1、亲例1 名师精品课辽宁教育|2 0 2 3 年1 1 月（上半月）发展几何直观促进深度学习以北师大版数学教材八年级下册“平行四边形的性质”为例罗勇（大连教育学院）摘要：新课标在课程目标下的“核心素养的内涵”在初中阶段的主要表现中，将几何直观列为九个表现之一，并对几何直观的内涵进行了详细阐述。在初中数学课堂中发展学生的几何直观，可以从发现数学对象、认识数学对象的性质、运用数学对象三个方面入手，促进学生的深度学习。关键词：几何直观；新课标；深度学习几何直观主要指的是运用图表描述和分析问题的意识与习惯。在图形的性质学习中，主要体现为能够感知各种几何图形及其元素，依据图形的特征进行分类；根据语言描述画
2、出相应的图形，分析图形的性质。几何直观有助于学生把握问题的本质，明晰思维的路径。本文将以北师大版数学教材八年级下册“平行四边形的性质”探究为例，阐述如何在图形的性质教学中发展学生的几何直观。一、发现数学对象具体分析及实施建议如下：教师出示生活中的平行四边形图片。问题1：你能在图中找到平行四边形吗？目标分析：从实际背景或数学背景中抽象图形，发现数学对象，关注共性，分辨差异，并能用画图、语言描述等方式表达。教师引导学生独立画出（描出)平行四边形。学生行为及分析：将视觉转化为触觉，通过描图，体会平行四边形由四条边组成，且对边互相平行。教师引导学生说出图片中的平行四边形（语言描述）。如，停车位施划的实
3、线围成一个平行四边形。学生行为及分析：将直观感觉转化为语言表达，提炼图形的特征(平行四边形是由四条边首尾顺次连接组成的，且两组对边互相平行）。问题2：你能说说什么样的四边形是平行四边形吗？为什么这样认为？目标分析：引导学生关注合适的类别,用准确的语言描述研究对象的概念，提升抽象能力。学生行为及分析：语言表达，尝试给出定义。学生说出的结果可能有很多种，如两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。有的学生甚至会说不全，如边平行的四边形是平行四边形。教师应先肯定学生得出的结论，然后追问原因，把学生抽象思考的过程暴露出作者简介：
4、罗勇，大连教育学院高级教师。94辽宁教育1 2 0 2 3 年1 1 月（上半月）亲例1 名师精品课方案三：用剪刀沿着平行四边形纸片的对角线来。然后，说明采用“两组对边分别平行”作为定义条件的原因，让学生理解“将图形之间的关系特殊化 是得到新的类(平行四边形)的原因，也因此了解“属+种差”定义新类的合理性。学生经历条件逐步完备、语言逐渐精练的过程，使几何直观从基于操作经验的感悟向基于概念的推理过渡。问题3：请你用直尺和三角板画出一个平行四边形，你想怎样画？请参考三角形的表达方式记录这个平行四边形。目标分析：理解图形作为一个整体，内部的元素有相应的位置关系，用符号与元素对应标记出来。文字表达、符
5、号表达、图形表达相互对应。根据符号表达能画出图形，根据图形能写出符号表达，并能在转换的过程中用自然语言解释。在基于概念的层面上体会几何直观。教引导学生利用直尺和三角板画出平行四边形。学生行为及分析：直尺可以画直线（线段），三角板可以画特殊角，结合后可画出平行线段，从而画出三角形。学生先确定画图的依据（定义），然后设计画图的程序（先后顺序），从推理和操作的角度体会平行四边形的定义，从中获得研究图形的经验。学生画出的图形可能位置不同，形状不同，大小不同，这是概念外延的表现，都符合其认知规律。教师引导根据给出的符号表达画出图形，再根据给出的图形写出它的符号表达，并用自然语言解释。学生行为及分析：在三
6、种表达的转换中，体会对应关系。结合三个不同的角度认识图形。问题4：图1 中有几个图形是平行四边形？请找到并表示出来。HABIC图1 寻找平行四边形目标分析：形成基于概念的几何直观，能用推理的方式说明数学对象。学生行为及分析：找到平行四边形，并用概念说明。辨析并应用概念，能从数学情境中发现几何对象，并能说出原因。问题5：回顾研究平行四边形定义的学习过程，我们经历了什么？对你学习其他图形会有什么启发？目标分析：重新梳理研究的历程，了解思考形成的过程,体会其合理性，并引导学生对自己已的思考过程再思考，提升思维水平。学生行为及分析：梳理研究的过程，用交谈的方式展现思考的过程,并从其他同学的谈话中获益，
