1、炎德英才大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（八）数 学命题人 李群丽 审题人 陈朝阳注意事顶：1答卷前、考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2回答选择题时、选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动、用橡皮擦干净后、再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1定义差集，已知集合，则（ ）ABCD2已知一组数据的平均数为2，方差为，则另一组数据的平均数、标准差分别为（ ）ABC
2、D3设复数满足这在复平面内对应的点为，则（ ）ABCD4向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，我们称为极化恒等式、已知在中，是中点，则（ ）AB16CD85南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（FlorenceNightingale）设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小，某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔攻瑰图（如图所示）、根据此图，以下说法错误的是（ ）A2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加B2015年至2022年，知识付费用户数量的
3、逐年增加量在2018年最多C2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增D2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍6已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）A直线是函数图象的对称轴B在区间上有两个极值点C在区间上单调递减D函数的图象可由向左平移个单位长度得到7已知点为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，设线段的中点为，且，则的面积为（ ）ABCD8中国古建筑闻名于世，源远流长如图甲所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图乙所示，在结构示意图中，已知四边形为矩形，与都是边长为2的等边三角形，若点都在球的球面上，则球的表面积
4、为（ ）ABCD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9已知直线与圆：，则下列结论正确的是（ ）A对，直线恒过一定点B，使得直线与圆相切C对，直线与圆一定相交D直线与元相交且直线被圆所截得的最短弦长为10已知满足，且的面积，则下列命题正确的是（ ）A的周长为B的三个内角满足关系C的外接圆半径为D的中线的长为11已知若存在，使得成立，则下列结论正确的是（ ）A函数在处的切线与函数在处的切线吻合B当时，C当时，D若恒成立，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12的展开式中的系数为_
5、。13若，则_。14已知数列的通项公式为是数列的前项和，则_。四、解答题：本题共5小题，共77分请在答题卡指定区域内作答、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）已知函数（1）当时，求在处的切线方程（2）讨论在区间上的最小值16（本小题满分15分）汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车业发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：年份20172018201920202021年份代码12315销量/万辆1012172026（1）统计表明销量与年份代码有较强
6、的线性相关关系，求关于的经验回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；（2）某新能源汽车品牌销售商为了促销，采取“摸球定价格”的优惠方式，其规则为：盒子内装有编号为1，2，3的三个相同的小球，有放回地摸三次，三次摸到相同编号的享受七折优惠，三次中仅有两次摸到相同编号的享受八折优惠，其余情况均享受九折优惠，已知此款新能源汽车一台标价为100000元，设小李购买此款新能源汽车的价格为，求的分布列与均值附：为经验回归方程，17（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面为梭的中点，四棱锥的体积为（1）若为棱的中点，求证：平面；（2）在棱上是否存在
7、点，使得平面与平面所成夹角的余弦值为?若存在求出线段的长度；若不存在，请说明理由18（本小题满分17分）已知双曲线的右顶点，它的一条渐近线的倾斜角为（1）求双曲线的方程；（2）过点（作直线交双曲线于两点（不与点重合），求证：；（3）若过双曲线上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，且分别在第一象限和第四象限，若，求面积的取值范围19（本小题满分17分）已知数列为有穷正整数数列若数列满足如下两个性质，则称数列为的减数列：；对于，使得的正整数对有个（1）写出所有4的1减数列；（2）若存在的6减数列，证明：；（3）若存在2024的减数列，求的最大值炎德英才大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（八）数学
