1、第1 2卷 第3期2023年9月数学建模及其应用M a t h e m a t i c a l M o d e l i n g a n d I t s A p p l i c a t i o n sV o l.1 2 N o.3S e p t.2 0 2 3探索与实践飞机飞控手册油耗数据的模型重构及验证杜 毅1,张广蕾1,廖子菊1,黄家尧1,张双虎2,王一举3(1.暨南大学 信息科学与技术学院,广东 广州 5 1 0 6 3 2;2.广东金融学院 应用数学系,广东 广州 5 1 0 5 2 1;3.广州新华学院 人工智能与数据科学系,广东 广州 5 1 0 5 2 0)摘 要:为了航路规划的目
2、的,本文从气流运动规律和物理原理出发,为飞机在爬升和巡航阶段建立了相应的微分动力学模型,用来刻画在不同气象条件下巡航阶段的油耗关系.通过相应的数学模型,对飞机飞控手册(B A D A)中的油耗数据的内蕴关系做了重构,并通过数值试验验证了建立的数据重构模型具有较高的精度.关键词:飞控数据表数据模型重构;飞行器油耗模型;数值模拟;航路规划中图分类号:O 2 9 文献标志码:A 文章编号:2 0 9 5-3 0 7 0(2 0 2 3)0 3-0 0 4 5-0 5 D O I:1 0.1 9 9 4 3/j.2 0 9 5-3 0 7 0.j mm i a.2 0 2 3.0 3.0 4收稿日期:
3、2 0 2 3-0 7-1 7基金项目:国家重点研发计划项目(2 0 2 0 Y F A 0 7 2 5 0 0);广东省基础与应用基础研究基金(2 0 2 0 B 1 5 1 5 3 1 0 0 1 2);粤港澳应用数学中心管理体制机制建设研究(2 0 2 1 A 1 5 1 5 3 1 0 0 0 4)通讯作者:杜毅,E-m a i l:d u y i d y j n u.e d u.c n引用格式:杜毅,张广蕾,廖子菊,等.飞机飞控手册油耗数据的模型重构及验证J.数学建模及其应用,2 0 2 3,1 2(3):4 5-4 9.DU Y,Z HAN G G L,L I AO Z J,e t
4、 a l.M a t h e m a t i c a l m o d e l r e c o n s t r u c t i o n a n d n u m e r i c a l v e r i f i c a t i o n o f f u e l c o n s u m p t i o n o f t h e d a t a i n B A D A(i n C h i n e s e)J.M a t h e m a t i c a l M o d e l i n g a n d I t s A p p l i c a t i o n s,2 0 2 3,1 2(3):4 5-4 9.0
5、引言根据国际航空运输协会(I AT A)数据,2 0 1 8 年全球有3 9 0 0万架次航班起降,消耗大量燃料,是目前最大的碳排放行业之一.在这些飞行过程中,大量燃料被无效消耗.例如,波音7 7 7的初始重量为2 0 0吨,飞行1 5 0 k m需要近3 6 0 0 k g 燃油;如果载油量超过 3 6 0 0 k g,多出的燃油会带来无效消耗,甚至可能带的油料多了反倒使得飞行的距离变短.更精确地确定油耗,在提高航空业的盈利、减少碳排放等方面均具有重要意义1-8.气象等随机条件对飞行油耗有重大影响.由于不同飞机的气动结构和发动机燃油效率的差异,要估计一致和准确的油耗并不容易.现有商业运行的飞
6、机机型都会配套提供飞控数据表(B A D A),其中通过试飞等各种手段,初步给出了该机型在给定条件(如巡航高度、速度、风速等)下的油耗数据9-1 0.运行的航班便以B A D A中提供的数据作为依据,根据飞行的距离,按比例增减油料的载量.但是由于飞控手册中的油耗数据通常都是基于特定的气象及环境条件,其提供的油耗预算并不一定具有完全的普适性.出于航线设计和成本优化的目的,有必要对飞控数据表中的油耗数据规律做更精细的刻画,另外由于B A D A提供的是黑盒子型的数据表,用户端从数据安全的角度来讲也有必要进一步理解这些数据内蕴的规律.飞行油耗计算是一个具有很长历史的经典问题1 1-1 6,现有的模型
7、基本都是基于飞行数据表,通过统计的方法对数据拟合得到其中的规律.虽然通常也有较好的适用性,但是油耗数据和各影响因素之间的应变关系没有清晰的刻画.本文旨在建立基于飞行器初始、起飞重量、飞行速度、姿态、爬升速度、地速、滚转速度、气象条件(温度、气压、背景风速)等的数学模型,并用这个模型来解释飞机飞控数据表(B A D A)中的油耗数据规律.随后用波音7 7 7机型的B A D A数据作为参考库,通54探索与实践飞机飞控手册油耗数据的模型重构及验证2 0 2 3年9月过数值验证其有效性.方便起见,给出如表1所示记号.表1 本文变量及含义变量含义变量含义变量含义t/s时间 k1/(J/k g)燃油效率
