1、专题:磁约束等离子体中的高能量粒子反磁剪切托卡马克等离子体中低频剪切阿尔芬波的理论研究*马瑞瑞1)陈骝2)3)仇志勇2)1)(核工业西南物理研究院,成都610041)2)(浙江大学物理系,杭州310027)3)(加州大学欧文分校物理与天文学系,加州CA92697-4574)(2023年 2月 21 日收到;2023年 6月 14 日收到修改稿)位于动理学热离子带隙附近的低频阿尔芬扰动因可以与高能量粒子或背景热粒子发生相互作用而引起了广泛的关注.本文在一般鱼骨模色散关系的理论框架下,针对反磁剪切托卡马克等离子体中观测到的由高能量粒子或者背景热粒子激发的低频剪切阿尔芬波的线性特性进行了一系列的理论
2、研究.由于这些低频剪切阿尔芬波与 2019 年 DIII-D 开展的专门研究高能量离子驱动低频不稳定的实验密切相关,因此本文通过采用 DIII-D 具有代表性实验的平衡参数,证明了实验上观测的低频模和比压阿尔芬本征模分别是以阿尔芬极化为主的反应型和耗散型不稳定模,因此,将前者称为低频阿尔芬模更准确.由于受逆磁和捕获粒子动理学效应的影响,低频阿尔芬模既可以在低频区(频率小于热离子的渡越或反弹频率)与比压阿尔芬声模耦合,又可以在高频区(频率大于或近似等于热离子的渡越频率)与比压阿尔芬本征模耦合.此外,由于受到不同激发机制的影响,与局域在安全因子最小值有理面附近的低频阿尔芬模相比,驱动比压阿尔芬本征
3、模的高能量离子的压强梯度在偏离安全因子最小值的有理面时达到最大值,相应的比压阿尔芬本征模的本征函数在高能量离子驱动最大的径向位置处出现峰值.通过改变安全因子最小值理论上重现了实验上观测的比压阿尔芬本征模和低频阿尔芬模的上升频谱特征.研究还表明,比压阿尔芬声模由于受到强烈的朗道阻尼,因而很难被高能量粒子激发,这与基于第一性原理的理论预测和模拟结果一致.本文证明了一般鱼骨模色散关系在解释和预测实验和数值模拟结果方面的强大能力.关键词：低频剪切阿尔芬波,高能量粒子,不稳定性,回旋动理学PACS：52.35.Bj,52.55.Pi,52.35.Py,52.30.GzDOI:10.7498/aps.72
4、.202302551引言高能量粒子(energeticparticle,EP)在聚变等离子体中的约束特性对决定当前和未来接近或在反应堆参数区间运行的托卡马克的性能具有重要意义.例如,为了点燃氘-氚(D-T)等离子体,必须对在 D-T 聚变反应中产生的阿尔法粒子进行良好的约束.同样地,在射频或中性束注入实验中产生的高能量离子也必须受到良好的约束才能成功地实现等离子体加热和/或电流驱动.尽管目前基于库仑碰撞理论对 EP 约束性的评估是可行的,但这一理论仍然存在严重的问题,问题主要来自于由 EP 激发的集体振荡所引起的 EP 的反常输运损失.这是由于携带着足够强的来自压强梯度自由能的 EP,其特征频
5、率(例如渡越/反弹频率)与剪*国家磁约束核聚变发展研究(批准号:2022YFE03040002,2018YFE0304103)、国家自然科学基金(批准号:12261131622,12175053)和四川省自然科学基金(批准号:2022NSFSC1814)资助的课题.通信作者.E-mail:2023中国物理学会ChinesePhysicalSocietyhttp:/物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.21(2023)215207215207-1切阿尔芬波(shearAlfvnwave,SAW)的频率在同一量级(均在 MHz 范围内),并且 SAW 的群速度与磁场平行,因此通过波
6、-粒共振相互作用,可以直接激发多种 SAW,并引起 EP 的反常输运.在聚变装置中,由于磁场和等离子体的不均匀性,使得各种阿尔芬本征模(Alfvneigenmode,AE)存在于 SAW 连续谱的带隙中.这些 AE 因不受连续谱阻尼的影响,很容易被 EP 激发,因此通常被认为是 EP 输运的主要因素1.pitibi在这些由不同效应引起的 AE 中,其中由有限比压引起的阿尔芬本征模(beta-inducedAlfvneigenmode,BAE)存在于由热等离子体可压缩效应产生的间隙中2,3.自首次观测到 BAE 以来2,3,动理学热离子带隙频率4范围内的低频阿尔芬波谱一直是人们研究的热点.这些模
