带结构.而 则对应了 拓扑平庸的能带结构.此外,当 时,模型(6)于半金属态,属于我们最近提出来的量子反常半金属122.2.2 量子反常半金属自量子霍尔效应出现以后,拓扑物态和拓扑材料已逐渐成为
10、凝聚态物理中最前沿的课题之一.截至目前,所有拓扑物态,包括量子霍尔效应129,130、拓扑绝缘体79、拓扑超导8,131和拓扑半金属15,16,132等都是以整数的拓扑不变量去表征.在文献 122中,我们提出了量子反常半金属(quantumanoma-loussemimetal,QAS)的概念,并讨论了其中新奇的物理现象.这里以 d 维的无质量的 Wilson 费米子为例进行介绍133,134:H=divasinkiai4b2a2sin2kia2,(8)i其中 a 是晶格常数,和 是狄拉克矩阵.Wilson费米子的能带E=vuuti(vasinkia)2+(4b2a2isin2kia2)2ki
11、=0d=1,3d=2在 时闭合形成单个无质量的狄拉克锥.在 时,b 项破坏了手性对称性;而在 时,物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.17(2023)177303177303-2k 0k 0b 项破坏了宇称对称性,这些对称性在 的时候得以恢复.不同于以往有能隙的拓扑物态,附近的手性对称性或宇称对称性保证了反常量子半金属的半整数拓扑122.,H=0QQ(k)=(0q(k)q(k)0)d=1,3当 d 是奇数时,存在某个矩阵 与(8)式反称,即 ,矩阵可以被变换为非对角形式.这里讨论 的情况,其对应的缠绕数可以写成131w1D=idk2Trq1(k)kq(k),(9)w3D=ns
12、td3k242ReTrq1knqq1ksqq1ktq,(10)nstn,s,t=x,y,zk 0w1Dw3D2123其中 是 Levi-Civita 符号,.对于一般的体系,在 附近具有手性对称性时,和 是半整数量子化的.对于一维和三维 Wilson费米子,分别为 和 ,由(9)式和(10)式给出的缠绕数为w1D/3D=12sign(b).(11)d=2当 时,陈数可以表示为非阿贝尔的贝里规范场,2D=d2k2(A)z(12)A2D2D=12sign(b)其中 是贝里规范场.对于有能隙的体系,始终是整数,而对于二维 Wilson 费米子,是半整数量子化.文献 122 对于 QAS 的半整数拓扑
13、不变量进行了更加普适的证明,只要在狄拉克点附近具有手性(奇数维)或宇称(偶数维)对称性,缠绕数或陈数就是半整数量子化的.在物理上,半整数的拓扑不变量将使得 QAS 具有一系列奇特的性质.对于一维的情形,QAS 可以实现半个电荷的转移,而在有能隙体系当中只能实现整数个电荷的转移.对于二维的情形,QAS 不具有边缘态,但可以给出幂律衰减的手性流(chiralcurrent)和半整数化的霍尔电导123,124.而在三维体系,QAS 则具有 1/4 量子化的磁电响应125.3有质量狄拉克费米子的负磁阻性质负磁阻已经在很多外尔和狄拉克半金属中被观察到,其物理起源和手性反常(chiralanomaly)=
14、1紧密联系在一起42,43.然后负磁阻也在很多有质量的体系中被探测到2840,例如 ZrTe534,40和 Bi2Se336,37,39,其中 ZrTe5具有一个随温度变化的小的能隙85,121,135,Bi2Se3则是典型的拓扑绝缘体136,137.在这些体系中手性已经不再是一个好量子数138,因而手性反常引起负磁阻的说法也受到了质疑,许多和手性反常无关的机制在文献中被提出4450,例如能带的非平庸贝里曲率和塞曼效应引起的贝里曲率和轨道磁矩等45,46.在文献 4850 中,我们提出了几个新的关于弱场负磁阻的物理机制.首先基于 Kubo-Streda 公式计算了有限磁场下三维有质量狄拉克费米
15、子中的电导张量 ,并进一步计算得到了电阻张量 48.在半经典区域,利用特殊函数对朗道能级求和,我们发现横向电阻和纵向电阻在磁场下均具有一个磁场强度平方的修正,其相对磁阻具有如下形式:=(B)(0)1=c(B2BF)2,(13)BF=2ek2FkFc(=x,y,z)mv2(v22k2F)=vkF=vkFc2()2其中,是费米波长.如图 1(a)所示,(13)式(虚线)和数值计算(实线)的结果在弱磁场下符合得很好.此外,是无量纲系数,依赖于无序展宽()、化学势()以及狄拉克质量()等 参 数.在 弱 散 射 的 情 况 下 ,令 ,将 展开到 和 ,可以得到cx,y=1+34(1 82)2,(14
