1、 年月南宁师范大学学报(自然科学版)S e p 第 卷 第期J o u r n a l o fN a n n i n gN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)V o l N o D O I:/j c n k i i s s n 文章编号:()丢番图方程(a n)x(b n)y(c n)z,abc 邓乃娟(湛江幼儿师范专科学校 数学系,广东 湛江 )摘要:设n,a|m(m m)|,bm m,cm是正整数,且|m,m该文证明了:若(x,y,z,n)(,),(,c),(,c)是丢番图方程(a n
2、)x(b n)y(c n)z的正整数解,则xyz或yxz;当(a,b,c)(,),(,)时,丢番图方程(a n)x(b n)y(c n)z的正整数解只有(x,y,z,n)(,),(,c)关键词:J e s m a n o w i c z猜想;丢番图方程;正整数解中图分类号:O 文献标志码:A设(X,Y,Z)是本原商高数组J e s m a n o w i c z曾猜想:对于任意正整数n,丢番图方程(n X)x(n Y)y(n Z)z只有正整数解(x,y,z)(,)虽然J e s m a n o w i c z猜想在很多特殊情况下都是正确的,但在一般情形仍未解决与J e s m a n o w
3、i c z猜想类似的一个问题是找出使得丢番图方程axbycz只有正整数解(x,y,z)(,)的所有三元正整数组(a,b,c)年胡永忠等证明,如果a|m(m m)|,b m m,cm是正整数且|m,m,则丢番图方程axbycz只有正整数解(x,y,z)(,)本文研究当n时丢番图方程|m(m m)|nx(m m)ny(m)z的正整数解,得到如下结论定理设n,a|m(m m)|,b m m,cm是正整数且|m,m,若(x,y,z,n)(,),(,c),(,c)是丢番图方程(a n)x(b n)y(c n)z()的正整数解,则xyz或yxz定理丢番图方程(n)x(n)y(n)z()的正整数解只有(x,
4、y,z,n)(,),(,)定理丢番图方程(n)x(n)y(n)z()的正整数解只有(x,y,z,n)(,),(,)有关引理引理如果n,a|m(m m)|,b m m,cm是正整数,且|m,m,则丢番图方程axbycz只有正整数解(x,y,z)(,)引理设a,b,x,x,g c d(a,b)且xx(i)如果(axbx)|(axbx),则x|x(i i)如果(axbx)|(axbx),则xl x,l(m o d)引理设m,t均是正整数,p是素数且p|m,p|t如果vp(t),vp(m),则收稿日期:基金项目:湛江市非资助科技攻关计划项目(B )作者简介:邓乃娟(),女,广东湛江人,助教,硕士,研究
5、方向:数论E m a i l:q q c o m第期邓乃娟:丢番图方程(a n)x(b n)y(c n)z,abc mktk(m o dp),k,m引理设不定方程xM yN,M,N,有整数解(a,b),则不定方程xM yN zn,M,N,n,有无穷多组整数解(x,y,z),且x,y,z可由下式表出:xyM(abM)(abM)n,zaM b本文中,对于正整数n和素数p,若非负整数e满足pe整除n,但pe 不能整除n,则将e记为vp(n)主要定理的证明由引理可知,当n,a|m(m m)|,b m m,cm且|m,m时,丢番图方程axbycz只有正整数解(x,y,z)(,)不妨设n定理的证明因为(a
6、,b,c)(|m(m m)|,m m,m),所以cm i na,b这意味着z m a xx,y,即xyz或xyz或yxz因此我们只需讨论xyz的情形如果xyz,则方程()可整理为axbxcznzx()当z时,由方程组axbxcznzxabc()可知ab|axbx结合引理可得xl,l(m o d),于是方程组()可变形为(cb)lblcznzx()对式()整理得lklk()lkb(lk)c(k)l b(l)cz nzx()另外,由|m可知g c d(b,c)g c d(m m,m)此时结合式()可得c|l假设csipii,其中p,p,ps均为素数且i,i,s,为正整数,则可将l表示为lsipii
7、l,其中i均为正整数且g c d(sipi,l)对任意j,pj,s,由引理可得lkc(k)(m o dpj j),k,l但vpj(l b(l)j,于是vpj(cz nzx)j,这意味着cl cx cz l又因为cm,l(m o d)且l,所以l,于是cznz abc,这与z矛盾当z时,显然xy,于是方程()可写成abcn,这意味着c|(ab)(ab)又因为c|ab,所以c|a,即g c d(a,c)c而|m,即m(m o d),故g c d(a,c)g c d(|m(m m)|,m)g c d(,m),这与g c d(a,c)c矛盾当z时,显然xy或xy如果xy,则方程()可写成abcn,这意