7、的频率()与热离子逆磁频率()同一量级,且与热离子渡越()和/或反弹()频率相当,因而可以与背景热粒子和 EP 发生相互作用1,59.由这种相互作用引起的有限电磁扰动和带状场结构会对相应粒子的输运过程产生正面或负面的影响1,4,10.这类低频 SAW 扰动包括但不局限于:考虑了有限逆磁漂移效应的动理学气球模(kineticballooningmode,KBM)1113、由热离子可压缩性而引起的BAE2,3、由动理学热离子可压缩性及波-粒共振效应引起的阿尔芬的离子温度梯度(Alfvniciontemperaturegradient,AITG)模6,14、以及由两个边带声模相互耦合再与 SAW 耦
8、合而产生的比压阿尔芬声模(beta-induced Alfvn acoustic eigenmode,BAAE)15,16.对于这些低频 SAW,由于热等离子体的可压缩效应会对其色散关系产生重要的修正,因此,低频SAW 的线性性质往往与已被广泛研究的环向阿尔芬本征模(toroidalAlfvneigenmode,TAE)17和反磁剪切阿尔芬本征模(reversedshearAlfvneigenmode,RSAE)18,19等高频阿尔芬本征模的线性性质不同.一般地,包含任何热粒子动理学效应的由高能量粒子激发的 Alfvn 波的不稳定性,均可以在由 Zonca 和 Chen20,21发展的一般类鱼
9、骨模色散关系(generalfishbone-likedispersionrelation,GFLDR)的理论框架下进行统一的描述.GFLDR 是类比磁流体能量原理的推导方法,将描述波色散关系的式子表示为类能量形式的方程.它首先要求扰动量在空间上存在两个径向尺度,然后采用模分解22和 WKB(Wentzel-Kramers-n=3m=48|bi|A|A0|mLPE;rel m本文从不考虑47以及考虑 EP48的效应来研究低频 SAW 的线性特征.在这种情况下,不同种类粒子的动理学效应将通过其压强特征尺度线性地进入低频 SAW 的色散关系并影响其行为.对于DIII-D 第 178631 次放电,
10、图 3 所示为热粒子和高能量粒子的压强特征尺度(和 ),以及在弱和/或零磁剪切情况下()模的宽度()的径向依赖关系.这里,r 为沿着小半径方向的径向位置.具体而言,EP 的压强分布由“弛豫的(relaxed)”EP 剖面和“经典的(classical)”EP 剖面这两种极限情况给出.“弛豫的”EP 剖面由 EFIT49重建提供,其中快离子的压强是通过计算平衡压强与热粒子压强之差得到的.另一种由TRANSP/NUBEAM50给出,是指在考虑由不稳定性引起的快离子输运的情况下得到的“经典的”EP 分布.对于这两种极限情况,EP 的压强特征尺度分别由 和 表示.当模失稳时,真实的 EP分布可能介于这
11、两个极限之间,且最接近基于 EFIT获得的结果.在弱和/或零磁剪切区域,对于给定的环向和极向模数 ,其归一化平行波矢,模的径向度可以用 45,46来估算.这里,表示在 处的平行波矢,其中 q 剖面具有最小值并由 给出,表示 q 在径向上的二次导数,R 是托卡马克的大半径.由图 3 可知,在弱和/或零磁剪切的区域,.这一关系通常对应于将全局问题简化为求解模的局域色散关系的前提条件.因此,对于与高能量粒子激发无关的 LFAM 的分析,可以通过求解低频 SAW 的局域色散关系来处理47.然而,对于高能量离子驱动的 BAE,需要讨论两种不同的情况48:一种是在适中的 EP 压强梯度下,即仍有 的关系,
12、这种情况可近似通过求解局域的 GFLDR5,20,21,25,4346来研究 EP激发的 BAE 的性质;另一种是当系统中存在强的EP 压强梯度时,则有 ,对于这种情况,需要求解低频 SAW的全局色散关系.关于这部分的讨论将在理论模型中具体展开.80010001200140020050100150Frequency/kHzTime/ms#178631RSAEBAELFM(2,1)(5,3)(6,4)(3,2)(13,9)(14,10)(15,11)(14,11)(13,10)(12,9)(11,8)(10,7)(9,6)(7,5)(8,6)(9,7)(10,8)(11,9)(12,10)(13
13、,11)(7,5)(8,6)(9,7)(10,8)(8,7)(7,6)(6,5)(5,4)(4,3)(a)8001000120014001.61.22.0minTime/ms(b)qminm/n图2Heidbrink 等34对 DIII-D 参考炮数#178631 分析的实验结果(a)布局在大半径 R=192201cm 之间的ECE 通道的互功率谱图;(b)EFIT 重建得到的 与时间的关系.其中频谱图上所示的不同符号分别对应不同 值的不同模式:RSAE(),BAE()及 LFAM()qminm/nFig.2.The DIII-D experimental results from Ref.3