16、)cz=14(1+22),(15)0cx=cy=1,cz=1/4(B)kFcz 0.1cBFcx=czxz=zx=cz cx20(B2BF)2 sin20)关于 的函数关系,当 时,随着无序增强而迅速减小.由于 正比于载流子浓度的 2/3 次方，实验中,我们期待在一些低载流子浓度的材料中观测到这里的内禀磁阻.此外,在(13)式中 ,这反映了狄拉克费米子的各向异性磁阻性质,也将进一步导致平面霍尔效应,其中 是零场电导,是磁场和电流之间的夹角.近年来各向异性磁阻和平面霍尔效应在狄拉克材料中引起了广泛报道和讨论98107.=0,1,2,3,5在文献 49 中我们通过求解朗道能级下的量子扩散方程,进一
17、步讨论了有质量狄拉克费米子的负磁阻效应,试图将其与手性反常联系起来.狄拉克哈密顿量中的 16 个物理量及无序可以利用 5 个反对易的伽马矩阵 ()和其派生矩阵来表示,并且根据对称性可以作进一步的分类(如表 1 所列).在有质量的狄拉克材料中,有限的狄拉克质量会耦合手性相反的外尔费米子,因此手性不再是一个好量子数.此时轴向电荷(axialcharge)连续性方程为Ja(x)=2mv2np+e3222E B,(16)np方程右侧赝标量密度 的出现表明即使不考虑电磁场的量子涨落,轴向电荷也已经不再守恒.为了理解在有质量狄拉克费米子体系中手性反常和与之相关的负磁阻会被如何修正,在文献 49 中我们基于
18、费曼图技术发展了一套朗道能级下的量子扩散理论.在均匀磁场下,有质量狄拉克费米子的本征能量和波函数严格可解,因此有限磁场下的格林函数可以解析获得.而电场的效应,通过微扰的方式考虑到线性阶.表 1 中任意两个物理量的响应系数可以通过虚时格林函数理论计算得到:AB(x,x;im)=0deim()TSA(x,)SB(x,),(17)SASBBB其中 和 分别是想要计算的目标物理量和外场耦合的物理量.为了保证总电荷守恒,瓦德恒等式要求在计算响应系数时需要考虑顶角修正.此时,裸的顶角 需要修正为重整的顶角 ,其满足如(a)0.90.60.3Num.Anal.0-0.300.030.06/(2F)0.09/
19、%(b)0.010.111.000.750.500120.250-0.25-0.502hFc图1有质量狄拉克费米子的内禀磁阻(a)有质量狄拉克费米子的横向磁阻和纵向磁阻,其中纵向磁阻为负,横向磁阻为正;(b)无量纲系数随能带展宽的变化关系,在弱散射下趋于一个常数.转载自文献 48ccFig.1.IntrinsicMagnetoresistivityinmassiveDiracfermion:(a)Transversalandlongitudinalmagnetoresistivity,wherethelongit-udinaloneisnegativeandtransversaloneispo
20、sitive;(b)dimensionlessparameter asfunctionsofbandbroadening,here tendstoaconstantinweakscattering.ReproducedwithpermissionfromRef.48.TIC表1狄拉克哈密顿量中利用狄拉克伽马矩阵表示的 16 个物理量及无序根据时间反演()、宇称()以及手性对称性()的分类.转载自文献 49i=1,2,3TICTable1.Varioustypesofphysicalquantitiesanddisorder represented by fermionic bilinears(
21、),their symmetries under time-reversal(),parity(),andcontinuouschiralrotation().Re-producedwithpermissionfromRef.49.SAABilinear()PhysicalquantityT I C Disorder0(J0)Totalcharge 05(Ja0)Axialcharge a (n)Scalarmass m i5(nP)Pseudo-scalardensity P i(Ji)Current c i5(Jai)Axialcurrent ac i0i(pi)Electricpolar
