1、数学之友2023年第1 2 期朱万春多元表征：促进数学知识与思维协同发展?数学教育（江苏省盐城市步凤小学，江苏盐城，2 2 4 0 4 5）摘要：知识理解与思维发展是数学教学的两个重要目标，但现实教学中往往将二者割裂开来，比如一些教师一味追求知识的快速理解和积累，却忽略了学生思维能力的发展.通过多元表征可以促进知识与思维的协同发展，因此，作为小学数学教师，要在教学中关注知识与思维的整体性，帮学生建立多元表征系统；关注知识与思维的互动性，发展学生多元表征之间的转换能力；关注知识与思维的发展性，增强学生的抽象表征能力.让学生在获得数学知识的同时，思维能力也得到充分发展，关键词：知识理解；思维发展；
2、多元表征知识理解与思维发展是数学教学的两个重要目标,知识理解是思维发展的前提，思维发展是知识理解的根本追求，二者协同发展是教学的必然要求.但现实教学中往往将二者割裂开来，表现为：追求知识的快速理解和积累，忽略思维能力的发展，以及“重知识、轻素养,重结果、轻过程,重接受、轻思辨”等问题,也就是说,在教学过程中将知识理解和思维发展割裂开来，知识和思维没有得到同步发展.1多元表征促进知识与思维协同发展的必然性多元表征是认知科学中一个重要的概念.从多元表征理论看知识学习和思维发展，多元表征具有促进知识与思维协同发展的优越性和必然性。首先，多元表征作为一种学习结果，代表着对知识的理解程度,对知识有怎样的
3、理解，就有怎样的表征形式.在数学学习中，对数学知识的表征方式决定着知识的理解方式；知识表征的丰富性决定着知识理解的深刻性；知识表征之间的转换决定着知识运用的灵活性.其次，表征也是一种学习过程和学习方式.学习过程就是对知识建立多元表征以及多元表征之间进行转换和转译的过程，以此来达到对知识的深度理解和融会贯通.最后，多元表征也是一种思维方式和认知方式.美国学校数学课程标准与原则中指出：“不同表征将导致不同思维方式”.对知识的表征过程就是思维对知识进行信息加工的过程，一个人对知识进行多元表征的情况，体现了其思维的深刻性和灵活性程度.如有的低年级学生倾向于直观操作表征，计算时要借助手指，可以看出其思维
4、对实物的依赖，而有的学生计算完全是符号性操作，可以看出其抽象思维能力比较强.可以说，多元表征在促进知识的深层理解和思维的发展上有着十分重要的作用，通过多元表征可以促进数学知识和思维的协同发展,形成一种相互成就的良性循环。2多元表征促进知识与思维协同发展的教学路径2.1关注知识与思维的整体性,建立多元表征系统建构主义认为，知识的获得不是教师直接传授的,必须经由学生的思维和行动自主建构.也就是说，知识不能独立于学生的思维，学生对知识的理解与学生思维的提升是整体协同发展的，忽略任何一方，另一方也就无法获得应有的发展.同时，完整知识观认为知识至少蕴含三种意涵：一是表征知识内容的概念、命题与理论，即显性
5、知识；二是知识创生的方法、思想与思维，它们是知识得以创生的方法论根据；三是知识创生的价值追求 .不管是建构主义知识观,还是完整知识观，都强调了知识理解和思维发展的整体性.也就是说，知识理解和思维发展是整体推进的，知识理解要以思维发展为目的,思维发展要以知识理解为手段.结合多元表征理论，对同一知识建立多元表征，既是对知识不同视角、不同意蕴的完整理解，又是不同思维方式的认知结果.以知识的多元表征为载体，可以促进思维方式的多样发展，突破简单的线性思维和肤浅的机械思维.所以说，多元表征联结着知识与思维的共同发展，第一，倡导多种学习方式，建立多元表征系统.“每一种表征形式都是基于信息本质经过信息系统的加
6、工处理从而生成的，联系信息及其相关联的表征进而形成一个表征系统.”可以看出，学生建立多元表征系统就要打通知识之间的关联.因此，要打破2023.12_5数学之友单纯通过听讲、记忆来学习的传统学习方式，引导学生用多种学习方式对知识进行主动加工和处理，才有利于多元表征的建立，促进知识和思维的整体进步.比如学习平行四边形面积的计算时，教师要引导学生充分观察对比，发现平行四边形和长方形、三角形等图形的关系；通过推理，回顾学习长方形等面积时的方法和过程，猜测、推理平行四边形面积的计算方法；操作尝试，通过剪拼、折叠、画图等实际操作进行直观理解.以上每种学习方式都是对知识不同视角的表征和理解,通过以上多种学习