14、4 byHeidbrinketal.:(a)Cross-powerspectrogramintherefer-enceshotforECEchannelsbetween192201cm;(b)mea-sured fromEFITreconstructionsvs.time.TheRSAE(),BAE(),andLFAM()symbolsrepresenttheval-uesof shownonthespectrogram.物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.21(2023)215207215207-4LPm本文的结构如下:首先,第 2 节讨论弱磁剪切和/或零磁剪切附近低频 S
15、AW 的局域和全局色散关系,这些色散关系的选取取决于 和 的相对大小;紧接着,第 3 节详细讨论不包含及包含EP 效应的低频 SAW 的数值结果和相应的理论分析,并进一步与实验结果进行比较;最后第 4 节对本文进行总结和讨论.2理论模型LPthLPEmLPth mLPE;rel mLPE;clm本节将讨论具有弱反磁剪切 DIII-D 放电中低频 SAW 的色散关系.正如第 1 节所讨论的,我们将依据 及 与 的相对大小,讨论以下两种情况来研究低频 SAW 的稳定性.情况:不考虑 EP 的作用()以及考虑适中 EP 梯度()情形下,描述低频 SAW 的局域GFLDR 模型;情况:考虑强EP 压强
16、梯度()情形下,适用于描述低频SAW 的全局GFLDR模型.2.1 局域模型LPth mLPE;rel m对于情况:不考虑 EP 的作用()以及考虑适中 EP 梯度()情形下,背景热离子的压强特征尺度及 EP 的特征压强尺度均可以与模结构的径向宽度很好地分开,因此描述 SAW 的涡量方程1,5,20,21,43,44可以简化为通常局域极限下的 SAW 色散关系.关于这一点,已有大量文献进行了详细的推导和讨论1,20,21,25,43,44,此|bir0s=0S (r/q)q1/2处将不再赘述.我们只需注意,针对 DIII-D 的实验,在应用局域 GFLDR 时需要考虑两个关键点.首先,对于描述
17、 的低频 SAW,需要考虑热粒子的可压缩效应,即考虑包括波-粒子(包含通行和捕获的热粒子)的相互作用8;其次,还需处理 DIII-D 芯部具有反磁剪切的位形特征.因此,对于局域在 处,磁剪切 但 具有有限值的低频 SAW 的局域 GFLDR 可表示为20,21,25,46,51iS(2n k2/n0q2minR2)1/2(1/n)1/2k/n0qminR i(2n k2/n0q2minR2)1/21/2=Wnf+Wnk(),(1)n()n()WnfWnk|2n|1WnfWnf其中,为广义的惯性项,它既包括逆磁效应,也包括通行热粒子和捕获热粒子的动理学效应.关于 的具体推导请参考文献8.这里将主
18、要结果总结于附录 A 中以方便读者阅读.此外,方程(1)的右边包含了对理想区域势能的“流体”()和“动能”()贡献.对于低频模(),与频率无关,考虑圆截面近似并采用(s,)模型52,则 的表达方程可表示为Wnf4(S2k/0qminRn322S?k/0qminRn?1/2+9324),(2)=c+Ec=Rq2mindc/drE=12Rq2mind(E/+E)/drcE/EWnkF0E=/F0E=B0E(r)2522mEb(1 0B0)3/2(0)mE0E(r)8PE(r)/B20PEB0(x)=2/2 bb其中,这里 为背景热粒子的比压,和 分别为平行于磁场方向和垂直于磁场方向的高能量离子的比
19、压.方程(2)中包括高能量粒子的绝热和对流响应的贡献53.反映了共振和非共振的波-粒相互作用,因而是模频率的函数.简单起见(但仍与 DIII-D 情况相关),我们假设高能量离子的平衡分布函数 遵从具有单一俯仰角()的慢化分布,即 .其中,是高能量离子的质量,是初始俯仰角,是热压()和磁压的比值,是磁轴上平衡磁场,是狄拉克函数,是磁矩,是单位质量的 EP 初始能量.那么,高能量通行离子的非绝热贡献的表达方程可写为43,440.200.240.280.3200.51.01.5th(m)E;rel(m)E;cl(m)(m)LPthLPEs=rq/qm图3热粒子和高能量粒子压强特征尺度(和 ),以及在