22、ization p 50i(mi)Magnetization M 物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.17(2023)177303177303-4下的贝特-萨佩特方程(Bethe-Salpeterequation):B(x1,x;)=B(x1 x)+dx2FFFGR(x1,x2;+)B(x2,x;)GA(x2,x1;)F.(18)eq 1 1在扩散极限下,的空间变化远小于平均自由程()并且考虑体系经历一系列的碰撞之后的结果(),此时可以获得 16 个物理量耦合的扩散方程组.这组扩散方程可以完整刻画有限磁场下狄拉克材料中的输运性质和自旋以及赝自旋弛豫过程.通过求解扩散方程,得到
23、如下主要结论.n 0n=0i)在磁场下,轴向电荷和矢量电流存在一个正比于磁场强度的反常耦合.由于高朗道能级()是自旋简并,第零朗道能级()则是自旋极化的,该反常耦合完全由第零朗道能级贡献.amaaaaa EBaii)首先引入一个与体系中破坏手性对称性的机 制 有 关 的 轴 向 弛 豫 时 间 (axial relaxationtime).在无质量的情况下,只有质量型的无序(表 1中的 )会引起不同手性电子之间的散射,从而破坏手性对称性,引入轴向弛豫时间 .在有质量的情况下,狄拉克质量直接破坏手性对称性,标量无序(表 1 中的 )就可以引起有限的轴向弛豫时间 .体系中手性对称性破坏越严重 越小
24、.平行的电磁场会诱导出一个正比于电磁场强度和 的手性密度差 .iii)当电磁场方向平行时,轴电荷密度对电流的顶角修正会产生一个正比与磁场平方和轴弛豫时间的纵向电导修正:(B)=034a(B2BF)2.(19)np()=2imv2nP,J3()A3()iv)根据线性响应理论,赝标量密度期望值为.通过计算发现其最低阶非零项正比于电磁场的线性阶:nP()=e3EB222vkF 1,mv2,1,mv2,0,0i=ss=0,sz=0ws 0=0wt=0ws=12=1wt=12ws=0其中 是库珀子(Cooperon)通道指标,和 分别是相应的库珀子能隙和权重因子.和 的表达式在表 2 中被列出.这里 通
25、道 ,因此不贡献电导修正.的符号可以从库珀子的结构因子 看出,这里 在自旋单态和自旋三态的基矢()下是对角化的,其中 代表总自旋角动量 s 和它的 z 分量 .通道 对应两个自旋三重态()并给出弱局域化的电导修正(WL),此时 .而通道 则对应一个自旋单重态()并给出弱反局域化的电导修正(WAL),此时 .当 时,和 ,体系呈现弱反局域化.当 时,和 ,体系呈现弱局域化.如果从 0 到 1 调节 ,体系则表现出弱反局域化到弱局域化的转变.i=s,t0,2e=mv2/表24 个库珀子通道 的库珀子能隙(以 为单位)和权重因子,其中 是狄拉克费米子的自旋极化.转载自文献 72i=s,t0,|s,s
26、z2i2ewi=mv2/Table2.ComponentsoffourCooperonchannels inthebasisofspin-tripletandsinglet ,theCooperongap inunitofthemeanfreepath andtheweightingfactors ,where istheorbitalpolarizationofDiracfermion.Reproducedwithper-missionfromRef.72.i|s,szCooperonin wi 2e/2i s|0,0(1 2)22(1+32)2(1 2)2(1+2)2 t+|1,1 42(