8、参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案BCDACCAAACDBCABC1B【解析】因为，所以，所以故选B2C【解析】因为一组数据的平均数为2，方差为，所以另一组数据，的平均数为，方差为平均数、标准差分别为故选C3D4A【解析】由题设，故选A5C【解析】对于A，由图可知，2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加，故A说法正确；对于B和C，知识付费用户数量的逐年增加量分别为：2016年，；2017年，年，2019年，年，；2021年，年，；则知识付费用户数量逐年增加量2018年最多，知识付费用户数量的逐年增加量不是逐年递增，故B说法正确，C说法错误；对于D，由，则2022
9、年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍，故D说法正确综上，说法错误的选项为C故选C6C【解析】因为函数的图象关于点中心对称，所以，可得，结合，得，所以对于A，所以直线不是函数图象的对称轴，故A不正确；对于B，当时，所以函数在区间上只有一个极值点，故B不正确；对于C当时，所以函数在区间上单调递减，故C正确；对于D，左移个单位长度后得到，故D错误故选C7A【解析】由题意可得如图，因为分别是和的中点，所以，根据椭圆定义，可得，又因为，所以，所以，故的面积为故选A另法：此题用等腰三角形求高或海伦公式更快捷8A【解析】如图，根据球的性质可得平面，根据中位线的性质和勾股定理可得且，分类讨
10、论当在线段上和在线段的延长线上时，由球的性质可得球半径的平方为，再用球的表面积公式计算即可如图，连接，设，因为四边形为矩形，所以为矩形外接圆的圆心连接，则平面，分别取的中点，根据几何体的对称性可知，直线交于点连接，则，且为的中点，因为，所以，连接，在与，易知，所以梯形为等腰梯形，所以，且设，球的半径为，连接，当在线段上时，由球的性质可知，易得，则，此时无解当在线段的延长线上时，由球的性质可知，解得，所以，所以球的表面积故选A9ACD【解析】由题设，令所以直线恒过定点，A对；又的标准方程为，显然，所以点在圆内，故直线与圆必相交，B错，C对；要使直线与圆相交弦长最短，只需定点与圆心的连线与已知直线
11、垂直，此时定点与直线距离为，又圆的半径为2，则最短相交弦长为，D对故选ACD10BC【解析】因为满足所以，设，利用余弦定理，由于，所以对于A，因为，所以，解得所以，所以的周长为，故A不正确；对于B，因为，所以，故，故B正确；对于C，由正弦定理得外接圆半径为，故C正确；对于D，如图所示，在中，利用正弦定理，解得，又，所以，在中，利用余弦定理，解得，故D不正确故选BC11ABC【解析】选项A，由，得，又验证知，切线方程都为，故A正确；选项B，则，且，由，得，当时，则在上递增，所以当时，有唯一解，故，故B正确；选项C，由B正确，得，设，则，令，解得，易知在上单调递增，在上单调递减，故C正确；选项D，
12、由恒成立，即恒成立，令，则，由在上递增，又，存在，使，在上递减，在上递增（其中满足，即），要使恒成立，存在满足题意，故D错误故选ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分1213【解析】依题意，解得，故14【解析】因为，设所以四、解答题：本题共5小题，共77分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15【解析】（1）当时，所以时，函数在处的切线方程为（2）当时，此时单调递增；当时，此时单调递减，当时，函数在上单调递减，故函数的最小值为：；当时，函数在上单调递增，故函数的最小值为：；当时，函数的最小值为：故16【解析】（1）由题意得，所以所以关于的经验回归方程为
13、，令，得，所以最小的整数为，所以该地区新能源汽车的销量最早在2028年能突破50万辆（2）有放回地摸球，每次摸到某个编号的概率为，则三次摸到相同编号的概率为；三次中仅有两次摸到相同编号的概率为；700008000090000故17【解析】（1）取中点，连接分别为的中点，底面四边形是矩形，为棱的中点，故四边形是平行四边形，又平面平面，平面（2）假设在梭上存在点满足题意，在等边中，为的中点，所以，又平面平面，平面平面平面，平面，则是四棱锥的高设，则，所以以点为原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，故设，设平面的一个法向量为，则取易知平面的一个法向量为，故存在点满足题意18
14、【解析】（1）易知，故双曲线的方程为（2）由已知可得，直线的方程为，联立，其中，且时，则，（3）由题意可知，若直线有斜率则斜率不为0，故设直线方程为：，设，点在双曲线上，又联立，分别在第一象限和第四象限，由式得：，将代入得：，令由对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增19【解析】（1）由题意得，则或，故所有4的1减数列有数列和数列3，1（2）因为对于，使得的正整数对有个，且存在的6减数列，所以，得当时，因为存在的6减数列，所以数列中各项均不相同，所以当时，因为存在的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以若，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，所以，不符合题意，所以当时，因为存在的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以综上所述，若存在的6减数列，则（3）若数列中的每一项都相等，则，若，所以数列存在大于1的项，若末项，将拆分成个1后变大，所以此时不是最大值，所以当时，若，交换的顺序后变为，所以此时不是最大值，所以若，所以，所以将改为，并在数列末尾添加一项1，所以变大，所以此时不是最大值，所以若数列中存在相邻的两项，设此时中有项为2，将改为2，并在数列末尾添加一项1后，的值至少变为，所以此时不是最大值，所以数列的各项只能为2或1，所以数列为的形式设其中有项为2，有项为1，因为存在2024的减数列，所以，所以，所以，当且仅当时，取最大值为512072