20、弱和/或零磁剪切()情况下模宽度()的径向依赖关系LPthLPEmFig.3.Radial dependences of the typical scale lengths ofthermalandenergeticparticlepressure(and ),magnetic shear(s)as well as the estimated radial modewidth().物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.21(2023)215207215207-5WnkuE25/2(1 0B0/2)2 ln(+1 1),(3)=/tEmtEm2b/qR其中 ,是粒子能量最大时 E
21、P 的渡越频率.r=r0k/n0qminRSf(iE/k/)a.c./d.c.a.c.d.c.Sf|Sf|Sf|这里需要注意的是,方程(1)的中括号的第一项代表在 处有限的 ,它来自有限的场线弯曲效应,并在方程中起着重要的稳定作用20,21,25.此外,通过 来定义模的极化.这里的 和 分别对应于平行电场、波矢和标势扰动的正弦分量和几乎恒定的分量.的详细表达方程也在附录 A 中给出.根据文献 8,28,51 中的讨论,的值远远小于 1,表示模具有 SAW 的极化特征;而 的值与 1 可比拟或大于 1 则代表模具有离子声波的极化特征.当粒子压强特征尺度与模的径向宽度可以很好区分开时,我们得到了描
22、述低频 SAW 的局域GFLDR,即方程(1).进一步,可以借助数值方法研究方程(1)中涉及的各项,来描述实验观测和模拟中低频 SAW 的基本物理.然而,在强 EP压强梯度存在的情况下,如上述讨论的情况,此时描述低频 SAW 的局域 GFLDR 将不再适用,需要借助全局的 GFLDR 来处理.2.2 全局模型LPE;cl mLPE;clm针对情况,即 ,此时两个特征尺度 和 不再能很好地区分,即 EP 的特征平衡参数相对于模的宽度不再是缓变量,因此,模在径向局域的位置将受高能量离子分布的影响,因而需要全局的色散关系来描述低频 SAW 的性质.要解决这个问题,需要采用傅里叶逆变换将涡量方程变回至
23、实空间46,相应地,描述由单个环向和极向模数(m,n)主导的低频 SAW 的全局色散关系为(e er)2 2A,m(1+x2A,m+x442A,m)(e er)m(F+K)m=0,(4)k/k=(e er)erex2=nqmin(r r0)2(i/n1/2)S(/x)m其中 ,这里的 和 分别为径向和极向的单位矢量,是标量场扰动的 m 次极向谐波.值得注意的是,不同极向谐波之间的环向耦合对于局域在反磁剪切区域的模方程通常并不重要.此外,方程(4)中的 F 和 K 项分别表示类流体粒子和高能量离子的贡献,其表达方程为F D2S 42DS+2D2S(+1)+23,K 2q2Eq2R2mEc22dE
24、QF0E2tE 2=2Wnku,(5)DS=SA,m/nqEdE=(2E/2+2E/)/cER tE=E/qR QF0E=(+E)F0E EF0E=1cE(kb)F0EcE=qEB/mEc()=d3()/b其中 ,为高能量离子的电荷.,代表对速度空间 的积分,下标 和 分别表示相对于平衡磁场 的平行和垂直分量.E()=c11 (c2)2/c23c1=0.7099c2=0.3018c3=0.2944=c2=0.3018qminE求解常微分方程(4)一般需要借助数值方法.然而,对于 DIII-D 的情形,如图 4 中的黑色曲线所示的“经典”分布下高能量离子归一化压强梯度的径向关系,它可以用红色曲线
25、所示的解析方程 来很好地拟合.这里,.这一方法使得我们可以解析得到描述低频 SAW 的全局色散关系.需要注意的是,高能量离子的最大驱动位于 附近,它偏离了 的径向位置.此外,方程(3)中 为 r 的函数:E(r)=aE01(r r0+b)22cL2PE;cl,(6)a=c1/E0b=r0 c2ac=c3a/LPE;clE0LPE;clr=r0其中 ,a 为等离子小半径,和 表示在 的值.x=r r0=z b进一步,引入变量代换 ,则方程(4)可进一步简化为0.200.250.300.350.620.640.660.680.700.72E;cl=/E;cl fitPrediction bound
