1、多元变量最值问题的常见结构与方法廖苡秀(广西贺州第二高级中学 5 4 2 8 9 9)【摘要】多元变量最值问题是高考中的热点问题,学生应熟悉不等式常见结构与方法:(1)和与积关系结构;(2)倒数和结构;(3)一、二次齐次互化结构;(4)分子比分母高一次的分式和结构;(5)复合结构,有助于处理多元变量的最值问题.【关键词】高中数学;多元变量;最值问题多元变量最值问题是高考中的热点问题,因其变量多、形式灵活多变、方法多、综合能力要求较高,学生难以打开解题思路.文章就近几年高考多元变量最值问题的常见结构与方法进行举例阐述,让学生面对此类问题解题思维更加有序、清晰.1 和与积关系结构 基本不等式及其推
2、广基本不等式的一般形式:对于n个正数a1,a2,an,有a1+a2+annna1a2an,当且仅当a1=a2=an时,等号成立.例1(2 0 2 2全国乙,理2 3改编)已知a,b,c都是正数,且a32+b32+c32=1,求a b c的最大值.解 因为a0,b0,c0,所以a32+b32+c3233a32b32c32,即3a b c1.所以a b c19,当且仅当a32=b32=c32=13时等号成立,所以a b c的最大值为19.2 倒数和结构2.1 二元倒数和结构 基本不等式例2 已知正数m,n满足m+2n=2,求n+2m的最小值.解 因为m0,n0,所以n+2m=12m+2n n+2m
3、 =124+m n+4m n 124+2m n4m n =4,当且仅当m n=4m n时,等号成立,由m n=4m n,m+2n=2,解得m=1,n=2,所以n+2m的最小值为4.2.2 多元倒数和结构 柯西不等式柯西不等式的一般形式:设a1,a2,a3,an和b1,b2,b3,bn是实数,则(a21+a22+a23+a2n)(b21+b22+b23+b2n)(a1b1+a2b2+a3b3+anbn)2,当且仅当bi=0i=1,2,n 或存在一个实数k,使得ai=k bii=1,2,n 时,等号成立.例3 已知正数a,b,c,d满足a2+b2+c2+d2=1,求1a2+1b2+4c2+4d2的
4、最小值.解 因为 1a2+1b2+4c2+4d2 a2+b2+c2+d2 ,1aa+1bb+2cc+2dd 2=3 6,即 1a2+1b2+4c2+4d23 6,4 数理天地 高中版基础精讲2 0 2 3年1 2月上当且仅当a2=b2=12c2=12d2=16时等号成立,所以1a2+1b2+4c2+4d2的最小值为3 6.3 一、二次齐次互化结构 柯西不等式例4(2 0 1 9全国3,理2 3改编)已知x,y,z R,且x+y+z=1.求x-1 2+y+1 2+z+1 2的最小值.解 因为(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2(1+1+1)(x-1)+(y+1)+(z+1)2=4,即x-1
5、2+y+1 2+z+1 2 34,所以x-1 2+y+1 2+z+1 243,当且仅当x-11=y+11=z+11,即x=53,y=-13,z=-13时等号成立,所以x-1 2+y+1 2+z+1 2的最小值为43.4 分子比分母高一次的分式和结构 权方和不等式权方和不等式的一般形式:若xi0,yi0,则xm+11ym1+xm+12ym2+xm+1nymnx1+x2+xn m+1y1+y2+yn m,当且仅当xi=k yii=1,2,n 时等号成立.例5(2 0 1 3全国2,理2 4改编)已知a,b,c都是正数,且a+b+c=1,求a2b+b2c+c2a的最小值.解 因为a2b+b2c+c2
6、aa+b+c 2a+b+c=a+b+c=1,当且仅当ab=bc=ca即a=b=c=13时等号成立,所以a2b+b2c+c2a的最小值为1.例6 已知正数x,y满足x+2y=4,求x2x+2+2y2y+1的最小值.解 因为x2x+2+2y2y+1=x2x+2+4y22y+2x+2y 2x+2+2y+2=2,当且仅当xx+2=2y2y+2即x=2,y=1时等号成立,所以x2x+2+2y2y+1的最小值为2.5 复合结构 消元法例7 已知a,b,c都是正数,且a-b+2c=0,求b2a c的最小值.解 因为a-b+2c=0,即b=a+2c,所以b2a c=a+2c 2a c=4+ac+4ca4+2ac4ca=8,当且仅当ac=4ca,即a=2c时等号成立,所以b2a c的最小值为8.6 结语上述内容都是围绕多元变量最值问题的结构与解题方法展开分析的.在审题过程中,需要对已知条件与目标式子的变量个数、结构特征进行分析,选择适当的方法进行解答.如果含有其他知识,可以先把它们转化为上述的基本结构,再选择恰当的方法进行求解.52 0 2 3年1 2月上基础精讲 数理天地 高中版