8、uB/(m/s)高空风速P(t)/Pa压强ug/(m/s)显示空速/(P as)水平粘度T(t)/温度uR(t)/(m/s)对地速度h(t)/m飞行高度(t)/()侧倾角n(t)外法向量/(P as)垂直粘度g/(m/s2)重力加速度M1(t)/k g燃油质量S/m2表面积M0(t)/k g飞机总质量(t)/()爬升角(er,e,e)球面坐标系1 模型建立首先,根据能量守恒定律,在时段t,t+t,注意到k1是能量转化率,从而消耗的燃料转化的能量为k1M1(t+t)-M1(t).从能量守恒的角度来看,这部分能量将补充如下三部分的消耗:1)飞机在这个时段内的动能增量E;2)飞机位移导致的势能增量E
9、;3)飞行过程中的摩擦损耗E.由能量守恒可得:E=12M0(t+t)u2R(t+t)-12M0(t)u2R(t),(1)E=M0(t+t)g h(t+t)-M0(t)g h(t),(2)以及E=St+ttn(t)P(t)uR(t)dSdt.(3)从而得到k1M1(t+t)-M1(t)=12M0(t+t)u2R(t+t)-M0(t)u2R(t)+M0(t+t)-M0(t)g h(t+t)+M0(t)gh(t+t)-h(t)+St+ttP(t)n(t)uR(t)dtdS.(4)令式(4)中t 0+,可得如下的微分方程:k1M 1(t)=12M 1(t)u2R-M0(t)u R(t)uR(t)+M
10、1(t)g h(t)+M0(t)g ugs i n+P(t)n(t)uR(t)S,(5)其中,n(t)用罗德里格旋转公式,取为n(t)=c o s c o s er-s i n c o s e+s i n e.方程(5)刻画了理论上的燃油消耗.从实际角度来看,当爬升迎角和飞行方向成锐角时,会带来升力效应,这个效应在某种程度上可以减少油耗.因此在巡航、爬升或者降落阶段,由于不同的仰角导致油耗有差异.为此作如下处理.1.1 巡航阶段由于仰角通常和飞行方向成锐角,相应的风阻在消耗燃油的同时,也会提供额外的升力效应.由于升力显然和仰角和速度相关,可以将其量化为-1u2Rc o s c o s,其中,1
11、是升力系数,其与飞机的气动外形、飞行速度、气象条件等相关.从而加上升力效应后的模型可以优化成:k1M 1(t)=12M 1(t)u2R-M0(t)u R(t)uR(t)+M 1(t)g h(t)+M0(t)g ugs i n+P(t)n(t)uR(t)S-1u2Rc o s c o s.(6)1.2 爬升阶段在初始爬升阶段(飞机高度低于1 5 0 0英尺时),摩擦相较于巡航阶段有显著的变化(这一点也可从流体力学的边界层理论上得到).因此对起飞(降落)阶段加入相应的考虑.基于流体力学的边界层理64第1 2卷 第3期数学建模及其应用V o l.1 2 N o.3 S e p t.2 0 2 3论,
12、这类摩擦效应可以由21h(t)u2Rs i n c o s 进行刻画,此时修正的模型为k1M 1(t)=12M 1(t)u2R-M0(t)u R(t)uR(t)+M 1(t)g h(t)+M0(t)g ugs i n+P(t)n(t)uR(t)S-1u2Rc o s c o s+21h(t)u2Rs i n c o s.(7)2 数值验证及模拟在模型(6)和(7)中,参数k1、1以及2等都依赖于飞机的气动构型、气象条件、飞行高度等多个因素,下面想要用其来刻画飞控数据表(B A D A)中的油耗数据的内蕴关系.在进一步验证之前,首先说明后续的验证针对的情况为:1)飞行的飞行姿态平稳,即飞机的侧倾
13、角较小,爬升角度变化平稳(大多数民航航班满足);2)气象条件基本平稳,不考虑出现短时间强对流等极端天气状况.以上的条件可保证参数充分小,此时气压P(t)可由静态气压公式来近似:h(t2)-h(t1)=-L n P(t2)/P(t1)1 8 4 0 0 1+T(t)/2 7 3 .(8)简单起见,后续验证中取=0,说明飞机飞行状态中侧倾角度很小;另外取P(t)如式(8),表示空气压强变化不剧烈.这种情况下巡航阶段的数学模型可以简化整理为k1M 1(t)=12M 1(t)u2R-M0(t)u R(t)uR(t)+M 1(t)g h(t)+M0(t)g ugs i n+P(t)n(t)uR(t)S-
14、1u2Rc o s c o s,当h(t)1.5 k f t,12M 1(t)u2R-M0(t)u R(t)uR(t)+M 1(t)g h(t)+M0(t)g ugs i n+P(t)n(t)uR(t)S-1u2Rc o s c o s+21h(t)u2Rs i n c o s,当h(t)1.5 k f t.(9)下面以波音7 7 7机型的B A D A数据表作为参照系,验证的想法如下:1)将波音7 7 7的B A D A数据表中的数据分成两份.将第一份中的数据代入模型(9),拟合其对应的参数.这部分的出发点在于,这些参数和飞机的气动构型相关,每类具体的机型对应的参数都有一定的稳定性.通过第一
