1、文章编号：1009 444X（2023）02 0179 05二维微动平台柔性机构动力学建模与分析刘昊，赖磊捷（上海工程技术大学 机械与汽车工程学院,上海 201620）摘要：提出一种基于并联柔性机构的两自由度平动解耦并联微动平台.平台采用复合双平行四杆柔性机构模块，采用结构对称约束消除轴间耦合和寄生位移的产生，实现 X，Y 方向的平动.采用刚度矩阵法对该并联柔性机构进行理论分析，根据观察法建立微动工作台的整体刚度矩阵，得到系统的运动微分方程，推导出系统各阶固有频率.采用有限元分析法对微动工作台进行模态分析，得到微动工作台的固有频率和振型.经过理论分析、有限元计算和试验测试，并对结果进行对比，结
2、果的一致性说明理论分析的正确性和刚度矩阵分析的有效性.关键词：微定位；柔性机构；刚度矩阵；有限元中图分类号：TH112 文献标志码：ADynamic modeling and analysis of flexure mechanism intwo-dimensional micro motion stageLIUHao，LAILeijie（School of Mechanical and Automotive Engineering,Shanghai University of Engineering Science,Shanghai 201620,China）Abstract：A two d
3、egree of freedom translational decoupling parallel micropositioning stage based on parallelflexure mechanism was proposed.A compound double parallel four-bar flexure mechanism module wasadopted in the stage,and structural symmetry constraints were introduced to eliminate the coupling betweenshafts a
4、nd parasitic displacement,and translations in X and Y directions were achieved.The stiffness matrixmethod was used to analyze the parallel flexure mechanism in theory.According to the observation method,the overall stiffness matrix of the micropositioning stage was established,and the differential e
5、quations ofmotion of the system were obtained,and the natural frequencies of each order of the system were deduced.Themodal analysis of the micropositioning stage was carried out by using the finite element method,and thenatural frequency and mode shape of the micropositioning stage were obtained.Th
6、rough theoretical analysis,finite element calculation and experimental test,the consistency of the results shows the correctness oftheoretical analysis and the effectiveness of stiffness matrix analysis.Key words：micropositioning；flexure mechanism；stiffness matrix；finite element 随着微纳技术的快速发展，微纳米定位技术已
7、在微机电系统、扫描探测显微镜、超精密加工、光学元件制造、生物医学工程等诸多前沿技术中得到广泛应用1 3.以压电陶瓷、音圈电机等为驱 收稿日期：2022 09 13基金项目：上海市自然科学基金项目资助（21ZR1426000）作者简介：刘昊（1998 ），男，在读硕士，研究方向为微定位技术.E-mail：通信作者：赖磊捷（1984 ），男，副教授，博士，研究方向为微纳米制造.E-mail： 第 37 卷 第 2 期上 海 工 程 技 术 大 学 学 报Vol.37 No.22023 年 6 月JOURNAL OF SHANGHAI UNIVERSITY OF ENGINEERING SCIENC
8、EJun.2023动，以柔性机构为导向的微动工作台中，柔性机构具有无摩擦、无反向间隙、体积小、结构紧凑等优点，在纳米级的微定位装置中得到广泛应用4 5.在基于压电陶瓷驱动的纳米级微定位系统中，压电陶瓷驱动器具有高刚度和高频响优点6，整个微定位系统的动态特性主要取决于由柔性铰链组成的柔性导向机构的固有频率.对该结构系统进行动力学分析，对满足系统频响要求以及后续设计有效的控制器具有较大意义7 9.本研究开发了一种基于直板柔性梁和复合双平行四杆机构为基础的二自由度解耦平动并联微动工作台，并对其进行动力学分析.首先，根据观察法和柔性铰链的刚度特性建立结构的整体刚度矩阵方程，在此基础上建立微动工作台的运