26、s-99%E;cl;exp.vs.qmin0 r0/a=0.28图4“经典”EP 分布下 EP 归一化压强梯度的径向关系.其中红线是解析拟合曲线,的归一化径向位置为 qmin0 r0/a=0.28Fig.4.Radialdependenceofthenormalizedpressuregradi-entofEPswiththeclassicalprofile.Here,thenormalizedradialpositionof is .物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.21(2023)215207215207-62z2mn2S21 F+2aWnku0A0m14z2m=0,2
27、n4aWnku0A0S22cL2PE;cl=14,(7)其中,A0=22A,m,Wnku0=E0422 ln(+1 1).则由方程(7)可导出描述低频 SAW 的全局色散关系:n1/21/2cLPE;cl1/2A022S1/2aW1/2nku01 F+2aWnku0A0=2L+1,L=0,1,2,3,(8)式中的正整数 L 表示径向本征模数.相应的本征函数为m(r)=HL(z)ez2 exp(r r0+b)242,(9)HL(z)Re(2)02m(r)w2=42其中,表示 L 次厄密多项方程.对于离散模,其因果限制条件要求 ;这里的 由方程(7)中的第二个方程求解,且满足色散关系方程(8).此
28、外,的典型径向宽度 w 则由 给出.方程(1)和方程(8)组成了本节理论模型的主要结论,即由高能量离子激发的低频 SAW 的局域和全局的 GFLDR.根据各项的具体表达式,就可以计算方程中的各项,分析它们对色散关系的影响,进而研究实验观察到的低频 SAW 的线性性质.3数值结果与分析本节将分别给出低频 SAW 局域的和全局的GFLDR 的数值结果,其色散关系分别由方程(1)和方程(8)给出.t=1200r0/a=0.28qmin=1.371050 t 0(rDh)/r 0r曲线),频率接近 MHD 极限值 ;3)BAAE(用钻石标记的绿色曲线),频率约为 BAE 的一半,并经历强的朗道阻尼.此
29、处需要注意的是,BAE1 和 BAE2 均是 BAE 谐波的分支,它们来自于惯性项 (方程(A1)中的超越函数,由于不同的平行模结构,它们通常具有更强的朗道阻尼,因此需要更多的自由能来激发.由图6可知,即使在不考虑 EP 效应的情况下,KBM 在低频区和高频区都不稳定(见图 6(b)中红色曲线).随着 的增加,KBM 的频率先增大,然后约在 附近与强阻尼的 BAAE 耦合,两者发生耦合后 BAAE 的阻尼明显减弱.随着 的进一步增大,KBM 的频率也随之增加,不稳定的KBM 与强阻尼的 BAE2(如图 6(a)和图 6(b)中带“”标记的蓝色曲线所示)耦合,同时降低了BAE2 的阻尼率,相应的
30、频率和增长/阻尼率呈现出典型的复共轭特征,这是线性反应型不稳定性的一个基本特征54,55.请注意,在这种情况下,KBM的频率始终随 而变化.此外,图 6(c)所示的极化曲线表明,BAAE 具有 SAW 和声波混合的极化特征;而 BAE 和 KBM 本质上都是 SAW的极化.这里需要指出,所谓的反应型不稳定性涉及两种振荡模方程的耦合:一种是正能波,另一种是负能波.正、负能波的定义为:如果用 表示模方程的色散关系,其中 和 分别表示色散关系中的厄米和反厄密分量,那么正能波满足 ;负能波满足 .其中 代表模的实频.在不稳定的临界点(如方程(13)所讨论的),这两支正负能波之间发生能量交换而简并,没有
31、任何净能量转移到等离子体介质中.pi;exp=0.3517进一步研究了 EP 对低频 SAW 稳定性的影响.为了便于对比,画出了包含 EP 效应和不包含EP 效应的数值结果,如图 7 所示,其中虚线代表无 EP 效应,而实线代表包含 EP 效应.EP 对低频 SAW 稳定性的影响由图 7(b)中紫色曲线所示的区域标出,可以明显看出:KBM 在没有 EP 的情况下是唯一不稳定的模,而 KBM 和 BAE在有EP 存在时,在低频区域同时不稳定.根据实验参数计算出的离子逆磁频率为 ,如图 7(b)的垂直虚线所示.在这种情况下,方程(1)在离子逆磁频率方向上根的分布如图 8 所示,其中横轴和纵轴分别表
