1、江西省南昌市2024届高三第二次模拟测试数学试题一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量,则A.2B.4C.6D.82.设复数满足,则A.B.C.1D.3.已知集合,则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知,则不等式的解集是A.B.C.D.5.在三棱锥中,平面分别为AC,CD的中点,则下列结论正确的是A.AF,BE是异面直线,B.AF,BE是相交直线;C.AF,BE是异面直线,AF与BE不垂直D.AF,BE是相交直线,AF与BE不垂直6.已知,则A.B.C.D.7.已知
2、双曲线的左、右焦点分别为,双曲线的右支上有一点与双曲线的左支交于,线段的中点为,且满足,若,则双曲线的离心率为A.B.C.D.8.校足球社团为学校足球比赛设计了一个奖杯,如图,奖杯的设计思路是将侧棱长为6的正三棱锥的三个侧面沿AB,BC,AC展开得到面,使得平面均与平面ABC垂直,再将球放到上面使得三个点在球的表面上,若奖杯的总高度为,且,则球的表面积为A.B.C.D.二、选择题:本题共3小题,每题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.为了解中学生喜爱足球运动与性别是否有关,甲、乙两校的课题组分别随机抽取了本校部分学
3、生进行调查,得到如下两个表格:喜爱足球运动不喜爱足球运动合计男性15520女性81220合计231740甲校样本喜爱足球运动不喜爱足球运动合计男性7030100女性4555100合计11585200乙校样本则下列判断中正确的是A.样本中,甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例B.样本中,甲校女学生喜爱足球运动的比例高于乙校女学生喜爱足球运动的比例C.根据甲校样本有的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关D.根据乙校样本有的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关(参考公式及数据:).0.10.010.0012.7066.63510.82810.已知,则下列说法中正确的是A.在上
4、可能单调递减B.若在上单调递增,则C.是的一个对称中心D.所有的对称中心在同一条直线上11.已知为AB上一点,且满足.动点满足为线段BC上一点,满足,则下列说法中正确的是A.若,则为线段BC的中点B.当时,的面积为C.点到A,B距离之和的最大值为5D.的正切值的最大值为三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.在中,角A,B,C所对的边分别为若,则_.13.一次知识竞赛中,共有个题,参赛人每次从中抽出一个题回答(抽后不放回).已知参赛人甲题答对的概率为题答对的概率为题答对的概率均为,则甲前3个题全答对的概率为_.14.如图,有一张较大的矩形纸片分别为AB,CD的中点,点在上,.将矩
5、形按图示方式折叠,使直线AB(被折起的部分)P点,记AB上与点重合的点为,折痕为.过点再折一条与BC平行的折痕,并与折痕交于点,按上述方法多次折叠,点的轨迹形成曲线.曲线在点处的切线与AB交于点,则的面积的最小值为_.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知数列的前项和为,且满足.(1)当时,求;(2)若,设,求的通项公式.16.(15分)一条生产电阻的生产线,生产正常时,生产的电阻阻值(单位:)服从正态分布.(1)生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取2只,求这两只电阻的阻值在区间和内各一只的概率;(精确到0.001)(2)根据统计学
6、的知识,从服从正态分布的总体中抽取容量为的样本,则这个样本的平均数服从正态分布.某时刻,质检员从生产线上抽取5只电阻,测得阻值分别为:1000,1007,1012,1013,1013(单位:).你认为这时生产线生产正常吗?说明理由(参考数据:若,则,17.(15分)已知椭圆经过点为椭圆的右顶点,为坐标原点,的面积为.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点作直线与椭圆交于A,B,A关于原点的对称点为,若,求直线AB的斜率.18.(17分)已知且.(1)当时,求证:在上单调递增;(2)设,已知,有不等式恒成立,求实数的取值范围.19.(17分)如图所示,用一个不平行于圆柱底面的平面,截该圆柱所得的截面
7、为椭圆面,得到的几何体称之为“斜截圆柱”.图一与图二是完全相同的“斜截圆柱”,AB是底面圆的直径,椭圆所在平面垂直于平面ABCD,且与底面所成二面角为,图一中,点是椭圆上的动点,点在底面上的投影为点,图二中,椭圆上的点在底面上的投影分别为,且均在直径AB的同一侧.(1)当时,求的长度;(2)(i)当时,若图二中,点将半圆均分成7等份,求;(ii)证明:.2024年MAH第二次模拟测试数学参考答案及评分意见一、单项选择题:共8小题,每题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.题号12345678答案BBABADDC二、多项选择题:共3小题,每题6分,共18分.在每
8、小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.题号91011答案ADBCDACD三、填空题:共3小题,每小题5分,共15分.12.213.14.四、解答题:共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】(1)当时,为等差数列,因为,所以,.2分所以.6分(2)由已知,所以,即,10分且,所以是以1为首项,为公比的等比数列,所以.13分16.【解析】(1),生产正常时,从这条生产线生产的电阻中抽取1只,则这只电阻阻值在和在的概率分别为:.2分4分因此所求概率为:;7分(2)生产正常时，这5个样本的平均数服从正态分布,8
9、分记,计算可得,10分这时,即，小概率事件发生了,因此认为这时生产线生产不正常. 15分17.【解析】(1)因为的面积为,则有,解得,2分又因为在椭圆上,则,解得,4分所以椭圆的标准方程为;6分(2)因为为AC的中点,所以,设,设直线的方程,并与椭圆的方程进行联立,可得,消去得,则有,9分因为,则有,则,即,12分,即,解得,14分所以直线AB的斜率为.15分18.【解析】(1)当时,则,1分令,则,两边取对数得.设,则,所以g(x)在单调递增,.4分所以时,即时,所以时,即,.6分所以在上单调递增.(2)法一:,两边取对数得:,即.8分设,则问题即为:当时,恒成立.只需时,.,令得,当时,单
10、调递增;当时,单调递减.又因为,则,所以时,单调递减,所以时,所以即.12分设,则,当时,单调递增;当时,单调递减,所以,当时,时,所以的图象与轴有1个交点,设这个交点为,因为,所以;所以当时,即当时,不等式,所以当不等式在恒成立时,.17分法二:,两边取对数得:,即.8分设,令得,当时,单调递减.10分又因为,所以在单调递减,由,则在恒成立,即.13分上式等价于,.15分由在单调递减,所以.17分19.【解析】(1)如图,取CD中点,过作与该斜截圆柱的底面平行的平面,交DA于点,交BC延长线于点,与交于点,则,过作GH的垂线,交圆于J、K两点.过作交JK于点,又由圆M,IN为PN在圆所在平面
11、的射影,由三垂线定理知,所以为椭圆面与圆所在平面的夹角,也即椭圆面与底面所成角,所以.则为等腰直角三角形,.设,如图作圆所在平面的俯视图,则,由,所以,则有,所以,所以,当时,;.5分(2)(i)时,所以,.7分所以.10分()证明：由(1)知,也即是关于的函数,也即将斜截圆柱的侧面沿着AD展开,其椭圆面的轮廓线即为函数的图象,现将绘制于函数图象上,并以为边作矩形,则矩形的面积即为,所以,即为这些矩形的面积之和.而两个该斜截圆柱可拼成一个底面半径为1,高为4的圆柱,因此该斜截圆柱的侧面积为，所以函数与坐标轴围成的面积为,又因为无论点是否均匀分布在半圆弧AB上,这些矩形的面积之和都小于函数与坐标轴围成的面积.所以,得证.17分