9、动微分方程，推导出系统的各阶固有频率.然后，采用有限元分析方法，对微动工作台进行模态分析，得到微定位平台有效工作的谐振频率和振型，从而验证该结构运行的有效性和准确性.1 柔性机构的刚度矩阵法动力学分析6n对于柔性机构来说，建立静刚度模型是进行动力学分析的基础.由于柔性机构中的柔性铰链尺寸非常小，且质量远小于其连接的刚体，故其对整体的影响可忽略不计.因此，假设忽略柔性机构内柔性铰链的质量，并设某柔性机构连接柔性铰链的刚体数共有 n 个，忽略刚体的弹性变形，选取每个刚体的 6 个自由度作为系统的广义坐标，即qi=xi，yi，zi，xi，yi，zi T，i=1，2，n.故系统共有个广义坐标，即 q=
10、q1，q2，qnT，则系统的动力学微分方程为M q+Kq=Q（1）等效质量矩阵为M=M1000M20.00MnMi=Mxi000000Myi000000Mzi000000Jxi000000Jyi000000Jzii式 中：；Mxi、Myi、Mzi为 构 件 沿 3 个 方 向 平 动 的 质 量，Mxi=Myi=Mzi=Mi；Jxi、Jyi和 Jzi分别为构件绕着原点在其质心的全局坐标系的 X、Y 和 Z 轴的转动惯量.整体刚度矩阵和外力矩阵为K=K11K12K1nK21K22K2n.Kn1Kn2KnnQ=Q1,Q2,QnT其中，Qi=Fxi，Fyi，Fzi，Mxi，Myi，MziT为作用在构
11、件 i 的质心上 6 个方向的外力和外力矩.系统作自由振动时，该项为零.对于求取一般多自由度系统的刚度矩阵，可供选择的方法有力法、观察法、柔度法和刚度法等.本研究采用较简单的观察法对整个系统进行分析，观察法描述到简单质量弹簧系统的刚度矩阵的对角元 kii为第 i 个质量元件相连接的弹性元件刚度之和，非对角元 kij=kji.其中，kij为连接第i 个质量元件和第 j 个质量元件的弹性元件刚度之和.以上规律推广到柔性机构中，如图 1 所示.假设与第 i 个刚体相连的柔性铰链有 ni个，构件 i 在外力作用下在其质心 Oi为原点的全局坐标系 Oi-XYZ 下产生位移，为 qi=xi，yi，zi，x
12、i，yi，ziT.X ZZZHijY Oij 质心OijOiOijOijY X OjOjiOij 质心XY 图 1 柔性铰链连接两刚体Fig.1 Flexure hinge connecting two rigid bodies i将质心位移 qi等效转化到以 ni个柔性铰链的局部坐标系下与构件 的连接点 Oij处，可表示为qij=JTijqi,j=1,2,ni（2）其中Jij=R(Oi/Oij)T00R(Oi/Oij)TI C(OiOij)T0I式中：R(Oi/Oij)为全局坐标系 Oi-XYZ 到局部坐标系 Oij-XYZ 的旋转角度=OiOij的坐标变换旋转矩阵，即R()=cossin0
13、sincos0001 180 上 海 工 程 技 术 大 学 学 报第 37 卷C(OiOij)=0rzryrz0rxryrz0r(OiOij)=rx,ry,rzTr(OiOij)式中：为局部坐标系原点 Oij在全局坐标 Oi的坐标.当矢量在当全局坐标系 Oi发 生 绕 各 轴 旋 转 产 生 位 移 i=xi，yi，ziT时，矢量末端即局部坐标系 Oij发生了一个偏移，可表示为dr(OiOij)=ir(OiOij)=C(OiOij)Ti假设各柔性铰链在各自的局部坐标系下的刚度为 Kij，则各柔性铰链末端施加的力为Fij=Kijqij=KijJTijqi（3）i再将 Fij等效到构件 的质心的
14、全局坐标系，得Fij=JijKijqij=JijKijJTijqi（4）进而可得Kii=nij=1JijKijJTij（5）同理求取式(5).假设构件 j 与构件 i 之间有nij个柔性铰链相连，将构件 j 的位移 qj等效到柔性铰链与构件 j 连接点的位移，可得qji=JTjiqj,Fji=Kjiqji=KjiJTjiqj（6）i将 Fji平移等效到该柔性铰链与构件 的连接点，再等效到构件 i 的质心的全局坐标系下有Fij=JijHijFji=JijHijKjiqji=JijHijKjiJTjiqj（7）得到Kij=nijj=1JijHijKjiJTji（8）并且容易得到Kji=KTij（9
15、）?I M1K?=0fi=12ifi可知，式（1）的特征表达式为，通过求取特征多项式的特征值获得平台固有频率，即.其中为系统第 i 阶固有频率.2 二自由度平动并联机构动力学分析本研究设计的微定位平台机构，采用双平行四边形柔性机构作为移动副，该双平行四边形柔性机构具有占用空间少、行程范围大以及结构紧凑的优点，并且直线导向时不容易发生侧向偏转，轴向刚度也相对较大，因此可以作为二自度平动柔性机构采用.由于并联机构相比串联机构具有低惯量、高结构刚度、结构对称以及节省空间等优点，本系统构型采用二自由度并联机构，同时采用对称结构，避免轴间耦合以及平台旋转等寄生位移的产生，机构设计如图 2 所示.图中序号
16、代表各个刚体，圆圈为平台机架.12378910111245613141615图 2 二自由度平动并联柔性机构示意图Fig.2 Schematic diagram of two degree of freedomtranslational parallel flexure mechanism 2.1 刚度矩阵法按照刚度矩阵法对系统进行建模.设 E 为弹性模量，G 为剪切模量，b、t 和 L 分别为宽度、厚度和长度，单个直板柔性铰链的刚度矩阵为K=EbtL000000Ebt3L3000Ebt32L200Eb3tL30Eb3t2L20000Gbt33L0000Eb3t2L20Eb3t3L00Ebt3