8、味着c|(ab)(ab)又因为c|ab,所以c|a,这与g c d(a,c),c(m o d)矛盾如果xy,则方程()可写成abcn,这时结合引理可得nc,这与(x,y,z,n)(,c)矛盾当z时,显然xy或xy或xy 南 宁 师 范 大 学 学 报(自 然 科 学 版)第 卷如果xy,则方程()可写成abcn,这意味着c|(ab)(ab)又因为c|ab,所以c|a,这与g c d(a,c),c(m o d)矛盾如果xy,则方程()可写成abcn,这时结合引理可得nc,这与(x,y,z,n)(,c)矛盾如果xy,则方程()可写成abcn,于是c|ab又因为c|ab,所以c|ab,这意味着c|a
9、,这与g c d(a,c),c(m o d)矛盾当z 时,由方程组()可知ab|axbx结合引理可得xy,于是方程()可写成abcn,这与abc,n矛盾定理的证明设(x,y,z,n)(,),(,)是方程()的正整数解当n 时,由引理知方程 x y z只有正整数解(x,y,z)(,)当n时,由定理可知,只需讨论xyz和yxz的情形若xyz,则方程()可整理为 xnyx(znzy y)()由式()和g c d(,)g c d(,)g c d(,)可知n n,其中,为非负整数如果,则(yx)(yx)x,于是式()可整理为z(zy)(zy)y()对式()模得 y(m o d),这不可能如果,则(yx)
10、x,于是式()可整理为z(zy)y x()对式()模得()x(m o d),故x为奇数对式()模 得z(zy)x(m o d),由L e g e n d r e符号的性质得 z(zy)x()x,这与x为奇数矛盾如果,则(yx)x,于是式()可整理为z(zy)yx()对式()模得x(m o d),于是x(m o d)对式()模 得xy(m o d),由L e g e n d r e符号的性质得()x x y()y,故y为奇数再对式()模,得zxy(m o d),这与x(m o d),y(m o d),g c d(,)矛盾若yxz,则方程()可整理为 ynxy(znzx x)()由()和g c d
11、(,)g c d(,)g c d(,)可知n,其中为正整数对式()整理得z(zx)x()对式()模得x(m o d),于是x(m o d)然而对式()模 得 x(m o d),有x(m o d),这与x(m o d)矛盾定理的证明设(x,y,z,n)(,),(,)是方程()的正整数解当n 时,由引理知方程 x y z只有正整数解(x,y,z)(,)当n时,由定理可知,只需讨论xyz和yxz的情形若xyz,则方程()可整理为 xnyx(znzy y)()第期邓乃娟:丢番图方程(a n)x(b n)y(c n)z,abc 由()和g c d(,)g c d(,)g c d(,)可知n ,其中,为非
12、负整数如果,则(yx)x,(yx)x,即,于是()可整理为 z(zy)(zy)y()对式()模得(m o d),这不可能如果,则(yx)x,于是式()可整理为 z(zy)y x()当(zy)时,对式()模得()x(m o d),这不可能当(zy)时可得,zy对式()模得z yx(m o d)另外,由zy 可知,z与y同奇偶,于是n,这不可能如果,则(yx)x,于是式()可整理为 z (zy)yx()对式()模得zx(m o d),故|x,z(m o d)对式()模得z(zy)y(m o d),又因为z(m o d),故|y,|(zy)对式()模 得(zy)(m o d),于是|(zy)综上可得
13、,式()可整理为XY Z,其中(X,Y,Z)x,y,z (zy)()又因为XY 有整数解(,)且(ab)(ab)a b,所以根据引理可知方程XY Z的整数解为X(ab)a b,Y(ab)a b,Zab,于是有x(ab)a b,y(ab)a b,z (zy)ab这意味着a,b一奇一偶不妨设aa,b是奇数,则有x abab,z (zy)ab当x时,由x abab和b(m o d)可知a(m o d),于是ab(m o d)而由|(zy)知 z (zy)(zy)(m o d),这与 z (zy)ab矛盾当x 时,由x abab可知abab 此时结合 y(ab)a b和 z (zy)ab可得 ab y
