1、中等数学初筹獻研究对一道数学竟赛试题的再 发现周赛龙储柄南（安徽省合肥市第四 中学，合肥市刘娟高中数学名师工作室，）摘要：解析几何知识一直是高中数学竞赛所考查的重要内容深人探索 年全国高中数学联赛安徽赛区初赛的一道解析几何试题，发现一系列 与斜率相关的定量结论，并均给出了严谨的数学证明，深化解析几何知识的理解，拓展数学视野关键词：数学竞赛；圆锥曲线；斜率；定值中图分类号：文献标识码：文章编号：（）引用格式：周赛 龙，储炳南对一道数学竞赛试题的再发现中等数学，（）：问题的提出年全国高中数学联赛安徽赛区初赛第题：设点，），（，），（，），点）在双曲线的左支上，且与不重合，直线交双曲线的右支于点瓦证
2、明：直线仙与的交点在直线丄上笔者曾在文中将此问题推广到一般情况在文的基础上，笔者继续以此问题为背景进行深人探讨，得到一些与斜率有关的结论？结论？如图，设分别是椭圆（）（曲线（？（）的左、右顶点，（，）是轴上异于点的一个定点，过点的直线与椭圆（或双曲线）交于）、两点，乃、瓦不与重合，直线与交于点记直线故、州的斜率分别为图则（）为定值；（）为定值；（）为定值；（）；（）结论的证明证明由文的结论，知直线仰与收稿日期：基金项目：合肥市基础 教育研究院课题项目高中数学研究性学习活 动的实践研究（）作 者简介：周赛龙（），男，安徽阜阳人，中学二级教师，主要从事高中数学教育教 学研究、数学试题研究等 年第期
3、的交点在定直线上于是，不妨设点从而，：分别表为：，灸一，乂一则为定值；（）（），为定值；：为定值；，（）（）：（）？擊，即双曲线情况与椭圆情况的证明类似问题的再探索结论？如图，、分别是椭圆￥（）的左、右顶点，（，）是尤轴上异于点、的一定点，过点的直线与椭圆交于公、瓦两点，、不与、重合记直线、的斜率分别为左、左？（）为定值）证明设点）（，），）贝，？由于（：（，）是；轴上异于点、的一定点，且直线过定点（，），故可设直线的方程为注意到，椭圆方程变形可得（：）（：）？联立式、构造齐次式（）（），艮（）（）上式两边同除以（）得“丄？（）故一，一是式的两根由韦达定理得峡（）为定值？（）类似可证，狄为定值
4、（）中等数学结论？设是双曲线（，）的左、右顶点，（？，）是；轴上异于点、的一定点，过点的直线与双曲线交于）、芯两点，、五不与火、重合记直线的斜率肋、分别为贝（）二为定值；（）（）认为定值）双曲线情况与椭圆情况的证明类似结论如图，设、是椭圆？（）的左、右顶点，印，）是；轴上异于点、的一定点，过点的直线与椭圆交于）、五两点，、五不与、重合，直线）与交于点，直线与交于点（？记直线仙、沿：、（？的斜率分别为则为定值类似可证故：）由结论（）知卜十（）故毛：值（）结论设、是双曲线（，）的左、右顶点，“，）是；轴上异于点、的一定点，过点的直线与双曲线交于）、两点，）、不与重合，直线与交于点，直线与交于点？记
5、直线）、（？的斜率分别为：贝为定值双曲线情况与椭圆情况的证明类似结论如图，设是椭圆（）的左、右顶点，（，）是；轴上异于点、的一定点，过点的直线与椭圆交于、瓦两点，！、不与、重合，过、五两点的切线交于点记直线）五沉的斜 率分别 为则（）为定值证明设）（）？，），（，），：则琴举孕，？联立、叮得？（）（）年第期将分别代人以上两式并化简得（！），（）（）：）则从。互一（）联立十，得（）由韦达定理得丄（）（）（）则、？，（）（）（）（）（）（）（）为定值结论设、是双曲线（，）的左、右顶点，（，）是；轴上异于点、的一定点，过点的直线与双曲线交于仏五两点，不与重合，过仏五两点的切线交于点记直线）五、的斜率分别为则从。、为定值（）双曲线情况与椭圆情况的证明类似参考文献：？（）十储炳南对一道数学竞 赛试题的推广中学数学教 学参考，（）：（上接第页）设为点在上的投影，则只需证、四点共圆：、三点共线丄廳设为的中点由于？是的垂心，是厂的 圆心，由外心、垂心的熟知结论，知？是平行四边形，故、；三点纖？由、分别是处、？的中点知）又为点关于的对径点且，故只需证明丄（？）设：为完全四边形的密克点则点尺在上注意到，（）由（）（，），且由熟知结论得于是，由圆幂定理知？二丄（黄驰涵南京理工大学设计艺术与传媒学院 级本科生，）