17、2L2000Ebt33L系统为平面机构，只考虑 X、Y 和 z方向自由度，忽略其他因素，铰链局部坐标系如图 3 所示.第 2 期刘昊 等：二维微动平台柔性机构动力学建模与分析 181 FxFyMz图 3 直板柔性铰链平面模型图Fig.3 Plane model of straight plate flexure hinge 以构件 1 为例分析，构件 1 由 4 根铰链并联在一起，则 4 根铰链刚度的相加表示为K11=4i=1JiKJTi=4i=1DiRiK(DiRi)T；D1=100010lylx1;D2=100010lylx1;D3=100010lylx1;D4=100010lylx1；R
18、1=R2=R(0)=100010001;R3=R4=R(180)=100010001.式中：lx、ly分别为铰链连接处与构件 1 质心的距离.经过坐标变换同样可以得到构件 4、7 和 10 的对角元矩阵为K44=R(90)K11RT(90)K77=R(180)K11RT(180)K1010=R(90)K11RT(90)（10）其他构件采用类似方法获得.将梁的尺寸（长度 l=60 mm、宽度 b=15 mm、厚度 h=1 mm）代入动力 学 模 型，得 到 系 统 的 前 两 阶 固 有 频 率 都 为55.402 Hz，分别沿着 X 和 Y 的两个方向的平移运动，扭转固有频率为 215.54
19、Hz，大于平移方向的固有频率的两倍，能较好地抑制外界扭转的干扰.在整个建模过程中，由于梁的尺寸是非常小的，厚度仅为 1 mm，且远小于整个并联柔性机构中刚体的尺寸，因此梁的尺寸及其运动动能可以忽略不计，不被考虑在动力学模型中.2.2 有限元分析验证采用有限元分析软件 Ansys workbench，建立微定位工作台的有限元模型，模态分析结果如图 4所示.分别利用刚度矩阵法和有限元法获得平台前三阶固有频率，见表 1.两种方法得出的结果误差均在较小的范围内，验证了刚度矩阵法的有效性.表 1 固有频率计算结果对比Table 1 Comparison of natural frequency calc
20、ulation results 模型X方向模态/HzY方向模态/Hz扭转频率/Hz刚度矩阵模型55.40255.402215.54有限元模型54.61954.636208.97误差/%1.4341.4023.144 0.030 249 最大0.026 8880.023 5270.020 1660.016 8050.013 4440.010 0830.006 7220.003 3610 最小0.030 248 0 最大0.026 887 00.023 526 00.020 165 00.016 804 00.013 443 00.010 083 00.006 721 70.003 360 80
21、最小A:ModalTotal Deformation类型:总变形频率:54.619 Hz单位:m2022/9/12 13:58A:ModalTotal Deformation 2类型:总变形频率:54.636 Hz单位:m2022/9/12 13:590.074 251 0 最大0.066 001 00.057 751 00.049 501 00.041 251 00.033 000 00.024 750 00.016 500 00.008 250 10 最小A:ModalTotal Deformation 4类型:总变形频率:208.97 Hz单位:m2022/9/12 14:0000.10
22、.2 myxz00.10.2 myxz00.1(c)扭转方向(b)Y 方向(a)X 方向0.2 myxz图 4 不同方向上的模态Fig.4 Modes in different directions 182 上 海 工 程 技 术 大 学 学 报第 37 卷 2.3 试验验证为进一步验证理论分析的正确性和有效性，通过试验的方法来获得该微动平台的并联柔性机构 X 和 Y 方向上的固有频率，平台实物如图 5 所示.该平台有两组磁阻驱动器进行驱动10，测得结果如图 6 所示.图 5 二维柔性机构微定位平台Fig.5 Micropositioning stage of two-dimensional
23、flexuremechanism 幅值 /V0204060801000.51.0幅值 /V0204060频率/Hz频率/Hz80100(b)Y 方向(a)X 方向0.51.0图 6 X、Y方向的固有频率Fig.6 Natural frequency in X and Y direction 由图 6 可知，该并联机构的 X 和 Y 方向上的固有频率分别为 46 Hz 和 45 Hz，这是由于在试验过程中，该机构连接着磁阻驱动器的动子质量，故试验结果比仿真得到的固有频率略低一些.3 结语1）基于模态分析理论，根据刚度矩阵法建立微动工作台的运动微分方程，推导出系统各广义坐标的固有频率的解析式.在建
24、模过程中利用所有刚体的 6 个自由度方向作为广义坐标，广义坐标众多，因此可获得其他建模方法得不到的高阶固有频率.2）分别采用有限元分析和试验验证，对微动工作台柔性机构进行模态分析，得到柔性机构的谐振频率和振型，与理论计算结果较吻合.这说明基于刚度矩阵和观察法的柔性机构动力学建模方法具有较高的计算进度，完全可以用于实际柔性机构的设计指导.参考文献：杨维帆,曹小涛,张彬,等.空间望远镜次镜六自由度调整机构精密控制J.红外与激光工程，2018，47（7）：241 248.1 ITO S,CIGARINI F,UNGER S,et al.Flexure design forprecision posi
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