1、数学之友2023年第11期多思维切人，妙方法解决解题探索一一道椭圆与双曲线共焦点问题的探究李勤（东莞市商业学校，广东东莞，5 2 3 10 7）摘要：共焦点的圆锥曲线问题，以焦点为公共信息，合理串联起不同圆锥曲线之间的关系，是综合应用问题的一大创设场景.本文结合一道高考模拟题，以共焦点的椭圆与双曲线为场景，不同思维视角切入，不同技巧方法应用，不同变式视角拓展，以期引领并指导数学教学与复习备考.关键词：椭圆；双曲线；焦点；离心率涉及共焦点的椭圆与双曲线的综合应用问题，具有场景创设巧妙，涉及信息量大的特点，是近几年数学试卷中比较常见的一类热点题型.此类问题人口较宽、切入点多,解题思路宽阔,解法灵活
2、多样，非常1有1MF,I=C.2由椭圆的定义可得IMF,I=2a-IMF,I=2a-2C1符合“三新”（新教材、新课程、新高考）的基本理念，倍受命题者青睐.1问题呈现问题：（2 0 2 3 届湖南省长沙市雅礼中学高三上学由双曲线的定义可得,0 2 a=IMF,I-IMF,I=2a1.-1-c=2-c2c(三角形的基本性质：三角形22两边之差小于第三边),则有2 aQc23期月考（四）（2 0 2 2 年12月）数学试题16)设F1，F,同时为椭圆Ci:+a=1(b0)与双曲线62:1(ai0,b,42：20)的左、右焦点,设椭圆C,与双曲线C在第一象限内交于点M,椭圆C,与双曲线C2的离心率分
3、别为ei,e2,0为坐标原点,若IF,F21=41MFz1,则eje2的取值范围是本题以椭圆与双曲线两个不同圆锥曲线共焦点为场景来创设问题，抓住两曲线在第一象限内的公共点，结合该交点与两焦点之间的对应线段的长度关系，进而利用两圆锥曲线的定义加以展开分析来处理解决问题.21问题破解2.1思维视角一：定义思维方法1：（定义法1一表示成ei的函数)解析：因为1F,F,1=41MF,1,即2 c=41MF,1,则86_数之友即ei EM0FF,),亦即一Ee12e12c2c又e22a12a-c2-e12，故填答案：2e1方法2：（定义法2 表示成c的函数）解析：因为1F,F,1=41MF,1,即2 c
4、=41MF,1,则1结合三角形的基本性质：三角形两边之差小于第三边可得12a=IMF,I+-c2c2,则有IMF,1 e12a1c2c22c2c所以eie22a2a1IMF4c2，故填答案：2e2所以eie22-e1212e14822c2c11IMF2C2数学之友方法3：（定义法3 一一表示成一的函数解析：因为1F,F,1=4IMF21,即2 c=41MF,1,则1有 IMF,I=-2C由椭圆、双曲线的定义可得所以2 a-2a,=c,而结合椭圆与双曲线共焦点的图形特征,可得jc,则有jc=2-21,即 3 IF,F,1,即(2 a,+C222c,整理,得 2 a,c=2a-2a,即 4a,2a
5、,亦即=0)与双曲线 C2=1(i0,b,0)的左、右ai6321焦点,设椭圆Ci与双曲线Cz在第一象限内交于点M,椭圆C,与双曲线C,的离心率分别为e1,e2,02c2c-2,所以eje22a2a1aa1，故填答案：4(a-a,)2aai为坐标原点,若IF,F2I=41MF,I,则一+2围是解析:因为1F,F,1=41MF,1,即2 c=41MF,1,则1有1MF,I=2C的取值范e解析：设IMF,I=m，I M F1=n,焦距为2 c.由椭圆的定义可得m+n=2a.由双曲线的定义可得 m-n=2a,解得 m=a+aj,n=a-aj.1由IF,F,1=41MF,I可得2 c=4n,即a-a,
6、=2111可得则e1e22由 0 ei 1,则有e12e22e222e22,所以eie2设2+e2=t e(3,4),则2+e22+e22e22(t-2)2eie2二2+e2t构建函数f(t)=t+一tt?-440,te（3,4),所以函数f(t)在(3,4)上单t2t21由椭圆的定义可得IMF,I=2a-IMF,I=2a2由双曲线的定义可得,0 2 a,=IMF,I-IMF,I=112a-c=2-c1,解得1 e24t+t4=-4,tE(3,4),则f(t)=1-2e22两边之差小于第三边）,则有 2 ab2调递增,因为f(3)=,f(4)=1,可得f(t)E3),所以ele2 E，故填答案
