1、7向量应用举例填一填1.点到直线的距离公式若M(x0，y0)是平面上一定点，它到直线l：AxByC0的距离d_.2直线l：AxByC0的法向量(1)与直线的方向向量_的向量称为该直线的法向量(2)若直线l的方向向量v(B，A)，则直线l的一个法向量为n_与直线l的法向量n同向的单位向量n0_.3平面几何中的向量方法(1)证明线段相等，转化为证明向量的_相等；求线段的长，转化为求向量的_(2)证明线段、直线平行，转化为证明向量_(3)证明线段、直线垂直，转化为证明向量_(4)几何中与角相关的问题，转化为向量的_问题(5)对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问题，通常以相互垂直的两边所在直
2、线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，通过向量的坐标运算解决平面几何问题.判一判1.求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则()2若ABC为直角三角形，则有0.()3若向量，则ABCD.()4若，则直线AB与CD平行()5向量，的夹角与直线AB，CD的夹角不相等()6力是既有大小，又有方向的量，所以也是向量()7速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算()8四边形ABCD中，若向量，则该四边形为平行四边形()想一想向量方法解决平面几何问题有哪些常见应用？提示：(1)证明线段相等：通过向量运算，证明，即可证明ABCD.(2)证明线段平行：利用，点A，B，C，D不共线，
3、可以证明ABCD，特别地，当1时，AB綊CD.(3)证明线段垂直：利用0，证明两线段垂直(4)证明三点共线：利用(R)可以证明A，B，C三点共线，也可变形为xy(x，yR，xy1)，其中O为空间任意一点(5)证明四点共面：利用(，R)可以证明点P，A，B，C四点共面(6)求值：利用向量的夹角公式求角；利用|a|求长度思考感悟：练一练1.已知点A(2，3)，B(2,1)，C(0,1)，则下列结论正确的是()AA，B，C三点共线B.CA，B，C是等腰三角形的顶点DA，B，C是钝角三角形的顶点2若向量(2,2)，(2,3)分别表示两个力F1，F2，则|F1F2|为()A(0,5) B(4，1)C2
4、D53力F(1，2)作用于质点P，使P产生的位移为s(3,4)，则力F对质点P做的功是_4若3e，5e，且|，则四边形ABCD的形状为_.知识点一平面向量在平面几何中的应用1.已知a(1，)，ab，ab，若AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则AOB的面积是()A. B2C2 D42如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PEAB，PFBC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DPEF.知识点二平面向量在解析几何中的应用3.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：xky10与圆C：x2y24相交于A，B两点，. 若点M在圆C上，则实数k()A2 B1C0 D14已知A，
5、B是圆O：x2y24上的两个动点，|2，若M是线段AB的中点，则的值为_知识点三平面向量在物理中的应用5.一个质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60角且|F1|2，|F2|4，则|F3|()A6 B2C2 D26某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向综合知识建坐标系解决向量问题7.在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则的取值范围是()A. B.C. D0,18已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为
6、_，的最大值为_基础达标一、选择题1平面上有四个互不相同的点A，B，C，D，已知(2)()0，则ABC的形状是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D无法确定2在ABC中，有下列命题：0若0，则ABC为锐角三角形其中正确的命题有()A BC D3在四边形ABCD中，若0，0，则四边形为()A平行四边形 B矩形C等腰梯形 D菱形4已知ABC所在平面内的一点P满足20，则SPAB:SPAC:SPBC()A1:2:3 B1:2:1C2:1:1 D1:1:25已知三个力f1(2，1)，f2(3,2)，f3(4，3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4()A(1，
7、2) B(1，2)C(1,2) D(1,2)6一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45方向移动了8 m，已知|F1|2 N，方向为北偏东30，|F2|4 N，方向为北偏东60，|F3|6 N，方向为北偏西30，则这三个力的合力所做的功为()A24 J B24 JC24 J D24 J7若O是ABC内一点，0，则O为ABC的()A内心 B外心C垂心 D重心8已知直线l与x，y轴分别相交于点A，B，2i3j(i，j分别是与x，y轴的正半轴同方向的单位向量)，则直线l的方程是()A3x2y60 B3x2y60C2x3y60 D2x3y60二、填空题9已知A(1,2)，B(2,
