1、数学之友2023年第12 期多思维突破，多视角变形解题探索一一道三元最值题的探究曹黎星（苏州市相城区望亭中学，江苏苏州，2 15 15 5）摘要：三元最值问题一直倍受高考数学命题者的青睐.这种问题能较好地交汇相关数学知识，融合数学知识、思想与能力，同时条件多变，情境创新，灵活变通，可以很好地拓展思维与反映数学能力.本文将结合一道模拟题的多解思维，一题多解，多向变式与规律总结，引领并指导教师进行数学教学.关键词：最值；基本不等式；三角换元；柯西不等式相比较于双元最值问题，三元最值问题在问题维度、深度与难度等方面都有一定的提升,是近年高考、竞赛等数学试卷中的一个常见题型与热点问题，根据变元的次数、
2、系数、运算符号以及对应的表达关系式等，可以与众多其他相关知识加以交汇与融合，实现对数学基本知识与数学基本能力等的全方位考查.1问题呈现【问题1】（2 0 2 2 2 0 2 3学年广东省深圳高级中学（集团)高三(上)第一次调研数学试卷)已知正数x,y,z满足x+2+2=1,则的最小值为Z（）.A.6此题以三元正实数的平方和为确定常数这个条件来创设问题情境，通过三元所对应的分式关系式的最值来创新设置.同时，分式关系式不具有对称性与轮换性，给问题的破解提供了更多的障碍,设置了更多的困难。2问题破解方法1：二次利用基本不等式法解析：由于正数x,z满足x+y2+2=1,由基本不等式,得1-2=x+2x
3、y，即-2xy1,当且仅当=y时等号成立，则有 5 -8 xy 5+4(22-1)=4z+1.4 22+1由基本不等式，得=4z+ZZ2/4z二=4,当且仅当4z=Z1Z=时等号成立.25-8xy所以的最小值为4,故选择答案：C.解后反思：根据题设条件与所求结论，其中变量,y的“地位”相同,第一次利用基本不等式时,视变量z为“静止”的常值,结合关系式的变形与转化,再恢复变量z的变量身份.第二次再对于利用基本不等式来得到最值.在解决多元最值问题时，经常采用相关的常值与变量的变化关系和不等式来进行分析与求解.5-8xy方法2：三角换元法一一单角参解析：由于正数x,y,z满足x+y+2=1,可得x2
4、+y2=1-2,B.5C.45-8xyD.3V6即4，结合三角换元，可得=/1-2 cos9,y=/1-2sin,0=(0,5-8xy5-8(1-z2)sin Qcos 0则有5-4(1-2)sin 20Z2V421=4,当且仅当sin20=1且4z=1,即x=/61时等号成立.25-8xy所以的最小值为4,故选择答案：C.解后反思：根据题设条件与所求结论,其中变量,的“地位”相同,视变量z为“静止”的常值,再进行三角换元处理，根据所求代数式的三角关系式的变形,利用三角函数的图象性质进行放缩处理,进而2023.12_595-4(1-2)Z422+1Z数学之友恢复变量z的变量身份,利用基本不等式
5、来得到最值.该解法巧妙综合三角换元与基本不等式的综合应用，切实可行地确定对应多变元代数式的最值问题方法3：三角换元法一一双角参解析：由于正数x,z满足x+y+2=1,利用三角换元可设x=cossin,y=sinsin,z=cos 0,其中,=(o,号)那么5-8xyZ5-4sin 2 sin5-4 sinecos 0cos 01+4 cos01+4cos 0 2.cos Ocos 0当且仅当sin2=1且1时等号成立.2所以5-8xy的最小值为4,故选择答案：C.Z解后反思：对三元平方和的关系式通过两个角参的引人来进行三角换元处理，结合所求代数关系式的三角恒等变换,利用三角函数的图象性质以及基
6、本不等式来进行合理放缩处理,进而得以确定相应的最值问题.这里利用三角换元法的关键就是对三元平方和的关系式的两角参的换元处理，这也是破解问题的关键与重点所在.3变式拓展保留题目三元正实数的平方和为确定常数这一条件,结合对不同思维视角变形能力的考查，在原来问题的基础上，从拓展变形以及综合变形等多个视角展开,可以得到一些相关的创新性应用问题.3.1拓展变形【变式1】已知正数x,y,z满足+y+=1,11则?+2y2解析：根据题意，由于正数x,y，满足+y+=1,分解可得（x+2y）+（y+22）+（2 2+2 x）=3(x2+y2+2)=3.由柯西不等式,得（+2y）+（y+2z）+1(22+2x(
