1、对一道竞赛题及其逆命题的探究许爱瑛(陕西省咸阳中学 )摘要对 年马其顿一道竞赛题及其逆命题给出了简单的证明及其推广关键词竞赛题;逆命题;不等式文章编号 ()年马其顿数学奥林匹克竞赛中有一道不等式证明题:问题正实数x,y,z满足x yy zz x,求证:xyzx y z文用三角换元法给出了证明,但证明过程比较复杂如果注意到不等式两边的结构,联想到均值不等式,则可获得一种十分简单的证明证明由已知条件及均值不等式,得 x yy zz xxyz,解得x y z,所以xyz x y zxyz xyzxyz x y z,即不等式成立点评如果由(xyz)(xyz)(x yy zz x)x y z,得xyzx
2、 y z,然 后 将 不 等 式转 化 为x y zx y z,整理得x y z,那么就与由已知条件得到的不等式x y z 相矛盾因此证明的入手第一步很关键,它决定着解题的成败将问题推广,得到下列结论:推广正实数x,y,z及正整数m,n,k满足mx yn y zk z x(mnk),求证:(mnk)x(mnk)y(mnk)z(mnk)x y z证明由已知条件及均值不等式,得(mnk)m x yn y zk z x(mnk)mnk(x y)m(y z)n(z x)k,解得xkmymnznk(mnk),所以(mnk)x(mnk)y(mnk)z(mnk)(mnk)xm nkymn kzmnk(mnk
3、)(mnk)xm nkymn kzmnk(mnk)(mnk)(mnk)xm nkymn kzmnk(mnk)(mnk)xkmymnznkxm nkymn kzmnk(mnk)x y z,即不等式成立点评不等式左边各项的系数是怎么来的呢?不妨设p,q,r,不等式为p xq yr zpqrx y z,转化为(pqr)pqrxpyqzrpqrx y z,整 理 得x(qrp)y(rpq)z(pqr)(pqr),这 时 令(qrp)km,(rpq)mn,(pqr)nk,解得pmnk,qmnk,rmnk,由此可得到不等式如果将推广及其证明中的换为正实数p,那么类似地可以证明:推广正实数x,y,z,p及正
4、整数m,n,k满足mx yn y zk z xp(mnk),求证:(m nk)x(mn k)y(mnk)z(mnk)pp x y z如果考虑将问题的已知条件和所证不等式互换位置,那么可以得到如下逆命题:问题正实数x,y,z满足xyzx y z,求证:x yy zz x 证明由已知条件及均值不等式,得x y z竞赛之窗 中学数学月刊 年第期xyzx y z,解得x y z,所以x yy zz x(x y z),即不等式成立点评(x yy zz x)x y z(xyz)x y zx y z ,同样可以得到不等式将问题推广,得到下列结论:推广正实数x,y,z及正整数m,n,k满足(mnk)x(mnk
5、)y(mnk)z(mnk)x y z,求证:m x yn y zk z x(mnk)证 明由 已 知 条 件 及 均 值 不 等 式,得(mnk)x y z(mnk)x(mnk)y(mnk)z(mnk)(mnk)xm nkymn kzmnk,解得xkmymnznk(mnk),所以m x yn y zk z x(mnk)mnk(x y)m(y z)n(z x)k(mnk)mnkxkmymnznk(mnk)mnk(mnk)(mnk),即不等式成立类似地,可以证明:推广正实数x,y,z,p及正整数m,n,k满足(mnk)x(mnk)y(mnk)z(mnk)pp x y z,求证:m x yn y z
6、k z xp(mnk)上面对竞赛题及其逆命题的推广,只是将已知条件和要证明的不等式中变量的系数进行了拓展,但不等式等号成立的条件仍然是xyz,对于其他取等号的条件,不等式会怎样变化呢?留给有兴趣的读者去思考吧参考文献赵成海,关迪,孙乐汉一道 年马其顿数学赛题的证法探究J中学生数学,():(上接第 页)生:对于选项B,同样 有两种方法 可以求解法一:O Pxy x,且x,可得O P,所以选项B正确法二:取x,得y,取y,得x,结合图,可得O P,所以选项B正确生:对于选项C,SPMNPMPN,此时P,或P,所以选项C正确生:对于选项D,当P是图最右端点时,PMPN,所以选项D不正确师:本题答案为
7、B C如果知道卡西尼卵形线的相关图象及其性质结论,这道题就能迎刃而解设计意图前后呼应使问题得到解决,避免了空洞讲解或不得要领,让学生真懂、真会,拓宽视野,既解决了本节课一开始提出的问题,又体现了对数学文化题的研究模式课后作业师:请用本节课探究问题的方案,探索平面内一动点到两定点的距离之比为常数的点的轨迹图形(阿波罗尼斯圆)启发思考数学探究活动是新课程中必不可少的一部分,它是一个将抽象问题具体化、复杂问题简单化的辩证思维过程本次教学通过学生手动操作G G B,直观地、多角度地对数学难题进行深度探究,有效提升了学生的学习兴趣,拓展了学生的数学思维,为新知识的探究理解提供了有效途径,也呈现了新课程的教学思路参考文献中华人民共和国教育部普通高中数学课程标准(年版 年修订)M北京:人民教育出版社,:年第期 中学数学月刊 竞赛之窗