8、3)，C(2,5)，则ABC的形状是_10点E是正方形ABCD的边CD的中点，若2，则_.11.如图，平行四边形ABCD中，已知AD1，AB2，对角线BD2，则对角线AC的长为_12一物体受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用处于平衡状态，已知F1，F2的夹角为60，F1，F2的模分别为3和4，则cosF1，F3_.三、解答题13已知正方形ABCD，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P. 求证：(1)BECF；(2)APAB.14.已知两个恒力F1i2j，F24i5j作用于同一个质点，由点A(20,15)移动到点B(7,0)，其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位
9、向量，试求：(1)F1、F2分别对质点所做的功；(2)F1、F2的合力F对质点所做的功能力提升15.已知RtABC中，C90，设ACm，BCn.(1)若D为斜边AB的中点，求证：CDAB.(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)16在风速为75() km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向7向量应用举例一测基础过关填一填1.2(1)垂直(2)(A，B)3(1)模模(2)平行(3)垂直(4)夹角判一判12.3.4.5.6.7.8.练一练1D2.D3.114.等腰梯形二测考点落实1解析：因为a(1，)，所以|a|
10、2.设AB中点为C，则()a，则|a|2. 在直角三角形AOB中，|2|4，所以SAOB424.答案：D2解析：方法一：设正方形ABCD的边长为1，AEa(0a0cos，0，即cos A0，A为锐角，但不能确定B，C的大小，不能判定ABC是否为锐角三角形，错误. 故选C.答案：C3解析：由题可知，|，且，故四边形为菱形答案：D4解析：延长PB至D，使得2，于是有0，即点P是ADC的重心，依据重心的性质，有SPADSPACSPDC.由B是PD的中点，得SPABSPACSPBC121.答案：B5解析：物体平衡，则所受合力为0，即f1f2f3f40，故f4(f1f2f3)(1,2)答案：D6解析：如
11、图，建立直角坐标系，则F1(1，)，F2(2，2)，F3(3，3)，则合力FF1F2F3(22,24)又位移s(4，4)，所以合力F所做的功WFs(22)4(24)424(J)答案：D7.解析：如图，取AB的中点E，连接OE，则2.又0，所以2.又O为公共点，所以O，C，E三点共线，且|2|.所以O为ABC的重心答案：D8解析：由于i，j分别是与x，y轴的正半轴同方向的单位向量，所以(2，3)，而A，B分别在x轴，y轴上，可得A(2,0)，B(0，3)，由此可得直线l的方程为3x2y60.答案：B9解析：A(1,2)，B(2,3)，C(2,5)，(3,3)，(1,1)，0，ABC为直角三角形答
12、案：直角三角形10解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系，设正方形的边长为2a，则E(a,2a)，B(2a,0)，D(0,2a)，可得(a,2a)，(2a，2a)，若2，则2a24a22，解得a1，(1,2)，(1,2)，则3.答案：311解析：设a，b，则ab，ab，而|ab|2，所以52ab4，所以ab，又|2|ab|2a22abb2142ab6，所以|，即AC.答案：12解析：F3F1F2，|F3|2|F1F2|2F2F1F2F92341637，则|F3|，又F2F1F3，|F2|2|F1|22F1F3|F3|2，即1692F1F337，解得F1F31
13、5.cosF1，F3.答案：13证明：(1)以A为坐标原点，以的方向为x轴的正方向，以的方向为y轴的正方向，建立平面直角坐标系，不妨设AB2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0，1)(1,2)，(2，1)，(1)(2)2(1)0，即BECF.(2)设P(x，y)，则(x，y1)，(2，1)，x2(y1)，即x2y2.同理，由，得y2x4.由得x，y，即P.|2224|2，|，即APAB.14解析：(1)因为A(20,15)，B(7,0)，所以(720，015)(13，15)因为ij，所以F1对质点所做的功W1F1(i2j)(13i15j)13i241ij30j24
14、3，F2对质点所做的功W2F2(4i5j)(13i15j)52i25ij75j223.(2)解法一：因为FF1F25i3j，所以WF(5i3j)(13i15j)65i236ij45j220.解法二：WW1W2432320.15.解析：(1)以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)因为D为AB的中点，所以D，所以|，|，所以|，即CDAB.(2)因为E为CD的中点，所以E，设F(x,0)，则，(x，m)因为A，E，F三点共线，所以.即(x，m).则故，即x，所以F，所以| ，即AF .16.解析：设风速，va有风时飞机的航行速度，vb无风时飞机的航行速度，则vbva.显然有vb，va，构成三角形如图所示，设|va|，|，|vb|，作ADBC，CDAD于点D，BEAD于点E，则BAD45.由题意知|150，|75()，|75，|75.从而|150，CAD30.即没有风时飞机的航速为150 km/h，方向为西偏北30.- 13 -