15、份数据将这些参数拟合出来,从而确定可以刻画这类机型的模型;2)当模型的参数拟合好之后(即针对该机型的模型确定了),将通过模型进行数值计算,算出后续的油耗数据.这部分算出来的数据是直接通过模型得到,与第二份数据表无关;3)以第二份数据表为检验数据,通过对比由模型计算出来的数据和第二份数据表中的数据,观察建立的模型是否能够较好地说明油耗的结构.下面以波音7 7 7飞行1 5 0 k m的油耗(飞行控制手册B A D A中的数据)为参考量,对微分模型(9)用改进E u l e r法作离散化处理,相应的数值模拟结果见图1-图4.图形中红色圆圈是由模型(9)计算出来的油耗与飞行距离的数据;蓝色直线是波音
16、7 7 7飞行控制表提供的数据,风速单位1节=0.5 1 4 m/s.图1-5、起飞重量2 0 0吨、背景风速4 0节(k t s)时的油耗曲线图74探索与实践飞机飞控手册油耗数据的模型重构及验证2 0 2 3年9月图2-5、起飞重量2 1 0吨、背景风速4 0节(k t s)时的油耗曲线图图3-5、起飞重量2 5 0吨、背景风速4 0节(k t s)时的油耗曲线图图4-3、起飞重量2 0 0吨、背景风速4 0节(k t s)时的油耗曲线图3 结语通过建立模型和数值模拟,得到了与飞控数据表(B A D A)接近一致的模拟结果,说明本文基于空气动力学建立的数学模型是有效且正确的,一定程度上将黑盒
17、子型的数据表给予了准确的刻画.而要得到更为一般的结果,尚需在不同天气环境和大气条件下进一步精细化模型.参考文献1 任治.基于C C O运行的离场航空器航迹仿真及油耗分析J.科学技术创新,2 0 2 2(1 3):3 3-3 6.2 赵华治.航段油耗区间预估算法研究D.天津:中国民航大学,2 0 2 1.3 张义朋,向征,张文军,等.高空管制区高度调整对航空器油耗及污染物排放量影响分析J.民航学报,2 0 2 0,4(4):9 0-9 6.4B r u e c k n e r J K,A b r e u C.A i r l i n e f u e l u s a g e a n d c a r
18、b o n e m i s s i o n s:d e t e r m i n i n g f a c t o r sJ.J o u r n a l o f A i r T r a n s p o r t M a n a g e m e n t,2 0 1 7,6 2:1 0-1 7.5C h z e B,G a s t i n e a u P,C h e v a l l i e r J.F o r e c a s t i n g w o r l d a n d r e g i o n a l a v i a t i o n j e t f u e l d e m a n d s t o t
19、h e m i d-t e r m(2 0 2 5)J.E n e r g y P o l i c y,2 0 1 1,3 9(9):5 1 4 7-5 1 5 8.84第1 2卷 第3期数学建模及其应用V o l.1 2 N o.3 S e p t.2 0 2 36C a b o M,F e r n a n d e s E,A l o n s o P,e t a l.E n e r g y e f f e c t i v e n e s s o f j e t f u e l u t i l i z a t i o n i n B r a z i l i a n a i r t r a n
20、s p o r tJ.S u s t a i n a b i l i t y,2 0 2 0,1 2(1):3 0 3.7P a r k Y,O K e l l y M E.F u e l b u r n r a t e s o f c o mm e r c i a l p a s s e n g e r a i r c r a f t:v a r i a t i o n s b y s e a t c o n f i g u r a t i o n a n d s t a g e d i s t a n c eJ.J o u r n a l o f T r a n s p o r t G e
21、 o g r a p h y,2 0 1 4,4 1:1 3 7-1 4 7.8P a r k Y,O K e l l y M E.E x a m i n a t i o n o f c o s t-e f f i c i e n t a i r c r a f t f l e e t s u s i n g e m p i r i c a l o p e r a t i o n d a t a i n U S a v i a t i o n m a r k e t sJ.J o u r n a l o f A i r T r a n s p o r t M a n a g e m e n t