32、示根的实频和增长/阻尼率.0246*pi-2-1012Im(/ti)(b)KBMBAAEBAEBAE1BAE20246*pi0246Re(/ti)(a)KBMBAAEBAEBAE1BAE2=*pi0246*pi|f|(c)10-210-1100KBMBAAEBAEBAE1BAE2pi pi/ti图6在不包含 EP 效应的情况下,低频 SAW 的(a)频率、(b)增长率和(c)极化性质对 的依赖关系pi pi/tiFig.6.Dependence of(a)mode frequencies,(b)growthrates and(c)polarization of modes on without
33、EPeffect.物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.21(2023)215207215207-8|Sf|0.1图 8 再次表明:在 EP 存在的情况下(如图 8(b)所示),KBM 和 BAE 都是不稳定的.经计算,在等离子体框架下 KBM 和 BAE 的频率分别为 5.6kHz和 63.7kHz;该理论预测结果与实验观测结果一致.此外,图 7(c)所示的极化曲线表明:对于 KBM和 BAE,其 ,这表明 KBM 和 BAE 本质上是 SAW 极化的模.值得注意的是,与对 EP 效应不敏感的频率相比,在有和没有 EP 效应的情况下,KBM 的增长Wfpi率发生了显著的变化.
34、这是因为在本文的理论模型中,EP 的绝热和对流贡献通过 修改了 的值,如方程(2)所示.在这一点上,为了获得更加令人信服的理论预测和实验观测的对比,有必要提供更精确的理论模型和更全面的实验分析.这里还应注意到,即使在足够强的 效应下,BAAE由于逆磁和捕获粒子效应而与 KBM 耦合变得弱阻尼,但 BAAE 的稳定性和性质仍不受高能量离子的影响,如图 7 中带有符号(没有 EP 效应)的绿色虚线和带有符号(具有 EP 效应)的实线所示,它们在 3 个图中显然是重叠的.此外,从图 8 中根的分布也可以清晰地看出 BAAE 的稳定性不受 EP 的影响.本文的数值计算结果与文献报道的数值模拟结果37,
35、39,40以及理论预测(“EPs preferen-tiallyexcite the BAE over the BAAE branch due to thestronger wave-EP interaction”)51相符合.qmin接下来,将 作为扫描参数来研究在 DIII-D 中观察到如图 2 所示的高频 BAE 和 LFAM 上升频谱的潜在不稳定性机制.图 9 给出了 KBM(红色曲线)和 BAE(蓝色、绿色、紫色和橙色曲线)*piRe(/ti)0246420(a)KBM w/o EPBAAE w/o EPBAE w/o EPKBM w/EPBAAE w/EPBAE w/EP*pi*p
36、i;expIm(/ti)0246-1012(b)KBM w/o EPBAAE w/o EPBAE w/o EPKBM w/EPBAAE w/EPBAE w/EP|f|*pi0246KBM w/o EPBAAE w/o EPBAE w/o EPKBM w/EPBAAE w/EPBAE w/EP(c)100pipi/tipi;exp图7在不包含(w/o)和包含(w/)EP 效应情况下,低频SAW 的(a)频 率、(b)增 长 率 和(c)极 化 性 质 对 的依赖关系.图中所示的垂直虚线表示 的实验值,约为 0.35pi pi/tipi;expFig.7.Dependenceofthe(a)rea
37、lfrequencies,(b)growthrates and(c)polarization of the low-frequency SAWs on forthecaseswithout(w/o)andwith(w/)EPeffects.Here,adashedverticallinerepresentstheexper-imentalvalueof ofabout0.35.01234-4-202Im(/ti)(a)KBMBAAEBAERe(/ti)01234-4-202Im(/ti)(b)KBMBAAEBAERe(/ti)图8(a)无 EP 效应和(b)有 EP 效应的情况下,色散关系方程