7、+2+222+22260_数学之友2023年第12 期112222+212x2+2x2+22=2+2x2,即x=y=11变形可得x2+2 y25-8sin cos sin012+2+产cos+22225-4(1-cos3 0)故填答案：3.cos 03.2综合变形1【变式2 已知正数x,y,z满足x+y+2=1,4cos =4,cos 014cos 0,即x=ycos A1的最小值为2+222+2xZ1+22=9,当且仅当x+2y=V3时等号成立。313,即+2x222+211的最小值为3.2Z+2x1+z.1则S=一的最小值是(/6Xy42=A.2+3/2C.3+2/3解析:由于正数x,y,
8、z满足x+2=1,由基本不等式,得1-2=x+2xy,当且仅当x=y时等号成立，则有 1-2 2 xy,即又由题意,得0 z1,01-z1,则有1+z2xy1-z1+z那么S：xy(0,1).令函数(2）=(1-)(0,1),求导可得2+22-1f(z)=(2-2)2,令f(z)=0,解得z=/2-1(z=-/2-1舍去),则当zE（0,V 2-1）时,f（z）0,此时函数f(z）单调递增.故f(z)min=f(/2-1)=3+2/2,故选择答案:B.4规律总结保留题目创新情境，将问题中的常数加以一般1性处理,在原来特殊数字基础上，进一步挖掘规律，(下转第6 3页）2Z）.B.3+2/2D.4
9、+3/222.xy21+221+ZZZ.E数学之友3变式拓展通过以上模拟题及其解析过程，无论是解三角形思维或平面几何思维,其中求解线段BD的长度是问题的重点与关键所在，直接变换问题的求解方式，可以得到与之相关的对应以下两个变式问题。【变式1】在ABC中,点D在边BC上,若LABC=ZCAD=45,AD=/2,A C D 的面积为1+/22则BD=2/6答案：3【变式2 在ABC中，点D在边BC上，若ZABC=ZCAD=45,AD=2,A C D 的面积为1+/2，则乙BAD的正弦值为2V6答案：34技巧总结对于以上此类解三角形问题中的求值问题或2023年第12 期创新应用问题，解决的主要技巧方
10、法有以下两种思维：（1）解三角形思维,利用解三角形中的正弦定理、余弦定理，以及三角恒等变换公式等求出三角形的边或角.不过利用正弦定理、余弦定理的方法，需要根据条件选择合适的三角形进行求解，往往数学运算量比较大，有时可以通过构造直角三角形等方式来简化运算，此法是解决此类问题的基本方法.（2）平面几何思维，利用平面几何知识求出三角形中的相关线段长或角度等.平面几何法在处理平面几何中的线段长、方面相对比较便利，只是往往需要正、余弦定理作为辅助来完成，也需要有一定的平面几何功底。以上两种技巧方法中，解决问题各有优势，解三角形思维侧重逻辑推理与数学运算，平面几何思维侧重直观分析与逻辑推理，可以根据具体情
11、况合理选择.有时也可以是两种技巧方法加以合理融合与交叉，综合应用与处理问题在实现问题的解决与操作时，有时还可以结合平面向量的方法、平面直角坐标系的构建法等来分析与处理，也可以达到解决问题的目的.(上接第6 0 页）归纳总结得到更具一般性的创新性结论.【结论】已知正数x,y,z满足+=1,则+1-2n(n e N)的最小值为 2 mZ证明：正数x,y,z满足x+y+2=1,由基本不等式,得1-=x+2xy,即-2xy21,当且仅当=y时等号成立，所以 n+1-2nxyn+1+n(2-1)=n2+1.n+1-2nxy2+1由基本不等式,得一ZZ11nz-2nzX二=2 n,当且仅当nz=ZZ2-2
12、n，z=一时等号成立。2nnn2+1-2 nxy2所以其实,以上结论中,当n=2时,即为问题呈现中的原问题，此时所求的代数关系式的最小值为2 n=4.进而,改变该结论中对应的参数值，又可以得到不同的创新应用问题.5教学启示5.1方法归纳，目标转化解决三元最值问题，最常用的思维方式就是“降元”处理，将三元问题转化为双元问题，具体方法有：消元处理、三角换元、变换主元、整体思维等.总而言之利用“降维”,转化为双元最值问题来处理，是处理此类问题时最为常见的基本思维方式.5.2挖掘内涵,素养提升解决此类不具有对称性或轮换性的三元（或三元以上)最值问题，关键在于构建题设条件与所求结论之间联系的桥梁，挖掘条件本质，深入问题实质，即x=Z12合理逻辑推理，巧妙数学运算，整合不同知识点，综合不同技巧方法，融合不同数学知识点，实现知识、思想、方法与能力等各方面素养全方位的落实与提升，,并达到举一反三、融会贯通的最小值为2 n.参考文献：1丛婉莹.胡永建.一类代数式的最值及相关不等式J.数学通报,2 0 14,5 3(12):5 6-5 8.2 单博.数学竞赛研究教程M.南京：江苏教育出版社,19 9 3.2023.12_63