27、1+2)(1+32)2 4(1 )22(1+32)(1+)2 t0|1,0 0 t|1,1 42(1+2)(1+32)2 4(1+)22(1+32)(1 )2 1 q 1e在零磁场下,通过引进截断 ,电导修正变为qi=e2hiwiln 2+2i2e+2i,(23)qi Tp/2p=1(p=3)通常 的温度依赖主要由相干长度 引起,即,这里对于电子-电子(电子-声子)相互作用引起的退相干机制 .对于磁性材料而言,磁掺杂引起的狄拉克质量也是温度依赖的,因而表面态的自旋极化或贝里相位也将是温度依赖的.此时,温度依赖电导修正的表征参数为mqi=he2qi lnT=i(gi lnT+Fip1+22i),
28、(24)gi=Filn(2+2i2e+l2i)0mqi其中 .对于弱掺杂的情况 ,可以简化为mqi 2e2/lnT+2p2(2+2s).lnT 0 lnT 0iFi 0Uc0.160.120.08/0.040OO210-1-200.030.06/eV0.09 0)(mb 0mb 0RH=xy/B|B=01/enTpRHSxx=2k2BT3e ln()|在实际的测量中,电阻反常还伴随着霍尔系数和塞贝克系数的符号转变.对于 型载流子(),如图 5(c)所示,随着温度的升高,霍尔系数 首先在低温几乎是一个常数(),然后在高温下逐渐减小至最小值,在转变温度 附近再由负到正变化.的符号改变表明体系的输运
29、性质在温度升高过程中由电子主导变为空穴主导85,159.塞贝克系数随温度的变化行为和霍尔系数类似.如图 5(d)所示,塞贝克 系 数 在 低 温 下 随 着 温 度 线 性 变 化(),并在转变温度附近发生变号.xx(B)在有限磁场下,横向磁阻 和霍尔电阻xy(B)TpTpTpxx(B)(dip)xy(B)Tpxx(B)xy(B)Tpxx(B)SxxSxySxxSxy 在接近转变温度 和远离 时呈现显著不同的行为.如图 6(a)和图 6(b)所示,在 附近,在零磁场附近的横向磁阻 呈明显的凹陷 行为,霍尔电阻 关于磁场非线性变化.而对于远离 的温度,呈现磁场平方依赖,则恢复为磁场线性行为.同时
30、,在温度接近 时,在强磁场下也不饱和,这和通常的双载流子模型给出的磁阻截然不同.除了磁阻以外,塞贝克系数 和能斯特系数 在磁场和温度下也呈现出类似的反常行为.如图 6(c)所示,塞贝克系数 在磁场下逐渐趋于饱和,其符号随着温度升高而发生变号.而能斯特系数 在磁场和温度765432100(b)/(mWScm)100200/K/(1017 cm-3)0.050.10.51481050-50.30-0.3/(mVSK-1)/(102 cm3SC-1)100200(c)(d)/K/(1017 cm-3)0.050.10.5148(a)255 K225 K195 K165 K135 K105 K85 K
31、65 K35 K2 K-200-1000-0.80.80-0.80.80-0.80.80-0.80.80-0.80.80/nm-1-/meVHighLow图5ZrTe5和 HfTe5电阻反常效应(a)关于 ZrTe5温度依赖的能谱在实验(根据文献中 ARPES 测量得到)和理论(实线)上的比较,随着温度升高,化学势由导带变化至价带;(b)(d)分别为不同载流子浓度下计算得到的电阻反常行为、霍尔系数和塞贝克系数.转载自文献 121Fig.5.ResistivityanomalyinZrTe5andHfTe5:(a)Comparisonofexperimental(accordingtotheAR
32、PESmeasurementsinlitera-ture)andtheoretical(solidlines)temperature-dependentenergyspectrum.Thechemicalpotentialvariesfromvalencebandtocon-ductionbandwiththeincreasingoftemperature.(b)(d)Theresistivityanomaly,Hallcoefficients,andSeebeckcoefficientforseveraldifferentcarrierconcentrations.Reproducedwit