7、了解同一个问题的不同思考角度，获得思考提纯(对认知的认知）的经验。数学对象的产生主要有两类，一是从现实世界中产生，二是从数学问题中产生。在小学阶段学习图形时，几何直观主要建立在以直观感受（触摸）测量、剪拼等经验的基础上，属于直观思维层面，而在初中的学习中逐渐过渡到抽象思维层面。教师要引导学生经历发现数学对象一描述和形成概念一辨辩析概念的过程。二、认识数学对象的性质下面是学习平行四边形性质相关内容（平行四边形对边相等、对角相等)的不同教学设计方案。方案一：根据定义画一个平行四边形，观察它除了“两组对边分别平行”外，其边之间还有什么关系？角之间还有什么关系？度量一下，和你的猜想一致吗？为什么？上述
8、的探究经历了怎样的过程？你有什么收获？你能设计更好的探究过程吗？为什么不探究边和角之间的关系或邻角之间的关系呢？方案二：请度量给定的平行四边形纸片，边之间有什么数量关系？角之间有什么数量关系？根据你的度量，能得到怎样的猜想？请证明你的猜想。GD剪开，得到两个三角形，动手操作，体会三角形与平行四边形的关系，你有什么发现？根据你的操作，能得到怎样的猜想？请证明你的猜想。方案四：请借助等腰三角形的学习经验,探索平95亲例1 名师精品课辽宁教育|2 0 2 3 年1 1 月（上半月）行四边形的性质。比较四种方案我们会发现：方案一问题脉络清晰，展现了探究的全景，留给学生探究、思考和交流的空间较大,方便学
9、生探索；引导学生归纳认识的过程及认识方法，并鼓励提出质疑。方案二、方案三细致指导学生的操作探究活动，问题准确，目标清晰，学生思考的空间显现得有些局促,细节突出,有宏观不够清晰的感觉。方案四鼓励学生在已有的探究图形性质经验的基础上，设计探究方案,开展探索；对学生要求高，学生独立完成的可能性较小，需要合作学习。针对不同的学情，教师可以设计不同的探究方案，可弹性处理，达到教学目的即可。在证明过程中，学生可能会出现几种不同的思路：基于操作经验的直观（沿着对角线剪平行四边形纸片，连接对角线）；基于概念推理的直观（全等三角形能转移边、角，要出现全等三角形，则连接对角线）；基于概念推理+图形直观（我们曾把四
10、边形转化为三角形，得到内角和为3 6 0，尝试将四边形对边、对角相等问题转化为三角形的关系问题,故连接对角线）。回顾探究过程，学生会发现问题的起点都是平行四边形的概念，由此认识到平行四边形性质的数学学科本质是平行四边形的概念。在学生经历证明之后，教师可以引导学生寻找证明思路产生的原因，体会基于概念的几何直观对思路产生的影响。三、运用数学对象例题：如图2,在口ABCD中,DELAB,BFLCD,垂足分别为E,F。求证：AE=CF。D五AE图2 证明题数学对象分析：由条件可知,数学对象有口ABCD，由图形直观可得，数学对象还应该有四边形BEDF，A ED 和CFB。96数学对象元素及关系分析：在口
11、ABCD中，LA=ZC,ZB=LD,AB=CD,AD=BC,AB/CD,AD/BC;在四边形BEDF中，ZDEB=LDFB=90，D F/BE；在A ED 与CFB中,LAED=ZCFB=90。数学对象之间的关系分析：（1)在口ABCD与四边形BEDF之间，有AE=AB-BE,CF=CD-DF;（2)在ABCD与AED,C FB之间,AD,BC,ZA,ZC是共有元素；（3）观察可知AED=C FB，A E与CF是对应边。由此可产生下面的思路：一是考虑到口ABCD与四边形BEDF的位置关系，由AE=AB-BE,CF=CD-DF，只要证明AE=CF,即证明四边形BEDF是平行四边形即可。二是口AB
12、CD与AED,C FB之间,AD,BC,LA，ZC 是共有元素，AE,CF是AED和CFB的边，只要证明AEDC FB即可。数学对象作为一个整体在复杂的数学问题中出现，其中包含的元素是若干数量关系和位置关系，数学对象的作用主要是传递关系，理解数学对象(基本图形)在问题中的地位和作用，会有助于学生找到解决问题的思路，厘清问题的本质。在解决问题时，教师应引导学生回答这样几个问题：问题中有哪些数学对象（基本图形)？每个对象中有哪些元素？它们之间有什么关系？数学对象之间有什么关系？在图形的性质教学中，教师应该引领学生围绕体现整体性和结构性的学习主题，深刻经历几何直观的形成过程，不断反思、比较、总结，有目的、有意识地培养思考习惯，提升思考能力。FCB参考文献：1孔凡哲，史宁中，赵欣怡义务教育数学课程标准（2 0 2 2 年版）的主要变化特色分析 J.课程教材教法,2 0 2 2(1 0).2鲍建生，章建跃.数学核心素养在初中阶段的主要表现之三：几何直观 J.中国数学教育，2022(23).（责任编辑：杨强）