7、方式，学生可以打通知识与邻近知识之间的联系，以及同一知识不同表征形式之间的联系，从而对知识进行整体性理解，建立起多元表征系统。第二，交流展示、多元化呈现，完善多元表征系统.不同的学生对同一知识的理解程度和表征方式是不同的，课堂上教师要搭建好交流展示的平台，让不同层次、不同认知风格的学生在交流展示中相互启发,增进知识理解，拓宽学生视野，从而使每个学生的多元表征系统得到完善，促进知识和思维的同步发展.如在交流中有的学生喜欢动作表征，有的喜欢图象表征，有的喜欢符号表征等，通过相互启发，提高表征的丰富性.但是学生的认识和思维毕竟有局限性，教师在课前要做足功课，在学生交流展示中不失时机地为学生呈现数学知
8、识的多样化形态，打开学生的认知视野，让学生产生“原来还可以这样！”的感叹.比如在学习平行四边形面积的计算时，学生通过多种学习方式可以探索出平行四边形面积的计算公式，但他们不能发现平行四边形、三角形、长方形、梯形面积计算公式的一致性，这时候教师就要发挥主导性作用,让学生动态理解以上图形的一致性：可以把平行四边形看作上下底相等的梯形，把三角形看作上底为的梯形，而长方形是特殊的平行四边形等多种辩证理解.进而打通这些图形之间的本质联系，获得对这些图形面积计算公式的一致性理解和动态表征.2.2关注知识与思维的互动性,发展多元表征之间的转换能力在学习过程中,知识与思维是互动的,也就是说获得知识必须有思维的
9、深度参与，在二者的互动中产生意义学习.如果只追求知识的快速接受和理解，学生思维没有充分参与，获得的知识就是惰性知识和碎片化知识.惰性知识是一种机械的肤浅知识，学生没有深度理解，无法灵活运用.碎片化知识没有建立良好的知识结构，不能融会贯通.基于多元表征理6_数学之友2023年第1 2 期论，惰性知识无法灵活运用，碎片化知识不能融会贯通，是因为知识表征过于单一，无法根据知识环境和具体问题的需要，进行有效快速的表征转换.这种情况下虽然学生的知识数量积累了不少，但知识是孤立的,导致思维受阻，无法形成思维的“路路通”.因此，教学中要重视知识多元表征之间的快速转换和转译.知识的多元表征转换既是知识的运用过
10、程，也是思维的发展过程.第一,在问题解决中提高转换能力.数学是一个工具,是用来解决数学问题和现实问题的.但是数学知识很少可以直接拿来套用，必须经过表征的多元转化，才能有利于问题的成功解决.尤其在审题和分析阶段，需要把题目中的信息进行加工处理，在转化中挖掘潜在的信息，明晰隐藏的关系.如果不能把已知信息转化为合适的表征形式，问题就无法解决.因此在解决问题的过程中,要增强学生对不同表征方式进行转换的能力.美国数学家波利亚在怎样解题一一数学思维的新方法一书中提出的许多解题策略就是不同表征形式之间的转换，诸如在理解题目阶段画一张图、引人恰当的符号就是把文字表征转换为图形和符号表征.在拟定方案阶段引导学生
11、自问：“你见过同样的题目以一种稍有不同的形式出现吗？”“你能重新叙述这道题目吗？”“你还能以不同的方式叙述它吗？”这些解题策略都是对题目的不同表征的转化,通过转换达到对题目的理解。第二，在教学中注重知识的表征转换，促进学生对知识的整体理解.首先可以通过变式训练，给学生提供一组变式题组，让学生在各种变式中感受同一知识的不同侧面和变化，促进学生对知识的全面理解和深度理解，有利于实现知识表征之间的顺利转换.其次，进行转换能力的专项训练，促进学生养成自主转换的习惯.实施表征转换的专项训练，可以发展学生的思维发散能力，在学生面对数学知识和问题时可以主动从不同角度进行审视、加工和处理，用不同方式表征数学知