33、hpermissionfromRef.121.物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.17(2023)177303177303-10SxySxyT Tpxx下则表现出更为复杂的行为.如图 6(d)所示,随着温度升高,会发生两次变号,并始终表现出很强的非线性行为.的数值在 时类似于 在磁场下不饱和.文献 159 中利用双载流子模型对电阻反常的性质进行了系统研究,其拟合的结果表明体系的输运性质在温度升高过程由电子主导逐渐转变为空穴主导,体系总的载流子由电子型转变为空穴型.这与上述的讨论明显不一样,这里总的载流子浓度一直保持不变,在温度作用下电子和空穴混合在一起才形成了实验中的反常输运
34、现象.6狄拉克费米子中的量子反常效应和螺旋磁效应无质量狄拉克费米子的手性反常是量子场论中非常重要的一个话题,被认为是由电磁场的量子涨落引起的自发对称性破缺的结果164168.具体而言,无质量狄拉克费米子具有手性对称性,根据诺特定理(Noetherstheorem),手性流应该守恒167.但是由于电磁场的量子涨落效应的存在,手性对称性被破坏,无质量狄拉克费米子的手性流实际上并不守恒.此外,狄拉克费米子还具有螺旋对称性,该对称性在电磁场下被直接破坏.而对于无质量狄拉克费米子,螺旋度和手性等价联系在一起127,169,那么手性反常是否和螺旋度的直接对称破缺相关呢?在文献 50 中,我们根据 Jack
35、iw-Johnson 的方法170推导了关于螺旋电流和轴向电流的连续性方程.在无质量的情况下,这两个连续性方程变得等价.这种等价性证明了螺旋对称性破缺和手性反常的密切联系.在物理测量方面,螺旋对称性的破缺导致了所谓的螺旋磁效应(Helicalmagneticeffect,即固体材料中存在一个沿着磁场方向流动的电流),以及一个质量依赖的正的纵向磁导.该理论不仅反映了有质量狄拉克材料当中的反常磁输运性质,还显示了螺旋对称性破缺和量子场论中的手性反常的密切关系.根据含时狄拉克方程,可以得到螺旋电流的连续性方程:th+jh=e2222E B i0h,V,(31)=0hjhhV=eEzzEz其中 和 为
36、狄拉克旋量,和 分别是螺旋电荷密度和螺旋电流密度,是螺旋度算子,是静电势,是电场强度,z 是 z 方向的50(a)-4-20/T240/(mWScm)(c)-4-20/T240.60.30-0.3-0.6/(mVSK-1)(b)-4-20/T24400-40/(mWScm)(d)-4-20/T240.40.20-0.2-0.4/(mVSK-1)/K40 80120140160180200220240图6不同温度下的(a)横向电阻,(b)霍尔电阻,(c)塞贝克系数和(d)能斯特系数的磁场依赖.转载自文献 121xxxyFig.6.Magneticfielddependenceof(a)thetr
37、ansversemagnetoresistance ,(b)theHallresistivity ,(c)theSeebeckcoeffi-cientand(d)theNernstcoefficientfordifferenttemperatures.ReproducedwithpermissionfromRef.121.物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.17(2023)177303177303-11e2222E B位置坐标.连续性方程右边第一项是量子涨落给出的反常项,第二项则为螺旋对称性在电场下的直接破缺所导致的.该项的值由第零朗道能级的导带底和价带顶的两个态的占居所决定
38、,每一个态会贡献一个 .然后最终的连续性方程为th+jh=Che2222E B,(32)Ch=sign()Ch=0在这里,当化学势在导带或价带时 ,当化学势在半填充时 .因此直接对称性破缺和量子涨落的贡献在能隙中间恰好被抵消掉.对于无质量的狄拉克费米子,根据手性和螺旋度的关系,可以得到手性电流的连续性方程:t5+j5=sign(|)e2222E B,(33)5j5其中 和 分别为手性电荷密度和手性电流密度.这里从螺旋对称性破缺的角度推导了手性反常的连续性方程.此外,通过计算赝矢量密度的平均值,可以得到有质量狄拉克费米子的手性流的连续性方程:t5+j5=C5e2222E B.(34)C5=1 m