14、和 z (zy)bab又由于 ab y(m o d),所以a(m o d)这意味着bab(m o d),但 z (zy)(m o d),这与 z (zy)bab矛盾若yxz,则方程()可整理为 ynxy(znzx x)()由()和g c d(,)g c d(,)g c d(,)可知n ,其中,为非负整数如果,则(xy)(xy)y,于是式()可整理为 z(zx)(zx)x()对式()模 得x(m o d),由L e g e n d r e符号的性质得 x,这不可能如果,则(xy)y,于是式()可整理为 z(zx)x y()对式()模 得xy(m o d),由L e g e n d r e符号的性
15、质得 x y()y,于是y是奇数对式()模得zxy(m o d),又因为(m o d),于是z(m o d),x(m o d)但对式()模得z(zx)xy(m o d),这与z(zx)为偶数矛盾如果,则(xy)y,于是式()可整理为 南 宁 师 范 大 学 学 报(自 然 科 学 版)第 卷 z(zx)x y()对式()模得z(zx)x(m o d),故x为偶数对式()模 得 x y(m o d),结合x为偶数得x y(m o d)由L e g e n d r e符号的性质得 x y,这不可能参考文献:J e s m a n o w i c zL S e v e r a l r e m a r
16、 k so nP y t h a g o r e a nn u m b e r sJ W i a d o m M a t,/,:胡永忠,袁平之指数丢番图方程axbyczJ数学学报,:邓乃娟关于方程(a n)x(b n)y(c n)z正整数解的个数J数学的实践与认识,:韩毅不定方程xM yN zn的整数解J中学数学月刊,:孙翠芳,汤敏关于丢番图方程(a n)x(b n)y(c n)zJ数学年刊,:管训贵关于丢番图方程(n a)x(n b)y(n c)z(c,)J安徽大学学报(自然科学版),:D e n gMJ,C o h e nGL An o t eo nac o n j e c t u r e
17、o f J e s m a n o w i c zJ C o l l o qM a t h,:M a r q u e sD,T o g b eA O nt h e s u mo fp o w e r so fp o w e r so f t w oc o n s e c u t i v eF i b o n a c c i n u m b e r sJ P r o c J a p a nA c a d(S e rA:M a t hS c i),:T a n gM,Y a n gQ H T h eD i o p h a n t i n e e q u a t i o n(b n)x(n)y(b)
18、n)zJ C o l l o qM a t h,:O nt h eD i o p h a n t i n eE q u a t i o n(a n)x(b n)y(c n)z,abcD E N GN a i j u a n(D e p a r t m e n to fM a t h e m a t i c s,Z h a n J i a n gP r e s c h o o lE d u c a t i o nC o l l e g e,Z h a n j i a n g ,C h i n a)A b s t r a c t:L e tn,a|m(m m)|,b m m,cmb ep o s
19、i t i v e i n t e g e r sw i t h|m,m I t i sp r o v e d t h a t,i f(x,y,z,n)(,),(,c),(,c)i s ap o s i t i v e i n t e g e rs o l u t i o no f t h eD i o p h a n t i n e e q u a t i o n(a n)x(b n)y(c n)z,t h e nxyzo ryxz I t i s a l s os h o w nt h a t,w h e n(a,b,c)(,),(,),t h eD i o p h a n t i n ee q u a t i o n(a n)x(b n)y(c n)zh a so n l yp o s i t i v e i n t e g e rs o l u t i o n s(x,y,z,n)(,),(,c)K e yw o r d s:J e s m a n o w i c zsc o n j e c t u r e;D i o p h a n t i n ee q u a t i o n;p o s i t i v e i n t e g e rs o l u t i o n 责任编辑:班秀和 见习编辑:彭喻振