38、(1)在复平面上的本征值分布Fig.8.EigenvaluesofthedispersionrelationEq.(1)inthecomplex-planeforthecases(a)withoutand(b)withEPs物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.21(2023)215207215207-9qmin的模频率(带标记的实线曲线)和增长率(带标记的虚线曲线)在不同极向和环向模数(m,n)下对 的依赖关系.=0.28frotqminqminqmin图 9 表明,高频的 BAE 和低频的 KBM 在上升方向上的模频率间隔均约为 7.5kHz,此频率正好对应于 处的等离子体
39、旋转频率 (见图 5(c)中黑色实线).对于 KBM,其不稳定性的最大值正好出现在当 为有理数时,如图 9 中红色虚线.对于 BAE,其不稳定性出现的时间不像KBM 那样精确,表现为 BAE 增长率的最大值偏离 有理面的位置.此外,相对于高 n 的 BAE(如橙色曲线),低 n 的 BAE(如蓝色曲线)偏离 有理值的距离更大.图中同时标记出了理论预测的频率(彩色曲线)与实验测量值(带“”的黑线)的比较,清晰可见这些数值结果与实验观测结果能够较好地符合.我们将在结论部分中对理论预测和实验结果的比较进行详细的总结与讨论.为了从理论上深入理解图 9 中不稳定性的激|ti|bi发机制,我们进一步分析了
40、一般鱼骨模色散关系(GFLDR)在高频()和低频 两种极限下的行为.|ti|22 2BAE2A2BAE=(74+)2iR2i=r+iWku=ReWku+iImWku|/r|1?ImWkuReWku?1Wnf+Re(Wnk(r)0当 时,对应的 BAE 的惯性项可简化为 5,14,25,式中的 是 BAE 频率在流体极限下的表达方程,其中 是背景热离子的热速率.做如下展开:(其中 g 为模的增长率),并假设 ,则可得到 .对于带隙模的存在要求 ,那么其频率和增长率分别满足:2r=2BAE1+2A2BAEk2/n0q2minR2n?k/n0qminR?(Wnf+Re(Wnk(r)2S2,(10)1
41、.201.251.301.351.401.45050100150200/kHz(9,7)(8,6)(7,5)(7,5)(8,6)(9,7)(10,8):in the lab-frame(10,8)Exp.data(range)(lines with)min7,5KBM8,6KBM9,7KBM10,8KBM7,5BAE8,6BAE9,7BAE10,8BAE/2p8,6KBM/2p9,7KBM/2p10,8KBM/2p7,5KBM/2p8,6BAE/2p9,7BAE/2p10,8BAE/2p7,5BAEqminqmin(t)qminqmin 0.01nfrot 0.5 n图9KBM(红色曲线)和
42、BAE(蓝色、绿色、紫色和橙色曲线)的模频率(带标记的实线)和增长率(带标记的虚线)在不同(m,n)下对 qmin的依赖关系.图中还给出了实验观测的频率.对于 BAE,由于模跨越了一个频率范围,因此这些线表示不稳定区域的上下限;对于 LFAM,实验频率变化小于 0.5kHz.横坐标为 的变化,是依据参考文献 34 的图 8 所示的实验测量的 ,将时间 t 转换为 的变化,与此相关的不确定度为 .纵坐标为理论实验室框架下的频率,已将多普勒频移合并到计算的等离子体框架下的频率 ,相关的不确定度为 kHzqmin 0从方程(10)可以很容易地得到 BAE 频率与 正相关.因此,偏离 的有理面越大,B
43、AE 的频率就越大,如图 9 所示.此外,还需注意的是,BAE 具有正的频率,则 对应于 EP 通过波-粒子共振相互作用激发 BAE.因此,BAE 的持续时间不仅受到 EP 的共振激发的qmin影响,还受到 的影响.这一结论与文献 34 中的结论一致.|bi|同样地,对于 KBM,当频率满足 ,其惯性项可简化为2 c0q2min(di)(pi)2A 8,25,28,33,41,dic0 1.6式中的 代表热离子的平均进动频率.由于仅考虑了捕获的和接近循环的粒子,此处 56,57.KBM 的频率满足:=12(di+pi)12(pi di)242Aq2minc0n(Wnf+Re(Wnk(r)2?k
44、/n0qminR?S2 k2/n0q2minR21/2,(12)并且系统在满足以下情况时出现反应型不稳定性:|pi di|22A4q2minc0n(Wnf+Re(Wnk(r)2?k/n0qminR?S2 k2/n0q2minR2.(13)k/n0qminR 0qmink/n0qminRqmin|qmin|0.020.04qmintTe Ti由方程(13)可知,对于反应型不稳定性,当 时,方程(13)的右侧出现最大值,对应于不稳定性在 为有理数时达到峰值,当偏离有理面时,KBM 被有限的 (代表的场线弯曲致稳效应)迅速致稳.因此,中的不稳定窗口也非常窄,大约为 ,将 的变化与 t 的变化对应起来