39、2v4/2C5=05=sign()1 m2v4/2h mv200C5Ch当化学势在导带或价带时 ,当化学势在半填充时 .与螺旋电流类似,在手性电流的连续性方程中,由质量引起的直接对称性破缺的贡献和手性反常的贡献在能隙中正好抵消.同时,利用手性电荷密度和螺旋电荷密度的关系,手性电流的和螺旋电流的连续性方程在 的时候趋于等价.当化学势在带底附近时,手性电荷密度趋于 ,手性电流的连续性方程右边也约等于 ,而螺旋电流的连续性方程保持不变.图 7 中将 和 做了一个直接比较,清晰地展示了方程(32)和(34)在不同化学势下的区别和联系.类似于手性磁效应(chiralmagneticeffect),当体系
40、两种螺旋度的电子态存在不平衡时会出现一个正比于磁场的净电流:j=e2422(|+|)B,(35)=h2h其中 是螺旋度依赖的化学势,是两者化学势的差.我们将这个正比于磁场的电流称为螺旋磁效应50,171.在文献 172 中,螺旋磁效应也用于描述流体螺旋度引起的电流.对于无质量的狄拉克费米子,螺旋磁效应等价于手性磁效应173175.当体系不同螺旋度之间的态存在散射时,螺旋磁效应可以引起磁阻效应:hij=e4444g()hBiBj,(36)hg()hij hBiBj(i=j=z)i=x,j=yhxyg()=eB22v23kFhzz=e3v222vqFhBzhzzCd2As3ZrTe5其中 是不同螺
41、旋度态间散射时间,是费米面的态密度.在弱磁场下,态密度可以认为与磁场无关,.其中纵向磁导 为正磁导,这也与之前文献中关于狄拉克费米子的磁阻讨论自洽.同时,当 时,给出了平面霍尔效应.当磁场足够强使得体系进入量子极 限 时,纵 向 磁 导 为 .在无质量极限下,正比于磁场和散射时间176178.这里由螺旋对称性破缺引起的负磁阻机制可以为有质量和无质量拓扑材料中观测到的负磁阻效应提供一个统一的理论解释.需要强调的是,通常手性反常导致的负磁阻理论在有质量的体系(例如 和 )中已经不再适用.即使是在无质量体系中,手性本身也需要转化为螺旋度才能具有物理含义.因此,螺旋对称性破缺引起的负磁阻机制在固体材料
42、中更具普适性和一般性.7量子反常半金属自量子霍尔效应出现以后,拓扑物态和拓扑材料已逐渐成为凝聚态物理当中最前沿的课题之一.在文献 122125 中,我们提出了量子反常半金属的概念,并讨论了其中新奇的物理现象.下面以二1.00.5h/50-0.5-1.0-4-20/(2)24hChC5图7连续性方程(32)和(34)中系数 和 的比较.转载自文献 50Ch/5Fig.7.Comparison of the coefficients inthe equa-tionsforthedivergenceofthehelicalcurrentandaxialvec-torcurrentsinEqs.(32
43、)and(34).Reproducedwithpermis-sionfromRef.50.物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.17(2023)177303177303-12维和三维为例,说明量子反常半金属的奇异性质.7.1 半整数量子霍尔效应U(1)半整数量子霍尔效应在二维体系中和宇称反常紧密联系在一起18,91,179185.在场论中宇称反常是无质量狄拉克费米子的宇称对称性和 规范不变性之间的冲突产生的179,180.在文献 123 中,我们讨论了宇称反常半金属(parityanomaloussemimetal,PAS)的半整数霍尔效应及其独特的体-边界对应.在材料现实上,
44、有多个体系可以用于实现宇称反常半金属,例如霍尔丹模型(HaldaneModel)和三维半磁性拓扑绝缘体.如图 8(a)所示,霍尔丹模型在动量空间有两个狄拉克锥,当其中一个狄拉克锥的能带闭合时,该模型有半量子化的陈数和霍尔电导18.通过计算,可以得到此时横向电流的空间分布为123jy(x)=eh2s=sJ12kF(x Rs)|x Rs|,(37)kF=/vJn(x)Rs=+=0Rs=LJ1(x)x +jsy(x)x3/2cos(2kFx 3/4)x3/2Mz(x)=这里 是费米波矢,是第一类贝塞尔函数,和 是两个边界的位置.利用 在 时的渐进行为,可以得到边界流的渐进行为 .可以看出边界流在边缘