12、识和问题.例如，在对百分数进行多元表征转化训练时，向学生提出问题：“用多种方式说一说，你是怎样理解百分数的？”让学生围绕百分数这一概念进行自主联想，用不同方式表征概念.学生可以结合自已的生活经验进行生活化表达，也可以通过与分数、小数、比例等概念对比来进行数学化表达，还可以通过自已创设情境来进行情境化表达.从而让学生在思考这一问题的过程中，实现对百分数不同表征方式的转换，数学之友2.3关注知识与思维的发展性,增强抽象表征能力抽象性是数学最重要的特性,学习数学经常需要学生以符号来表示定义、公式、概念等知识.学生的抽象思维能力越强，学习能力就越强.所以，学习不能一直停留在直观阶段，必须要从直观走向抽
13、象.布鲁纳将表征分为三个层次，分别是直观表征、图象表征、符号表征,这一划分符合学习的基本路径.小学低年级要以直观的动作表征、图形表征为主，到了高年级必须重视抽象性表征的建构，慢慢向抽象的文字表征和符号表征过渡.首先，充分经历动作表征和形象表征是走向抽象表征的前提.没有充分经历或肤浅经历动作表征和形象表征过程，过早进入抽象表征,会导致学生概念理解“形式化”2 .所以，一定要注意多元表征中动作表征和形象表征的充分经历，以及学生对数学知识的浪漫体验，在这一基础上促进学生进人抽象表征阶段.其次，在多元表征中引领2023年第1 2 期学生走向抽象,形成抽象和具体互通的思维通道.没有抽象表征的统领，庞大而
14、繁杂的具体知识就会杂乱无章，构建不出知识网络；没有多元的具体表征作为支撑，抽象表征就无法建立.因此，在教学中，学生进行形象的具体表征之后，教师必须促使学生进行抽象化思考，促进抽象思维的发展.同时，教师需要在教学中根据学习的阶段性，把握好抽象的程度和方式.这样把抽象思维的发展渗透到具体表征之中，让学生经历具体和抽象的来回互动，就可以建立起抽象和具体互通的思维能力.参考文献：1李润洲.基于完整知识观的素养教学 J.中小学教师培训.2 0 1 8(9):33-37.2 卢清荣.在多元表征中深化概念理解J.江苏教育.2016(10):61 62.(上接第4 页）之一,其学习效果对后续课程以及学生的考研
15、有着重要的影响.因此,除了教师在课前、课中要充分体现立德树人的育人目标,对于课程学习效果，教师不能再采用以往的单纯以学生评教分和考试分数来评价教师教学效果和学生学习效果的评价模式，应在考核时融人育人效果的考核.教师方面，首先实行师德师风一票否决制；其次通过专家听课、同行评教、学生调查问卷等方式对概率统计课程思政效果进行评价并提出改进措施.学生方面，要充分体现出过程评价、结果评价与发展评价.过程评价主要采用观察法和调查问卷法，观察法包含教师在上课时注意观察学生上课的出勤率、抬头率、提问及回答问题的频率,观察课程思政对学生言行的影响以及在线平台的过程性数据，包括作业、小测试、师生交流情况等；调查法
16、指采用调查问卷形式调查学生对本课程的感兴趣程度、学习投入时间、学生对教师课程思政效果的认可度等.结果评价主要采用考试形式考查课程内容掌握情况以及小论文形式考核学生解决实际问题的能力.发展评价主要采用深度追踪访谈形式，对学完本课程的部分大三、大四学生及毕业生进行访谈，了解本课程对学生的专业发展以及在学生人格塑造、职业选择等方面是否发挥明显作用.通过这三种评价机制,对学生的课程学习能力、综合素养,职业道德等进行综合评价，同时也能体现出教师的育人效果总之,课程思政是新形势下培养具有高思政素养专业人才的必然要求，应该成为常规教学的一种模式.教师本身要具有强烈的思政意识，将思政教育贯穿于课程教学的始终.
17、教师还要多钻研教材，多关注如何根据学生接受能力和思想实际，以科学渗透代替简单灌输，力求做到讲究策略性、系统性，从而完善课程体系.同时，言传不如身教，生活中处处都是课程思政，教师要做到知行合一，提升育人效果.参考文献：1 】新华社.习近平：把思想政治工作贯穿教育教学全过程 EB/0L.（2 0 1 6-1 2-0 8).h t t p:/w w w.x i n h u a n e t.c o m/politics/2016-12/08/c_1120082577.htm.2陈学慧，李娜,赵鲁涛.将思政元素融入概率论与数理统计“金课”建设与实践J.大学数学,2 0 2 1,37（3）：30-35.3
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