22、,2 0 1 8,6 9:2 2 4-2 3 4.9 王湛,熊佳俊,陈浩.航空器场面滑行速度与油耗研究J.武汉理工大学学报(交通科学与工程版),2 0 1 7,4 1(3):3 9 1-3 9 4+4 0 0.1 0R e n D,L e s l i e L M.I m p a c t s o f c l i m a t e w a r m i n g o n a v i a t i o n f u e l c o n s u m p t i o nJ.J o u r n a l o f A p p l i e d M e t e o r o l o g y a n d C l i m a t
23、 o l o g y,2 0 1 9,5 8(7):1 5 9 3-1 6 0 2.1 1H u a n g C,C h e n g X.E s t i m a t i o n o f a i r c r a f t f u e l c o n s u m p t i o n b y m o d e l i n g f l i g h t d a t a f r o m a v i o n i c s s y s t e m sJ.J o u r n a l o f A i r T r a n s p o r t M a n a g e m e n t,2 0 2 2,9 9:1 0 2 1
24、8 1.1 2H i n e s C J,D e d d e n s J A,L u C,e t a l.M i x e d-e f f e c t m o d e l s f o r e v a l u a t i n g m u l t i p l e m e a s u r e s o f a t r a z i n e e x p o s u r e a m o n g c u s t o m a p p l i c a t o r sJ.J o u r n a l o f O c c u p a t i o n a l a n d E n v i r o n m e n t a l
25、H y g i e n e,2 0 0 6,3(5):2 7 4-2 8 3.1 3M c K e r n a n L T,B u r g e H,W a l l i n g f o r d K M,e t a l.E v a l u a t i n g f u n g a l p o p u l a t i o n s b y g e n e r a/s p e c i e s o n w i d e b o d y c o mm e r c i a l p a s s e n g e r a i r c r a f t a n d i n a i r p o r t t e r m i n
26、 a l sJ.A n n a l s o f O c c u p a t i o n a l H y g i e n e,2 0 0 7,5 1(3):2 8 1-2 9 1.1 4M c K e r n a n L T,H e i n M J,W a l l i n g f o r d K M,e t a l.A s s e s s i n g t o t a l f u n g a l c o n c e n t r a t i o n s o n c o mm e r c i a l p a s s e n g e r a i r c r a f t u s i n g m i x e
27、 d-e f f e c t s m o d e l i n gJ.J o u r n a l o f O c c u p a t i o n a l a n d E n v i r o n m e n t a l H y g i e n e,2 0 0 7,5(1):4 8-5 8.1 5S y m a n s k i E,C h a n W,C h a n g C C.M i x e d-e f f e c t s m o d e l s f o r t h e e v a l u a t i o n o f l o n g-t e r m t r e n d s i n e x p o
28、s u r e l e v e l s w i t h a n e x a m p l e f r o m t h e n i c k e l i n d u s t r yJ.A n n a l s o f O c c u p a t i o n a l H y g i e n e,2 0 0 1,4 5(1):7 1-8 1.1 6T h i b a u t R,J a c q m i n-G a d d a H.M i x e d m o d e l s f o r l o n g i t u d i n a l l e f t-c e n s o r e d r e p e a t e