45、处最大,当远离边界时按照幂律 衰减(如图 8(c)所示).而在通常的反常霍尔效应或整数霍尔效应绝缘体中,局域的边界态给出的是指数衰减的边界流.因此边界流幂律衰减的行为可以用于鉴定宇称反常半金属.此外,边界流对应一个空间变化磁化强度 eh2x0jy(x)dx,即Mz(x)=eh2F(2kFx)F(2kFL)+F(2kF(Lx),(38)F(x)=xJ0(x)J1(x)+xJ1(x)H0(x)J0(x)H1(x)/2H1(x)L +F(x)=1Mz=eh2其 中,是司徒卢威(Struve)函数.实验上可以利用超导量子干涉仪探测位置依赖的磁化强度或磁场强度,进而显现电流的空间分布.当样品足够大时,样
46、品中央的磁化强度为 .同时,利用麦克斯韦关系和 Streda 方程,可以得到半整数的霍尔效应:H=eB=eMz=e22h,(39)Q=e2F(kFL)L +Q=e/2这和直接使用线性响应计算得到的结果是一致的.在文献 123 中我们还进一步计算了宇称反常半金属中的电荷泵浦,.在热力学极限下(),这里存在半个电荷的转移 .不同于量子反常霍尔效应绝缘体,宇称反常半金属中的边界流和电荷转移均为一系列非局域的体态的集合效应,而不是局域的边界态的贡献.Cz()H=e2hCz()三维半磁性拓扑绝缘体是通过在三维拓扑绝缘体上表面覆盖一层绝缘的铁磁层来形成的91,186.靠近铁磁层的拓扑表面态因为近邻效应被打
47、开能隙82,89,91,144146,而另一个表面的表面态则依然处于无能隙状态.因此在三维半磁性拓扑绝缘体中无质量和有质量的狄拉克费米子在空间上被分开(如图 8(b)所示),但是整体依然是半金属态.由于三维半磁性拓扑绝缘体准二维的属性,可以计算空间层分辨的霍尔电导 ,187189.(c)00.01-0.01|()|2()H=0H=0H=2/(2/2/2-3/201234Branch index(a)(b)TIMagnetic TI图8宇称反常半金属示意图(a)Haldane 模型:无质量和有质量的狄拉克锥在动量空间分开;(b)三维半磁性拓扑绝缘体:无质量和有质量的狄拉克锥在实空间分开;(c)宇
48、称反常半金属中低能电子态的分布以及幂律衰减的边界流.转载自文献 123Fig.8.Illustrationofparityanomalysemimetals:(a)HaldanemodelwheremassiveandmasslessDiracconeseparatedinmo-mentumspace;(b)semi-magnetic3DtopologicalinsulatorinwhichamassiveandamasslessDiracconeseparatedinpositionspace;(c)distributionofasetoflowenergystatesandthepower
49、lawdecayedgecurrentintheparityanomaloussemimetalforopenboundarycondition.ReproducedwithpermissionfromRef.123.物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.17(2023)177303177303-13Cz()H=e22h|xL/2|3/2 exp(2Bv?x+L2?)主要分布在上表面附近,总的霍尔电导 是半量子化的186,190.类似于霍尔丹模型,也可以计算半量子化霍尔电导对应的边界流.在无能隙的 区 域,边 界 流 具 有 幂 律 衰 减 的 行 为 ,而在有能隙的区域,边界
50、流具有指数衰减的行为 .由此可见,半量子化霍尔电导对应了环绕于上表面四周的电流,而此时并不存在棱态(HingeStates).最近我们针对三维半磁性拓扑绝缘体构建了表面态的格点模型124,进一步强调了半量子化霍尔电导与无质量狄拉克费米子以及宇称对称性之间的关系.当化学势处在宇称对称性不变的区域,三维半磁性拓扑绝缘体具有半整数量子化的霍尔电导,同时该性质对无序具有很强的鲁棒性.7.2 1/4 的磁电效应=0=三维材料中的磁电效应可以由轴子电动力学有效地描述196.在通常时间反演对称性保护的拓扑绝缘体当中,轴子电动力学中的轴子角 可以分为两类8,197,对于拓扑平庸的情况 ,对于拓扑非平庸的情况