7、：20)与双曲线 C2:=1(a,0,b,0)的左、右焦点,a61设椭圆C,与双曲线Cz在第一象限内交于点M,椭圆C,与双曲线C,的离心率分别为ei,e2,O为坐标原点，2023.11_87数学之友若IF,F,I=41MF,I,则e2-ei的取值范围是解析:同变式1中的解析,可得e1 E2c2c又e2=2a12a-c2-e12e12-e1令t=2-eiE4（1,则f(t)=1t43所以函数(t)在一,可得f(t)E3，故填答案：4教学启示2023年第11期4.1归纳合理思路，总结技巧方法此类涉及椭圆与双曲线两个不同圆锥曲线共焦点的综合问题，关键就是根据相应的定义将对应标2e12e1,所以 e2
8、-e1=22-e1(2-t)?,构建函数f(t)：=t+t4t?-4上单调递减,因为f(1)=),所以e2-ei E(准方程中的各参数合理联系起来,通过代数变形与转化进行必要的消参处理，转化为单变量函数，进而利用相关函数的图象与性质、函数与导数的综合应用、不等式的基本性质等知识来分析与处理4.2倡导“一题多解”,培养核心素养“一题多解”对学生数学逻辑思维能力的培养有着重要影响，教师应注重将“一题多解”的意识渗透到数学课堂解题教学中.借助“一题多解”，从不同角度进行解法探究，让学生在解题探究中感悟数学思想方法之美，同时结合“一题多变”，达到“一题多得”“一题多思”“一题多变”等开拓数学思维的良好
9、效果,培养学生思维的发散性与开拓性，全面开拓学生的视野,提升其数学能力与数学品质，培养学生的核心素养.（上接第8 5 页）错题，教师不仅要让学生分析错误原因，还要让其重新解答，之后再给一些同类型的问题对其进行测试，使学生举一反三,避免在以后学习中再出现相同的错误.教师也可以让学生交换各自的数学“纠错本”，让学生相互之间借鉴整理错题的方法，互相提问题测试,以达到对错误问题真正弄懂学会的目的.此外，在初中数学教学中，教师还可以给学生提供上台分析和讲解错题的机会，让学生在给别人讲解和同伴互评中加深对错题的认识,提高解题能力.除了在日常教学中通过错题本整理错题,教师还要引导学生在复习过程中运用错题本对
10、本单元知识进行复习.学生在复习过程中重点翻看错题本上的错题,会大大提高复习效率.一方面,在错题本的指引下,学生可以有重点的复习，另一方面，再次完成原来的错题,学生如果发现在做的过程中还是出现了错误，那么就要向同学和老师请教，直到将这类错误彻底解决为止。2.4定期检查学生错题整理情况，并进行相应的指导在数学教学中,经常发现以前出现过的错误在后来还会再次出现.大部分学生对于错误的纠正需要很长时间或者需要多次纠正.教师应在要求学生使用错题本的过程中，提高其自主学习能力，同时定期检查学生对错题的整理和改错情况,看学生的错误分析、解题反思是否深入，新的解题过程是否正确.同时对于学习有困难的少数未能及时纠
11、错的学生进行有针对性、一对一地讲解，直到学生真正意识到自己出错的原因，最后，还要给学生一些类似题型进行练习，让学生从内心深处认识到及时整理错题的重要性.使各个层面的学生都能通过错题本受益，一方面提高整理错题的效率，一方面提高学生学习的自主性。参考文献：1 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2 0 2 2 年版）M.北京：北京师范大学出版社，2 0 2 2.2 司擎天.“错误”不能错过 J.中学数学教学参考：中旬,2 0 11(11):10 -11.3赵绪昌.数学课堂教学中“错误”的应对策略 J.中国数学教育：初中版，2 0 10（10）：9-11.【4李峰,陈兆明.对数学错题本的探究 J.中学数学教学参考：中旬,2 0 10(1)：13 7-13 9.88_数学之友