29、 d m e a s u r e sJ.C o m p u t e r M e t h o d s a n d P r o g r a m s i n B i o m e d i c i n e,2 0 0 4,7 4(3):2 5 5-2 6 0.M a t h e m a t i c a l M o d e l R e c o n s t r u c t i o n a n d N u m e r i c a l V e r i f i c a t i o n o f F u e l C o n s u m p t i o n o f t h e D a t a i n B A D ADU
30、 Y i1,Z HANG G u a n g l e i1,L I AO Z i j u1,HUANG J i a y a o1,Z HANG S h u a n g h u2,WANG Y i j u3(1.C o l l e g e o f I n f o r m a t i o n S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y,J i n a n U n i v e r s i t y,G u a n g z h o u,G u a n g d o n g 5 1 0 6 3 2,C h i n a;2.D e p a r t m e n t o f A
31、 p p l i e d M a t h e m a t i c s,G u a n g d o n g U n i v e r s i t y o f F i n a n c e,G u a n g z h o u,G u a n g d o n g 5 1 0 5 2 1,C h i n a;3.A r t i f i c i a l I n t e l l i g e n c e D a t a S c i e n c e D e p a r t m e n t,G u a n g z h o u X i n h u a U n i v e r s i t y,G u a n g z h
32、 o u,G u a n g d o n g 5 1 0 5 2 0,C h i n a)A b s t r a c t:S t a r t i n g f r o m t h e l a w s o f a i r f l o w m o t i o n a n d p h y s i c a l p r i n c i p l e,t h i s p a p e r e s t a b l i s h e s c o r r e s p o n d i n g d i f f e r e n t i a l h y d r o d y n a m i c m o d e l s f o r
33、 t h e a i r c r a f t i n t h e c l i m b i n g a n d c r u i s e p h a s e s,w h i c h d e s c r i b e t h e f u e l c o n s u m p t i o n r e l a t i o n s h i p u n d e r d i f f e r e n t m e t e o r o l o g i c a l c o n d i t i o n s.F u r t h e r,b a s e d o n t h e B A D A d a t a,t h e n u
34、 m e r i c a l t e s t o f t h e e s t a b l i s h e d m o d e l v e r i f i e s t h a t t h e m a t h e m a t i c a l m o d e l w e m o d e l i s h i g h a c c u r a c y.K e y w o r d s:r e c o n s t r u c t i o n o f t h e B A D A d a t a;a i r c r a f t f u e l c o n s u m p t i o n m o d e l;n u
35、 m e r i c a l s i m u l a t i o n;a v i a t i o n r o u t e o p t i m i z a t i o n作者简介杜 毅(1 9 7 9-),男,博士,教授,主要研究方向为偏微分方程流体力学.张广蕾(1 9 9 8-),女,硕士研究生,主要研究方向为偏微分方程流体力学.廖子菊(1 9 8 5-),男,博士,副教授,主要研究方向为计算流体力学.黄家尧(2 0 0 1-),男,暨南大学本科生.张双虎(1 9 8 4-),男,博士,副教授,主要研究方向为偏微分方程流体力学.王一举(1 9 6 1-),男,博士,教授,主要研究方向为空间物理、计算机应用.94