45、,大约 7.5ms,这种频谱特征正是实验上观测到的“圣诞彩灯”的现象.此外,对于 ,主要的驱动项来自热电子,而来自 EP 的驱动由于其特征频率(如进动共振频率)远大于模的频率而忽略不计.TiTeTeTed/drWnfWnfTiTe另外还研究了在保持电子温度 不变的情况下,KBM 的模频率和增长率对电子温度 的依赖关系,结果如图 10 所示.可以清楚地看出,不稳定性驱动随着 的增加而增加.这是由于较大的 通过(2)式中的 使得负数 的绝对值更大,而负的 提供了 MHD 不稳定性的驱动.因此,在保持 不变的情况下,KBM 的增长率将随着 的增加而增加,这与实验观测的 LFAM 不稳定性与电子温度成
46、正相关的结论一致.Teqmin上述的数值结果和理论分析解释了实验观测结果:1)理论预测的 KBM 与实验观测的 LFAM对 的依赖关系一致;2)与 KBM 相比,BAE 在时间上偏离有理 值的程度更大.为进一步解释这种偏差及其对径向模结构的影响,需要对低频SAW 的全局模型进行数值研究.3.2 全局数值结果和分析本节将应用方程(8)来研究“经典”高能量离子分布下的全局低频 SAW 的稳定性.L=0图 11 所示为 KBM(三角形标记)和 BAE(带标记的线)的频率(蓝色标记)和增长率(红色标记)与径向模方程数 L 的关系.结果表明:1)对于BAE 和 KBM,基本征态()最不稳定;2)对于 B
47、AE,等离子体框架下的频率和增长率为4.04.55.00.0090.0100.011Re(/ti)Im(/ti)0.012ReIm0.81.01.21.4e/keVRe(/ti)Im(/ti)TeTi=2.45图10模频率()和增长率()对 的依赖关系,其中 keVTeTi=2.45Fig.10.Dependenceofmodefrequencyandgrowthrateon.Here,keV.物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.21(2023)215207215207-11(80.7+15.2i)/r0.19(3.2+5.7i)/r 1.8 kHz,增长率与实频之比为 ,这
48、是 EP 激发的临界不稳定带隙模的典型特征;对于 KBM,等离子体框架下的频率和增长率为 kHz,;这是反应型不稳定性的典型特征.这一数值结果与文献 40 中报道的模拟结果一致.012301234Re(/ti)of KBMIm(/ti)of KBMRe(/ti)of BAEIm(/ti)of BAE图11KBM(三角形标记)和BAE(带标记的曲线)的频率(蓝色标记)和增长率(红色标记)与径向模数 L 的依赖关系Fig.11.Dependenceoftherealfrequencies(bluemarkers)andgrowthrates(redmarkers)oftheKBM(triangle
49、mark-ers)andBAE(linewithmarkers)ontheradialmodenum-berL.L=0mL=0mmw=0.2107LPE;cl=0.1773qminqmin相应地,图 12 为 的 BAE 的径向模结构(r).可以看出,当 时,BAE 的径向本征函数 具有与实验测量的径向模结构相似的高斯型.在这种情况下,理论上预测的 的径向宽度为 ,与高能量离子压强的特征度相当,即 ,这一点与图 3 的分析一致.此处值得注意的是,由 EP 分布决定,BAE 的本征函数在最大高能量粒子压强梯度的径向位置处出现峰值,这导致与 的径向位置出现较大的偏差.由此可以预期,KBM 的本征函
50、数应该在不稳定性驱动最大的 有理值处达到峰值.最后,采用局域理论模型(当 EP 由“弛豫”分布给出时)与全局理论模型(当 EP 由“经典”分布给出时)分别计算的模数为(m,n)=(8,6)的LFAM,BAAE 及 BAE 的频率汇总至表 1 中,通过对比发现:两种模型下得到的 LFAM 和 BAE均为不稳定性模,而 BAAE 为稳定性模;并且两种模型下计算得到低频 SAW 的归一化角频率结果非常接近.这里需要说明的是,角频率前的负号(“”)代表模式沿着热电子逆磁漂移方向传播.对于 LFAM,由于其本质是与 EP 驱动无关的反应型不稳定的 KBM,因此,只要满足(13)式的反应n=511型不稳定
